A
B
A C
côté opposé à A hypoténuse
côté adjacent à A Chapitre 8 : Géométrie
I. Triangles rectangles
1.Le théorème de Pythagore
Le côté le plus long dans un triangle rectangle est l’hypoténuse ; c’est le côté où il n’y a pas d’angle droit.
Le théorème de Pythagore dit :
« Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. »
Ce qui donne dans ce triangle ABC rectangle en A :
BC 2 = AB 2 + AC 2
2.Définition du sinus, cosinus et de la tangente dans un triangle rectangle :
Dans tout triangle rectangle,
le sinus d’un angle aigu est le rapport entre le côté opposé à l’angle et l’hypoténuse le cosinus d’un angle aigu est le rapport entre le côté adjacent à l’angle et l’hypoténuse
la tangente d’un angle aigu est le rapport entre le côté opposé à l’angle et le côté adjacent à l’angle.
Ce qui donne dans ce triangle ABC rectangle en C les relations trigonométriques suivantes : Sin ….=
Cos ….=
Tan…..=
Propriétés :
Dans un triangle rectangle, si est la mesure d’un angle aigu, alors :
cos 2 + sin 2 = 1
tan sin cos
Si est l’autre angle aigu du triangle, alors et sont complémentaires leur somme vaut 90°,
et on a : cos = sin .
A B
C
2 A
B C
E D Exercices
A) Sur la figure ci-dessous, écris trois rapports égaux à sin
C A D ˆ
:B) Recopie et complète en utilisant la calculatrice (résultats arrondis au dixième) : a) x = 50°, donc cos x …
b) x = 72°, donc sin x … c) cos x = 0,7, donc x …
d) tan x =
5
3
, donc x … e) sin x = 0,5, donc x ...C) ABC est un triangle rectangle en A. Calcule la longueur demandée au mm près : a)
A B C ˆ
= 68° ; AB = 12 cm ; AC ?b)
A C B ˆ
= 25° ; AB = 3,5 cm ; BC ?c)
A C B ˆ
= 48° ; AC = 7,4 cm ; BC ?d)
A B C ˆ
= 62° ; BC = 7 cm ; AB ?D) ABC est un triangle rectangle en A. Calcule l’arrondi au dixième de l’angle demandé : a) AC = 5 cm ; AB = 12,2 cm ;
A B C ˆ
?b) BC = 8,5 cm ; AB = 4,5 cm ;
A C B ˆ
?c) BC = 10,8 cm ; AC = 7,4 cm ;
A C B ˆ
?Précise à chaque fois
dans quel triangle tu te
places !
E) RST est un triangle rectangle en R tel que RS = 5 cm et ST = 8 cm.
Calcule la mesure de tous ses angles au degré près.
F) x est la mesure d’un angle aigu dans un triangle rectangle.
Sans calculatrice, calcule la valeur manquante dans chaque cas :
a) sin x = 0,6 cos x = … tan x = …
b) sin x = … cos x =
3
2
tan x = …c) sin x =
15
17
cos x =
34
tan x = …d) sin x =
10
26
cos x = … tan x =
10 24
G) Soit x la mesure d’un angle aigu d’un triangle rectangle,
démontre en développant le carré que : (sin x + cos x) 2 = 1 + 2 sin x cos x
H) Des angles particuliers…
a) cos 45° =
2
2
, déduis-en les valeurs exactes de sin 45° et de tan 45°.b) sin 30° =
1
2
, déduis-en les valeurs exactes de cos 30° et de tan 30°.A
B H C
3,4 cm
7,2 cm 37°
H
P B
20°
A C
B
5 m
55 m
I) Calcule la longueur AH au mm près, puis l’aire de ABC arrondie au cm.
J) Pour un maximum de sécurité, une échelle doit former avec un mur un angle de 20°.
Avec une échelle de 9 m, jusqu’à quelle hauteur de mur peut-on monter (au cm près) ?
K) Le sommet de la tour de Pise s’écarte de la verticale d’environ 5 m et se trouve à environ 55 m du sol. Calcule (au degré près) l’angle
A B C ˆ
que fait la tour avec la verticale.L) Triangle de référence à connaître
Résoudre le triangle ABC rectangle en A dans chacun des cas suivants (au dixième près)
a b c
54 32
46 38,6°
38,2 47,5
54,3 49°18’27 ‘’
Calculs :
II.Cercle et disque
O est un point du plan et r est un réel positif Définitions:
On appelle cercle de centre O et de rayon r, l’ensemble des points M du plan tels que : OM = r On appelle disque de centre O et de rayon r, l’ensemble des points M du plan tels que : OM r
Périmètre d’un cercle:
Le périmètre du cercle de centre O et de rayon r est ……….
Exemple :
Le périmètre du cercle de centre O et de rayon 3,5 cm est :………
(Donner la valeur exacte avec
puis un arrondi à 0,001 près) Aire d’un disque :L’aire du disque de centre O et de rayon r est égale à ………..
Exemple :
L’aire du disque de centre O et de rayon 3,5 cm est :………..
(Donner la valeur exacte avec
puis un arrondi à 0,001 près)III.Cercle trigonométrique – radians – sinus et cosinus 1.Le cercle trigonométrique
On appelle cercle trigonométrique un cercle de rayon 1 muni d’un sens appelé « sens direct » (le sens anti-horaire).
A tout réel x, on peut associer un point M sur le cercle de la façon suivante :
si x > 0, on parcourt la distance x sur le cercle en partant du point I dans le sens direct.
si x < 0, on parcourt la distance x sur le cercle en partant du point I dans le sens indirect.
Exemple :
La longueur totale du cercle est : 2 R = 2 1 = 2
Le point J est repéré par le nombre :
2
(un quart de tour dans le sens direct) Le point J’est repéré par le nombre : -
2
(un quart de tour dans le sens indirect) ou
3
2
(trois quarts de tour dans le sens direct)Remarque :
Tout point peut être repéré par une infinité de nombres.
Par exemple A est associé aux nombres 0 (aucun tour), 2 (un tour), 4 (deux tours…), -2…
O
+
I’ I
J
J’
M
Exercice 1 : Associe à un réel , x un point M du cercle trigonométrique C
Nombre x Chemin parcouru Point du Cercle
0 Point immobile A
2
Un tour de cercle dans le sens direct
Un demi-tour de cercle dans le sens direct A’-
Un demi-tour dans le sens indirect
2
Un quart de tour de cercle dans le sens direct
4
Un huitième de tour dans le sens direct
3
2
Trois quarts d’un tour de cercle dans le sens indirect
-
2
Un quart de tour de cercle dans le sens indirect
Exercice 2 : Place sur le cercle trigonométrique C les points M associés à chacun des réels suivants
3 4 ; 3
4 ; 5 4 ; 5
4 ;
2 4 ; 4 12
Exercice 3
Placer les points suivants sur le cercle en fonction du réel qui leur est associé :
A
( )
B
12 C
3
D
3
4 E
-
6 F
2
3
G
2 H
-3
2
O J
I
Exercice 4
Placer les points suivants sur le cercle en fonction du réel qui leur est associé :
A
(
5)
B
-5
2 C
11
3
D
-11
4 E
13
6 F
-5
3
Exercice 5
Associer entre eux les nombres qui correspondent au même point du cercle :
2
3
4 -
4
3
2
3 6 - 4
3
9
4 - 14
3
14 - 8
3
5
2
4 3 7
4 -
2
2
3 - 5
4
7
3
Exercice 6
Retrouver 4 autres longueurs d’arcs (2 positives, 2 négatives) correspondant au même point.
a. 3
2 b. -
4 c. 2
3 d. - 5
12
Exercice 7
A l’aide du tableau, retrouver la longueur de l’arc associé à l’angle (en degré).
Degrés 180 15 30 90 135 150
Longueur de
l’arc
A l’aide du tableau, retrouver l’angle (en degrés) associé à l’arc.
Longueur de
l’arc 5
12
5
6
2
3
9
4
5
2
Degrés 180
O J
I
2. Le radian
Le radian est une unité de mesure angulaire, qui correspond à la longueur de l’arc intercepté par un angle au centre du cercle trigonométrique. Cet angle est orienté, c'est-à-dire positif ou négatif suivant le sens dans lequel on tourne.
Exemples :
I O A ˆ
= 45° =
1
8
de tour =
1 8
2 =
4
rad
I O B ˆ
= 60° =
1
6
de tour =
1 6
2 =
3
rad
I O C ˆ
= 120° =
1
3
de tour =
1 3
2 =
2
3
rad
I O D ˆ
= 30° =
1
12
de tour (sens indirect) = -
1
12
2 = -
6
rad
I O I' ˆ
= 180° = un demi-tour = radRemarque : Les mesures en radians et en degrés sont proportionnelles.
En règle générale :
Mesure en radians
Mesure en deg ré 180
Parmi toutes les mesures d’un angle orienté, il en existe « une et une seule » qui appartient à ] -π ; π [ : c’est la mesure principale de cet angle orienté.
Exercice 8 : En complétant le tableau de proportionnalité ci-dessous :
Trouve la mesure en radian d’un angle de 20°, d’un angle de 110° et d’un angle de 60°.
Trouve la mesure en degré d’un angle de
4
radians, d’un angle de
8
radians, et d’un angle de
1
radians.Mesures en degré
20° 60° 110°
Mesure en radians
4
8
1
Exercice 9 : Déterminez la mesure principale de chacun des angles suivants
750° ; 1080° ; 376° ; 455° ;
.
18
; 73 4
; 13 2
; 9 3
7
O
+
I’ I
J
J’
120°
60°
45°
30°
A C B
D
3. Le cosinus d’un réel et le sinus d’un réel
On munit le cercle trigonométrique d’un repère orthonormé (O,
OI
,
OJ
).Soit x la mesure en radian d’un angle, et M le point tel que
I O M ˆ
= xDans le triangle rectangle OAM, on a : cos x =
OA OM
cos x =
OA
1
(le cercle a pour rayon 1) cos x = OAdonc cos x est l’abscisse de M.
De même sin x =
MA OM
sin x =
MA
1
(le cercle a pour rayon 1) sin x = MA = OBdonc sin x est l’ordonnée de M
O
+
I J
M
x
A
B
11
Conclusion :
Si M est le point associé a un réel x sur le cercle trigonométrique, alors M(cos x ; sin x).
Remarques :
Pour tout x, on a -1 ≤ cos x ≤ 1 et -1 ≤ sin x ≤ 1 Pour tout x, on a
cos( x 2k ) cos x sin(x 2k ) sin x
Pour tout x
cos
2x sin
2x 1
Quelques valeurs remarquables :
Exercice 10
On donne les valeurs exactes du sinus et cosinus de quelques angles remarquables entre 0 et 90°.
Point I A B C J
x (°) 0 30 45 60 90
x (rad) - 5
6 - 3
4 - 2
3 - 2 -
3 - 4 -
6 0
6
4
3
2
2
3
3
4
5
6
cos x 1 3
2
2 2
1
2 0
sin x 0 1
2
2 2
3
2 1
a. Retrouver le point qui correspond à chaque angle.
b. En déduire les valeurs exactes des cosinus et sinus de tous les angles du tableau.
x 0
6
4
3
2
cos x 1
3 2
2 2
1
2
0sin x 0
1 2
2 2
3
2
1O
I A
I’
J
B C
K D
H
M E
G L
6
4
3
Exercice 11 : Calculer dans chaque cas l’expression pour la valeur de x donnée f(x) = -2 sin x pour x =
2 f(x) = 5cos x + 3sin x pour x =
3 f(x) = 3cos² x pour x = 3
f(x) = cos x sin x pour x =
2 f(x) = sin²x pour x =
3 f(x) = cos 3x pour x = - 2
f(x) = x sin x pour x = -
6 f(x) = cos x – sin x
2 pour x =
4 f(x) = cos²x sin x pour x = 2
3
J
13
Les exercices suivants seront résolus sans utiliser la machine.
Mais il est conseillé d’utiliser la figure ci-contre
Exercice 12 : Compléter :
cos 30° = …… sin 45° = …… cos 60° = …… sin 90° = ……
cos 180° = …… sin 120° = …… cos 150° = …… sin 210° = ……
cos 330° = …… sin 225° = …… cos 135° = …… sin 270° = ……
cos
4 = …… sin
6 = …… cos 0 = …… sin
3 = ……
cos -
4 = …… sin -
6= …… cos = …… sin -
3= ……
cos 2
3 = …… sin 5
6 = …… cos 3
4 = …… sin -3
4 = ……
cos -5
3 = …… sin -3
6 = …… cos
2 = …… sin -3
2 = ……
Exercice 13 : Compléter
cos x = 3
2 donc x = ……° ou ……°
sin x = 2
2 donc x = ……° ou ……°
cos x = 1
2 donc x = ……° ou ……°
sin x = 1 donc x = ……° ou ……°
cos x = 2
2 donc x = ……° ou ……°
sin x = 0 donc x = ……° ou ……°
cos x = - 3
2 donc x = ……° ou ……° sin x = - 2
2 donc x = ……° ou ……°
cos x = -1 donc x = ……° ou ……° sin x = - 1
2 donc x = ……° ou ……°
cos x = 0 donc x = ……° ou ……°
sin x = - 3
2 donc x = ……° ou ……°
Déterminer une mesure en radians de l’angle dont on connaît le cosinus et le sinus
cos x = 3
2 et sin x = - 1
2 donc x = …… cos x = - 2
2 et sin x = - 2
2 donc x = ……
O J
I
4. Lignes trigonométriques des angles associés
Pour tout x
cos(x) cos x sin(x) sin x
Pour tout x
cos(x ) cos x sin(x ) sin x
Pour tout x
cos( x) cos x sin( x) sin x
Pour tout x cos(x
2 ) sin x sin(x
2 ) cos x
Pour tout x cos(
2 x) sin x sin(
2 x) cos x
Exercice 14 : Exprimer uniquement en fonction de sin x et cos x
A cos x sin x cos x
B cos 2 x
cos 2 x
15
III. Les fonctions sinus et cosinus
On appelle fonctions trigonométriques les deux fonctions définies sur R par
f : x cos x g : x sin x
LA FONCTION COSINUS
Tout nombre réel a un cosinus (c’est l’abscisse du point M associé à ce nombre sur le cercle trigonométrique).
On appelle fonction cosinus la fonction f : x cos x définie sur ]- ; +[.
Remarques :
Puisque pour tout x, cos (x + 2) = cos x, on n’étudiera la fonction que sur l’intervalle]- ; ]. On dit que cette fonction est périodique, de période 2.
Pour tout x, cos(-x) = cos(x), donc la fonction cosinus est paire (la courbe est donc symétrique par rapport à l’axe des ordonnées).
Sens de variation de la fonction cosinus sur l’intervalle ]- ; ]
Conclusion :
Représentation graphique :
- = 0
2
- 2
La fonction est croissante et
négative.
(cos x varie de -1 à 0) La fonction est
décroissante et négative.
(cos x varie de 0 à -1)
La fonction est croissante et
positive.
(cos x varie de 0 à 1) La fonction est
décroissante et positive.
(cos x varie de 1 à 0)
x cos x
- 0 +
-1
- 2
2 1
-1
0 0
16 LA FONCTION SINUS
Tout nombre réel a un sinus (c’est l’ordonnée du point M associé à ce nombre sur le cercle trigonométrique).
On appelle fonction sinus la fonction f : x cos x définie sur ]- ; +[.
Remarque :
Puisque pour tout x, sin (x + 2) = sin x, on n’étudiera la fonction que sur l’intervalle ]- ; ]. On dit que cette fonction est périodique, de période 2.
Pour tout x, sin(-x) = -sin(x), donc la fonction cosinus est impaire (la courbe est donc symétrique par rapport à l’origine du repère).
Sens de variation de la fonction sinus sur l’intervalle ]- ; ]
Conclusion :
Conclusion :
Représentation graphique :
- = 0
2
- 2
La fonction est décroissante
et négative.
(sin x varie de 0 à -1) La fonction est
décroissante et positive.
(sin x varie de 1 à 0)
La fonction est croissante et
négative.
(si x varie de -1 à 0) La fonction est
croissante et positive.
(sin x varie de 0 à 1)
x sin x
- - 0 +
2
2 1
0 0
-1 0
2
3
- 2 - 3 2
2
2
- -2
1
0
17
EXERCICE 1
On a représenté sur ce graphique la fonction f : x cos x sur l’intervalle [0, 4].
1. a. Résoudre graphiquement l’équation f(x) = 0 sur l’intervalle [0, 4].
b. Résoudre graphiquement (valeurs exactes) l’inéquation f(x) > 0 sur l’intervalle [0, 4].
2. On a tracé la droite d’équation : y = 1 2
a. Résoudre graphiquement (valeurs exactes) l’équation f(x) = 1
2 sur l’intervalle [0, 4].
b. Résoudre graphiquement (valeurs exactes) l’inéquation f(x) ≤ 1
2 sur l’intervalle [0, 4].
EXERCICE 2
On a représenté sur ce graphique la fonction g : x sin x sur l’intervalle [0, 4].
1. a. Résoudre graphiquement l’équation g(x) = 0 sur l’intervalle [0, 4].
b. Résoudre graphiquement (valeurs exactes) l’inéquation g(x) 0 sur l’intervalle [0, 4].
2. On a tracé la droite d’équation : y = 1 2
a. Résoudre graphiquement (valeurs exactes) l’équation g(x) = 1
2 sur l’intervalle [0, 4].
b. Résoudre graphiquement (valeurs exactes) l’inéquation g(x) < 1
2 sur l’intervalle [0, 4]
7
2 5
2
3 4
0 1
-1
2
3
2
2
7
2 5
2
3 4
0 1
-1
2
3
2
2
y = 1 2
y = 1
2
19
Exercices supplémentaires:
1. Exprimez le nombre trigonométrique de chaque angle suivant par rapport à celui de la mesure principale
180 ;180
ou ;
sin 215°= sin –145° cos 100° =
tg (- 400°)= sin(-30°)=
sin 127° = cos 320°=
sin (
8 9
) = cos(
4 5
)=
cos(
4 7
) = sin(
8 15
)=
2. Sans l’aide de la calculette, simplifiez les expressions suivantes
cos(30) cos(60) cos 45
sin 45 cos(25)
sin65
sin(45) sin135 sin165
cos 75
3.En se basant sur les angles associés, simplifiez les expressions suivantes (les dénominateurs sont supposés non nuls)
a)
cos( )
2 ) ( 2 ).
sin(
tg
2 ) cos(
) cos(
2 ) cos(
) cos(
)
b
c) sin( )cos( ) cos(
2 )sin( )
d) sin(
2 )cot g( 2 ) cos( 3
2 )tg(
2 )
4.Les égalités suivantes sont-elles vraies ? Sinon corrigez-les ! Justifiez vos réponses ! sin 60° = - sin 240°
cos 35° = cos 325°
sin 25° = cos 65°
cos(-120°) = cos 60°
sin 45° = sin (-135°) sin 15° = sin 165°
5.En utilisant les formules des angles associés et le tableau des valeurs remarquables ; calculez
3 2
4 sin 5 sin 2 cos 3
6 11
tg tg
tg 5
3 cos 2
3
sin 5
2
cos 7
4
tg 225 sin150 cos240 tg945
cos 330 sin 120 tg150
6. Calculez sans utiliser la calculatrice
cos
3 cos 2
3 cos 4
3 cos 5 3 sin60 sin120 sin240 sin 300 sin(135) sin(45) sin 45 sin135
cos 3
4 cos 4 sin
4 sin 3
4
21
7. Résoudre les équations suivantes
1. dans [0° ; 360°]
sin x = 0,36 tg x = 1000000
cos x =
2
2
cos x = 2,3cos²x – 1 = 0 4 sin2x – 3 =0
cos 2x . sin 3x = 0 tg 3x . sin
2
x
. cos x = 02. dans [0 ; 2π]
2sin x =
3
cos x = -0,5tg x = 3,5 tg x = -5
sin(x +
4
) = 0 cos(3x –2
) = 0tg(2x +
3
) = 0 sin(x –6
) . cos(x +3
) = 0Annexe
Il existe trois unités de mesure des angles : le degré, le radian et le grade.
Le degré :
Certains astronomes babyloniens ont remarqué que certaines planètes se déplacent dans une zone étroite de ciel appelé « zodiaque ». Ils représentent alors le zodiaque sous la forme d’une bande circulaire et divisent le cercle en autant de parties que compte l’année de jours (à l’époque 360 jours). La notation ( ° ) est due à Jacques Pelletier(1517-1582).
Par définition, un angle d’une amplitude d’un degré est un angle au centre qui intercepte un arc dont la longueur vaut un 360ème de la longueur de la circonférence.
Le degré est subdivisé en minutes ; elles-mêmes subdivisées en secondes.
1° = 60’ 1’ = 60’’ 1° = 3600’’
Le radian :
Ce mot vient du latin « radius » signifiant « rayon ».
Il fait son apparition en 1873 et choisit comme unité d’arc le rayon lui-même.
Par définition, un angle d’une amplitude d’un radian est un angle au centre qui intercepte un arc dont la longueur est égale à la longueur du rayon de la circonférence.
Périmètre d’un cercle = 2 π r, on a donc 2π radians dans un cercle.
Le grade :
Cette unité apparaît en 1794, en même temps que le mètre. Le quart du méridien terrestre correspond à un angle de 90°, c -à- d 100 grades. Comme le méridien terrestre mesure environ 10 000 km, il est aisé de calculer des trajets le long de ceux-ci (1 grade correspond à 100 km). Les géodésiens utilisent le grade couramment.
Par définition, un angle d’une amplitude d’un grade est un angle au centre qui intercepte un arc dont la longueur vaut un 400ème de la longueur de la circonférence.
On a donc le résultat suivant :
360 ° = 2 π rad = 400 gra
