Unité D : Projet de géométrie
Demi-cours II
Guide de lélève
Le système de mesure le plus répandu dans la plupart des pays du monde est une version du Système International, que l'on appelle communément le Système métrique. Ce système a été élaboré à l'époque de la Révolution française à la fin du XVIIIe siècle. Son but était d'offrir un système universel qui remplacerait les nombreux systèmes de mesure en usage alors - différents non seulement dans chaque pays, mais souvent différents à l'intérieur d'un même pays. Ce nouveau système était basé sur le mètre, une unité de longueur fixe équivalant à un dix-millionième de la distance de l'équateur au pôle nord et passant par Paris. Les mesures plus petites et plus grandes étaient basées sur des divisions et des multiples de 10 du mètre; ainsi, un décimètre est un dixième du mètre et un kilomètre mesure mille mètres. Aujourd'hui, une définition encore plus précise du mètre est employée : c'est la distance que la lumière parcourt dans le vide en 1/299 792 458 de seconde.
À cause de l'influence de l'Empire britannique, beaucoup de pays du Commonwealth et d'autres pays de langue anglaise n'ont adopté le nouveau système métrique que
récemment. En fait, les États-Unis, qui représentent la plus grande économie au monde, ne l'ont pas encore adopté. Bien qu'une partie du travail technique effectué aux États-Unis soit en système métrique, au quotidien, on utilise surtout le vieux système de mesure anglo-saxon. Pour les mesures de longueur, le système anglo-saxon emploie les pouces, les pieds, les verges et les milles. Pour nos besoins, les pouces et les pieds sont les plus
importants et c'est la raison pour laquelle nous présentons brièvement ces unités à ceux qui ne sont pas familiers avec elles.
Un pied fait 12 pouces; deux pieds font 24 pouces; trois pieds, 36 pouces, et ainsi de suite.
Voyons d'abord les pouces; à l'origine, un pouce représentait la largeur du pouce d'un homme. La figure 1 nous montre une règle de 6 pouces, chaque pouce étant divisé en 16 parties. Lorsque nous employons les pouces pour mesurer des petites dimensions, nous devons utiliser les fractions. La plupart des règles et rubans à mesurer en pouces divisent les pouces en quarts, en huitièmes, en seizièmes et parfois en trente-deuxièmes.
À l'occasion, certaines règles donnent les dixièmes de pouces, mais ces règles ne sont pas courantes et nous allons les tenir hors de notre propos. Vous avez peut-être remarqué dans la figure 1 que chaque division plus petite est plus courte. Ainsi, les lignes qui représentent les pouces sont les plus longues, ensuite, ce sont les ½ pouces, puis, encore plus courtes, les deux lignes qui marquent le ¼ et le ¾ de pouce. Des lignes plus courtes marquent 1/8, 3/8, 5/8 et 7/8. (Rappelle-toi que = ¼).
Chacun des pouces est numéroté 1, 2, 3, 4, etc. La plus longue des lignes suivantes est le ½ pouce. Le point A est situé à 1½ pouce. Le point B est à 3½ pouces.
Introduction aux pieds et aux pouces
2 8
À mi-chemin entre la marque de ½ pouce et la marque du pouce se trouve une marque un peu plus courte que la marque du ½ pouce; par exemple, le point C.
1. Quelle fraction de pouce désigne-t-elle? À quelle distance le point C se trouve-t-il de l'extrémité gauche de la règle?
2. Le point C marque une distance de 4 ¼ de pouces à partir de la gauche. Quelle distance le point D indique-t-il?
3. Sers-toi d'une règle ou d'un ruban à mesurer en pouces afin de mesurer les objets suivants au quart de pouce près :
a) cette feuille de papier (largeur et hauteur) b) le dessus de ton bureau
c) la largeur et la longueur du bureau de ton professeur
4. Indique, pour les points spécifiés de la règle de la figure 2, la distance à laquelle ils sont placés à partir de l'extrémité gauche de la règle.
A) B) C)
D) E)
1 2 3 4 5 6
A D B C
Figure 1
1 2 3 4 5 6
A B C D E
Figure 2
5. Les lignes indicatrices les plus courtes sur cette règle sont les seizièmes de pouces.
Marque un F sur le schéma l'endroit où se trouve de pouce.
6. Où sont situés de pouce? Indique-le avec un G.
7. À présent, mesure les articles suivants :
a) la largeur de la porte de la classe à 1/8 de pouce près
b) la largeur d'une étagère dans ta salle de classe au seizième de pouce près c) la longueur de ton crayon ou ton stylo au seizième de pouce près
d) ta propre grandeur à ½ pouce près.
Pour les mesures plus longues, on emploie habituellement les pieds. Un pied mesure 12 pouces. Lorsqu'ils dressent la charpente d'une maison, le charpentiers emploient des poteaux de charpente de «2 po x4 po x8 pi » (lire deux sur quatre sur huit pieds) pour les murs. Il s'agit d'une pièce de bois équarri à 2 pouces sur 4 pouces qui est ensuite plané pour la finition à 1½ pouce sur 3½ pouces sur 8 pieds de longueur. Note que la façon abrégée d'écrire pouces est : po. Les pieds s'écrivent : pi.
8. Combien de pouces de longueur mesure un poteau d'ossature de 8 pi acheté dans une cour à bois?
Une entrée de porte peut mesurer 7 pi 6 po de hauteur; nous pouvons également dire qu'elle mesure 7½ pieds de haut.
9. Essaie de prendre les mesures suivantes avec un ruban à mesurer en pouces et en pieds.
a) Mesure la hauteur de la porte de ta salle de classe en pieds et en pouces.
b) Demande à quelqu'un de mesurer ta grandeur en pieds et en pouces.
c) Mesure la longueur et la largeur de ta salle de classe ou celles du vestibule.
Nous trouvons la surface dans ce système de la même façon que nous l'avons fait dans le système métrique. Pour une surface rectangulaire, nous multiplions la longueur par la largeur. Il faut prendre soin d'utiliser les mêmes unités durant tout le calcul. Combien y a-t-il de pouces carrés dans un pied carré? Un carré qui mesure 1 pied de chaque côté mesure donc 12 pouces de chaque côté. Donc, son aire est de 1 pied carré, soit 144 pouces carrés (12 x12 = 144). Pour trouver la surface d'une pièce comme celle de l'exemple no9 (c) ci-dessus, nous devons changer toutes les mesures en pieds ou en pouces. Supposons que notre salle mesure 25 pi 6 po de longueur et 20 pi 3 po de largeur. On doit calculer sa surface de la façon suivante.
En pieds :
25 pi 6 po = 25 ½ pieds ou 25,5 pieds
20 pi 3 po = 20 ¼ pieds ou 20,25 pieds (étant donné que ¼ pied = 3 pouces) Donc, A = Lxl = 25,5 x20,25 = 516,375 pieds carrés ou 516 3/8 pieds carrés.
916
31316
équarrir : (v.tr.) tailler une pièce de bois ou de pierre, pour lui donner une forme carrée
En pouces :
25 pi 6 po = 306 pouces 20 pi 3 po = 243 pouces
A= 306 x 243 = 74 358 pouces carrés ou 516,375 pieds carrés.
Note que si nous employons les décimales dans ces exemples, il est beaucoup plus facile d'utiliser une calculatrice pour effectuer nos calculs. Dans beaucoup de champs d'activité où on emploie les pouces, les décimales et les dixièmes de pouces sont utilisés pour faciliter le calcul.
Si nous avions à estimer la quantité de tapis à acheter pour cette salle, quel nombre devrions-nous utiliser?
Effectue la recherche, planifie et construis un modèle réduit de l'édifice historique, château, monument ou autre structure architecturale de ton choix.
F
Foouurrnniiss uunn rraappppoorrtt ééccrriitt ((225500--550000 m moottss)) donnant les explications suivantes :
❑
la fonction de la structure (Quelle est-elle? Pourquoi l'a-t-on construite?)
❑
les grandes lignes de sa construction et son architecture (Qui l'a dessinée? Qui l'a construite? Quelles sont les figures 2-D et 3-D qui apparaissent dans son architecture et sa décoration? Quel rôle la géométrie a-t-elle joué dans la construction de l'ouvrage?)
❑
l'importance relative de la structure de nos jours
❑
pourquoi tu as choisi cette structure particulière
❑
les calculs mathématiques que tu as employés pour réaliser le plan, l'élévation latérale et le modèle
Fournis un dessin à l'échelle du ppllaann ddee nniivveeaauu et d'une éélléévvaattiioonn llaattéérraallee de la structure. (Si tu as choisi une structure, tel un pont, le « plan de niveau » serait la perspective « à vol d'oiseau ».) Emploie les lignes directrices données en classe pour cette perspective en plan de niveau (le système de mesure, l'échelle à utiliser, etc.).
Inclus une lliissttee ddeess ssoouurrcceess que tu as consultées (incluant les personnes).
L
Lee m mooddèèllee rréédduuiitt,, llee rraappppoorrtt ééccrriitt,, ll''éélléévvaattiioonn llaattéérraallee eett llee ppllaann ddee nniivveeaauu doivent être remis au plus tard le :
___________________________________________________________
Chaque groupe doit présenter son projet à la classe. La présentation devrait inclure :
❑
une brève description de la fonction, des caractéristiques principales et de l'importance de la structure
❑
une description de l'un des problèmes importants que tu as rencontré en créant le modèle et le schéma du plan, et la façon dont tu as résolu ce problème
❑
une description des calculs mathématiques effectués lors de la création de ta structure
Projet de géométrie
Projet de géométrie Évaluation
Nom(s) __________________________________________________________________________
Structure choisie ________________________________________________________________
A
A.. RRaappppoorrtt ééccrriitt
Fonction de la structure décrite 1
Grandes lignes de son architecture
formes géométriques, poteaux, linteaux, etc 1
Importance relative de la structure de nos jours 1
Raison du choix de cette structure 1
Les calculs mathématiques employés dans la création du projet
(a) description 5
(b) exemples de calculs 5
Liste des ouvrages inclus (bibliographie) 2
B
B.. PPllaann ddee nniivveeaauu
A-t-on fourni une échelle spécifique et l'a-t-on utilisée? 5
Quels outils de mesure a-t-on employés? 3
Quelles unités de mesure ont été employées? 2
C
C.. ÉÉlléévvaattiioonn llaattéérraallee
A-t-on fourni une échelle spécifique et l'a-t-on utilisée? 5
Quels outils de mesure a-t-on employés? 3
Quelles unités de mesure ont été employées? 2
D
D.. MMooddèèllee rréédduuiitt 33--DD
A-t-on fourni une échelle spécifique et l'a-t-on utilisée? 5
Quels outils de mesure a-t-on employés? 3
Quelles unités de mesure ont été employées? 2
E
E.. ÉÉvvaalluuaattiioonn gglloobbaallee
Travail soigné/lisibilité 3
Précision/exactitude 3
F
F.. PPrréésseennttaattiioonn àà llaa ccllaassssee
Introduction incluse 2
A réussi à concentrer la classe sur le sujet 2
Synthèse finale du projet 2
A inclus un problème rencontré durant la création de la
structure et a décrit comment ce problème a été résolu 2 TOTAL DES POINTS ___60 G
G.. CCoommmmeennttaaiirreess ggéénnéérraauuxx
Six qualités sont nécessaires pour réaliser ce projet : 1. rédaction
2. génie civil (design) 3. construction
4. recherche
5. dessin technique 6. présentation
Ton professeur placera ces six qualités sur le tableau en en-têtes de colonnes.
Décide des deux qualités qui te ressemblent le plus et va au tableau inscrire ton nom sous les en-têtes correspondantes.
Après que la classe entière aura placé son nom sur le tableau à deux endroits, le professeur évaluera les six colonnes originales en partant de la moins remplie à la plus remplie.
En tant que classe, vous établirez la grosseur du groupe pour l'unité. En
commençant par la colonne la moins remplie, employez les personnes pour créer les groupes. Par exemple, s'il ne se trouve que quatre noms sous la rruubbrriiqquuee « dessin technique », alors, chacun de ces élèves devrait faire partie d'un groupe différent.
À mesure que vous placez un élève dans un groupe, bbiiffffeezz son nom dans toutes les colonnes où il apparaît.
Ensuite, allez aux colonnes de qualités et choisissez l'avant-dernière colonne;
continuez à remplir les colonnes de groupes les unes après les autres. Lorsque vous aurez épuisé toutes les colonnes de qualités, vous aurez placé toutes les personnes dans un groupe selon les arrangements les plus variés possibles en regard des aptitudes pour différentes tâches.
N Noottaa :: Étant donné le nombre délèves dans certaines classes, les groupes pourront ne pas avoir toutes les qualités représentées.
rruubbrriiqquuee :: (nom f.) nom, titre dun article
bbiiffffeerr :: (v. tr.) rayer un mot dun trait, dune ligne
Nom : ________________________________ Sujet : _____________________________
Ce que je sais . . .
Terme/Concept Description/Explication
Quai-je besoin de savoir? Quai-je appris?
La géométrie est un aspect important de la conception architecturale et de la construction. Voici les descriptions de cinq formes architecturales.
P
Pootteeaauu eett lliinntteeaauu
La colonne et le linteau constituent une façon de supporter une charge (le lliinntteeaauu) en employant des colonnes (les poteaux), tout en gardant des espaces ouverts.
Prends une feuille ordinaire et plie-la sur le sens de la longueur en quatre quarts.
Colle la feuille avec du ruban adhésif de façon à faire un prisme rectangulaire. Fais- la tenir debout sur une table et vois combien de livres elle peut supporter.
Ensuite, prends une feuille ordinaire et enroule-la en cylindre. Colle la feuille avec du ruban adhésif et fais-la tenir debout sur une table. Vois combien de livres elle peut supporter.
Quelle forme géométrique peut supporter la plus lourde charge? _________________
A Arrcchhee
L'arche est une construction en courbe qui crée une ouverture.
L'arche est une forme ___________________ modifiée.
V Vooûûttee
Une voûte est une série d'arches rattachées ensemble pour former un plafond ou un toit.
D Dôôm mee
Le dôme est une voûte qui a la forme d'une portion de _____________________________.
F Feerrm mee
La ferme s'emploie pour supporter les ponts et les toitures.
Elle est basée sur la rigidité géométrique du __________________.
La géométrie en architecture
linteau poteau
dôme
lliinntteeaauu :: (nom m.) pièce horizontale qui ferme la partie supérieure dune ouverture
Dans un grand nombre de toiles de la Renaissance, un plancher en forme de ddaam miieerr sert de structure linéaire pour la construction de la perspective de la peinture. Les règles de base sont montrées sur le damier de jeu ci-dessous.
Premièrement, toutes les lignes fuyantes parallèles (qui, en fait, sont à angle droit avec le rebord avant du damier) semblent converger vers un point de fuite central (point de rencontre) à mesure qu'elles s'éloignent.
Deuxièmement, toutes les lignes parallèles au rebord avant du damier demeurent parallèles, bien que les espaces entre elles (qui sont en fait égaux) aient l'air plus petits à mesure qu'ils s'éloignent. Cet effet s'appelle effet de raccourci.
Troisièmement, les pièces les plus éloignées de l'il semblent plus petites que celles qui sont près : un effet que l'on appelle diminution.
D Deevvooiirr
Obtiens un livre qui traite du concept de la perspective et réponds aux questions suivantes.
1. Qui a inventé la perspective linéaire? Quand a-t-elle été inventée?
2. Dans l'image ci-dessus, indique les orthogonales, les transversales et la ligne de terre.
3. Dans l'image ci-dessus, trouve et identifie le point de fuite et dessine une ligne de vérification.
4. Quand a-t-on besoin de deux points de fuite?
5. Qu'est-ce que le braccio?
Le principe du pavé carré
ddaammiieerr :: (nom m.) plateau divisé en cases, alternativement blanches et noires, pour jouer au jeu de dames
Feuille à reproduire
2 p r
(circumfer ence)
Feuille à reproduire
43 3
p r
13 2
p r h
p r 2 h
Feuille à reproduire
C
A
D
B floor (ice) surface
Scale: 1:835 Surface du plancher
(glace)
Échelle : 1:835
1. a) Durant le Super Bowl, un message publicitaire à la télévision nationale se vend environ 875 000 $ pour 30 secondes. Combien coûterait un message de 90 secondes?
b) Un message de deux minutes durant la Série mondiale se vendrait environ 355 000 $ pour 30 secondes. Combien coûterait un message de 90 secondes?
c) Un message publicitaire durant la saison régulière de la Ligue nationale de football coûte environ 55 000 $ pour 30 secondes. Combien coûterait un message de 90 secondes durant une de ces émissions?
d) Explique pourquoi le prix d'un message de 90 secondes peut varier autant?
2. Durant un voyage de Rosenfeld à Blumenort en passant par Chenier, la voiture de Sophie consomme 11,4 L d'essence. À ce taux, combien d'essence dépensera-t- elle pour le voyage de retour de Blumenort à Rosenfeld en passant par La
Broquerie?
Questions diverses concernant les taux, rapports et proportions
Thompson
Blumenort
La Broquerie Rosenfeld
40 km
27 km 80 km
40 km 28 km
35 km
68 km
42 km Chenier
3. Un parc est illustré ci-dessous. Le gardien du parc doit semer la graine de gazon sur les endroits non asphaltés, en prenant soin de ne pas en mettre sur les aires asphaltées. Les instructions sur l'emballage de la graine de gazon
recommandent 3,75 kg/100 m
2.
a) Calcule la quantité de graine de gazon qu'il faudra au gardien s'il doit y avoir du gazon sous les ggrraaddiinnss.
b) Calcule la quantité de graine qu'on économiserait si l'aire sous les gradins était en gravier.
Paved Parking
Lot
Paved Area
Concession and Washrooms Bleachers
14 m 3 m
40 m 40 m
210 m
210 m
110 m 110 m
Stationnement asphalté
Aire asphaltée
Concession et toilettes Gradins
ggrraaddiinn :: (nom m.) chacun des bancs superposés dun stade, dun amphithéâtre
Nom : _________________________________ Date : _____________________________
IInnssttrruuccttiioonnss :: Mesure chacune des lignes ci-dessous en employant l'échelle indiquée. Inscris la mesure trouvée au-dessus de chaque ligne en question.
Mesurer à léchelle
Full Size (inches and cm)
Half Size (inches and cm)
1/4 Size (inches and cm)
1/8" = 1' - 0
1/4" = 1' - 0
1/2" = 1' - 0
3/4" = 1' - 0
1" = 1' - 0
Pleine dimension (en pouces et en cm)
Demi-grandeur (en pouces et en cm)
Quart de grandeur (en pouces et en cm)
1/8 po = 1 pi - 0 po
1/4 po = 1 pi - 0 po
1/2 po = 1 pi - 0 po
3/4 po = 1 pi - 0 po
1 po = 1 pi - 0 po
Nom : _________________________________ Date : ____________________________
Crée des dessins à l'échelle des figures ci-dessous en utilisant une échelle de 1:5 (où un centimètre de ton dessin à l'échelle représente cinq centimètres dans la figure originale.)
Facteurs et dessins à léchelle
Perspective centrale
A. Pour dessiner une boîte en
perspective à point de fuite unique, ou perspective centrale, trace deux lignes convergeant jusqu'à une ligne d'horizon, tel quillustré ci-dessous.
B. Détermine une section qui
représentera le fond de la boîte. D. Trace deux lignes de profondeur en partant du haut du côté le plus près et se rendant jusqu'au point de fuite. La hauteur du côté le plus éloigné est déterminée par l'intersection des lignes de
profondeur avec les lignes verticales ou lignes de hauteur.
C. À présent, dessine le petit côté le plus près en dessinant les
« hauteurs » de la boîte.
point de fuite
É
Éttaappee 11A A :: Trace une ligne verticale représentant l'arête de la boîte la plus près de l'observateur.
11B B :: Trace une ligne d'horizon et deux points de fuite.
11C C :: À partir des points de fuite, trace deux lignes pointillées rejoignant le haut et le bas de la ligne verticale.
É Éttaappee 22 :: Trace deux nouvelles lignes verticales, une de chaque côté de la première ligne verticale originale. Noircis les lignes pointillées comprises entre les lignes verticales.
É Éttaappee 33 :: Trace des lignes pointillées partant des points de fuite et rejoignant les coins supérieurs de la boîte. Noircis les lignes qui forment le dessus de la boîte.
Dessiner une boîte en perspective bifocale
VP HL
l VPl
VP HL
l VPl
VP HL
l VPl
PF
PF LH
PF
PF LH
PF
PF LH
Dessiner lintérieur
É Éttaappee 22 :: Une nouvelle ligne verticale est tracée à partir du coin supérieur arrière,
É Éttaappee 22 :: Une ligne verticale est dessinée vers le bas, venant du coin supérieur gauche, créant l'arête arrière. Noircis les deux lignes pour former le côté gauche.
É Éttaappee 33 :: Crée le fond et le côté arrière en prolongeant une ligne à partir du coin avant droit jusqu'au point de fuite de gauche.
É Éttaappee 44 :: Nous pouvons employer la perspective centrale pour placer une petite boîte à l'intérieur de la grande.
lVP VP
HL l
lVP VP
HL l
lVP VP
HL l
HL VPl
PF
PF LH
LH PF
PF
PF LH
PF
PF LH
É Éttaappee 11 :: Trace une ligne reliant le point de fuite de droite au coin inférieur gauche
de la boîte que nous venons de dessiner.
Nom : ________________________________ Date : ____________________________
1. Calcule le périmètre et laire de chacune des figures ci-après.
C
Coonnsseeiill :: Sers-toi d'abord d'une règle!
2. Trouve le volume de la pyramide carrée ci-dessous. Utilise la formule
3. Trouve le volume de la plus grande sphère qui n'est pas occupé par la petite sphère qui se trouve à l'intérieur, si R = 10 unités et r = 6 unités.
Périmètre, aire et volume
R r
V = 1 c
2h 3
h
c
c = 8 dm
h = 4,8 dm
Nom : ________________________________ Date : _____________________________
Voici plusieurs questions sur les proportions, un des concepts importants du dessin à l'échelle. Réponds à autant de questions que possibles durant la limite de temps permise. D Dééffii :: Essaie de résoudre les questions sans utiliser une calculatrice!
1. Sers-toi d'une proportion pour trouver les données manquantes dans toutes les cases du tableau ci-dessous.
2. Utilise une proportion pour indiquer les mesures manquantes dans le tableau ci-dessous.
Calcul mental
Résultat possible
30 40 45 20 28 30
Résultat du test(a) 20
(b) (c) (d)
(e) 12
(f)
Résultat équivalent sur 100
75 50 60
70
Mesure Échelle employée
1:10 1:50 1:30 1:45 1:80
Longueur de lobjet en dessin à léchelle
7 pouces 8,5 cm 4,3 coudées
0,5 braccia
6,2 planches
Unité D : Projet de géométrie
Demi-cours II
Corrigé
Questions diverses sur les taux, ratios et proportions
