Université Paris-Dauphine Méthodes numériques
Département MIDO année/
DE MI2E deuxième année
Contrôle continu du 26 mars 2013
Les documents, calculatrices et téléphones sont interdits. Le barême n'est donné qu'à titre indicatif et pourra être modié. Il sera tenu compte de la présentation de la copie et de la
rédaction dans l'évaluation.
Durée : 2h
Exercice 1 Recherche des valeurs propres d'une matrice par la méthode LR (12 points). On rappelle que des matrices carréesAetB sont dites semblables s'il existe une matrice P inversible telle que
A=P BP−1.
1. Montrer que des matrices semblables ont les mêmes valeurs propres.
Dans cet exercice, on va considérer l'usage de la factorisation LU pour la recherche des valeurs propres d'une matrice. SoitAune matrice d'ordrenréelle inversible, dont les valeurs propres sont réelles et de valeurs absolues distinctes, telles que
|λ1|>|λ2|>· · ·>|λn|. Il existe donc (au moins) une matrice inversibleP telle que
A=PΛP−1avecΛ =
λ1
...
λn
.
On suppose de plus queP etP−1admettent chacune une factorisation LU, c'est-à-dire qu'il existe des matrices triangulaires inférieures L et M et des matrices triangulaires supérieures U et V, ayant les propriétés usuelles, telles que
P=LU et P−1=M V.
En supposant que toutes les factorisations nécessaires à sa mise en ÷uvre sont possibles, on propose alors l'algorithme suivant, portant le nom de méthode LR :
• On poseA(1)=A.
• Pour toutes les valeurs successives de k ∈ N∗, on eectue la factorisation LU de A(k), A(k)=L(k)U(k), et on poseA(k+1)=U(k)L(k).
Dans toute la suite, on pose, pourk∈N∗,
L(k)=L(1). . . L(k) et U(k)=U(k). . . U(1). 2. Pour k ∈N∗, montrer que A(k+1) = L(k)−1
A(k)L(k), puis queA(k+1) = L(k)−1 AL(k). En déduire que les matrices de la suite (A(k))k∈N∗ ont les mêmes valeurs propres que A. Pourk∈N∗, on noteΛk=
λ1k
...
λnk
etΛ−k=
λ1−k
...
λn−k
.
1
3. Pourk∈N∗, exprimer les éléments de la matriceΛkMΛ−k en fonction de ceux deM et des valeurs propres deA, puis montrer queΛkMΛ−k =In+E(k), aveclimk→+∞E(k)= 0. 4. En utilisant queAk=PΛkP−1, déduire de la question précédente queAk =L(In+F(k))R(k),
avec limk→+∞F(k) = 0 et R(k) une matrice triangulaire supérieure dont on donnera l'ex- pression.
5. Pour k∈N∗, montrer en raisonnant par récurrence queL(k)U(k)=Ak.
6. Pourk∈N∗, on pose à présentT(k)=R(k) U(k)−1. En utilisant les deux dernières questions et en remarquant que la matrice(In+F(k))est inversible pourksusamment grand, montrer quelimk→+∞T(k)=In.
7. Déduire des questions précédentes que la suite L(k)
k∈N∗ converge versL, puis que la suite L(k)
k∈N∗ converge versIn.
8. En utilisant l'expression deR(k), établir queT(k)U(k)=UΛU−1T(k−1)et en déduire que la suite U(k)
k∈N∗ est convergente.
9. Conclure que la suite A(k)
k∈N∗ converge vers une matrice triangulaire supérieure dont les éléments diagonaux sont les valeurs propres deA.
Exercice 2 (6 points). On considère la matrice
A=
3 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 2 3 1 0 0 0 1 4 3 0 0 0 1 1
.
1. Déterminer la factorisation LU de la matriceAet en déduire que le système linéaireAx=b, avecb∈R5, admet une unique solutionx.
On souhaite utiliser la méthode de GaussSeidel pour calculer une approximation de la solution x. On note(x(k))k∈Nla suite produite par la méthode à partir d'une initialisationx(0).
2. Écrire le système linéaire donnantx(k+1)en fonctionx(k)pour k≥0.
3. Pour toutk∈N, on posee(k)=x(k)−x. Déterminer une constanteC appartenant à[0,1[
telle que
ke(k+1)k∞≤Cke(k)k∞, ∀k∈N. En déduire que la méthode est convergente.
4. Déterminer la matrice d'itération BGS de la méthode et calculer1 kBGSk∞. Retrouver la conclusion de la question précédente.
Exercice 3 Déation de Wielandt (4 points). Soit A une matrice symétrique inversible d'ordre n dont on note λi, i = 1, . . . , n, les valeurs propres (comptées avec leurs multiplicités algébriques respectives) etvi,i= 1, . . . , n, les vecteurs propres associés. Étant donné un entierj compris entre1etn, on considère la modication suivante de la matriceA :
Ae=A−vjujT, oùuj un vecteur vériant ujTvj=λj.
1. Calculer le produit Ave j.
2. Pour tout i ∈ {1, . . . , n}\{j}, calculer le produit A(ve i+αivj), avec αi ∈ R. Pour quelle valeur de αi le vecteur(vi+αivj)est-il un vecteur propre deAe?
3. Déduire des questions précédentes quels sont les valeurs propres et les vecteurs propres associés de la matriceAe.
4. Que se passe-t-il pour le choixuj=λj
vj
kvjk2 2?
1. On rappelle que, pour toute matriceBd'ordren, on akBk∞= max
1≤i≤n
Pn j=1|bij|.
2
