Feuille de TD n o 5

Université de Bordeaux I – 2011/12 N1MA4M11

Feuille de TD n ^o 5

Sous-groupes distingués et quotients (suite)

Exercice 1 lemme de Frobenius.

SoientGun groupe fini et H un sous-groupe deG d’indicem. On poseX =G/H\ {H}.

1. Soit h∈H. Construire une bijection f(h) :X−→X qui àxH associehxH pour tout x∈G\H.

2. Vérifier quef :H−→S(X) est un morphisme de groupes.

3. Montrer que tout diviseur premier de # (Im f) est inférieur àm−1.

4. Supposons que tout diviseur premier de #H est supérieur àm. Montrer que H est distingué dansG.

Exercice 2

SoientGun groupe etN un sous-groupe deGd’indice2. SoitH un sous-groupe simple deGd’ordre supérieur à 3. Ici, un groupe simple est un groupe non trivial qui ne possède pas de sous-groupe distingué autre que lui-même et son sous-groupe trivial.

1. Montrer queN est un sous-groupe distingué deG.

2. En déduire queH∩N est un sous-groupe distingué deG.

3. Prouver que H⊆N.

Exercice 3

SoientGun groupe etH un sous-groupe distingué deG. On suppose H d’ordre2. Montrer que H est contenu dans le centre deG.

Groupe cyclique

Exercice 4

1. Pourn∈Z≥1, on note µn le groupe des racines n-ièmes de l’unité dansC. (a) Montrer que µ_n est un sous-groupe de C^∗, cyclique d’ordren.

(b) Combien y a-t-il d’isomorphismes de groupes entreµn etZ/nZ? 2. Soit U1 ⊂C^∗ le sous-groupe des nombres complexes de module1.

(a) Montrer que tout sous-groupe fini deU₁ est cyclique, engendré par une racine de l’unité.

(b) Montrer que tout sous-groupe infini deU1 est dense.

Exercice 5

Soitn∈N, etGle groupe cyclique d’ordre n,G=Z/nZ. 1. Montrer que tout sous-groupe deG est cyclique.

2. Montrer que tout quotient deG est aussi cyclique.

3. Montrer que, si d|n, il existe un unique sous-groupe deG d’ordred.

4. En déduire quen=P

d|nϕ(d) oùϕ désigne la fonction d’Euler.

5. Donner un exemple d’un groupeHdont tous les sous-groupespropres sont cycliques, mais qui n’est pas abélien. SiH est abélien, est-il cyclique ?

Exercice 6

SoitGun groupe ayant exactement deux sous-groupespropres non triviaux. Montrer queGest ou bien cyclique d’ordrepqoùpetq sont des nombres premiers distincts, ou bienGest cyclique d’ordrep³ où pest un nombre premier.

Exercice 7 Structure des groupes (Z/nZ)^∗

29 mars 2012 – feuille de TD n^o5 1 / 2

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1. Soit p un nombre premierimpair.

(a) Pour tout entier k≥1, montrer qu’il existe un entier a_k, premier avecp, tel que

(1 +p)^pk = 1 +akp^k+1.

(b) Quel est l’ordre de1 +p dans le groupe multiplicatif(Z/p^kZ)^∗? (c) En déduire un isomorphisme de groupes :

(Z/p^kZ)^∗ 'Z/p^k−1(p−1)Z, ∀k.

2. On considère maintenant le cas p= 2.

(a) Pour n= 1ou n= 2, montrer que le groupe(Z/2ⁿZ)^∗ est cyclique.

(b) Pour tout entierk≥0, montrer qu’il existe un entier u_k≥0 impair tel que5^2k = 1 + 4×2^ku_k. (c) Si n≥2, quel est l’ordre de la classe de 5 dans(Z/2ⁿZ)^∗?

(d) En déduire, pourn≥3, un isomorphisme de groupes :

(Z/2ⁿZ)^∗ 'Z/2Z×Z/2ⁿ⁻²Z. 3. Pour quels entiersn≥1, le groupe multiplicatif(Z/nZ)^∗ est-il cyclique ?

Groupe diédral

Exercice 8

1. Déterminer le centre du groupe diédralD_2n.

2. Si n≥3. Montrer que D_2n contient un seul sous-groupe cyclique d’ordren.

Exercice 9

Soitp un entier premier impair etG un groupe de cardinal2p.

1. Montrer queGcontient d’un élément d’ordre p.

2. Si Gcontient un élément d’ordre2p. Montrer que G'Z/2pZ.

3. Supposer maintenant qu’aucun élément n’est d’ordre2p. Soit alorsa∈Gun élément d’ordrep, et noter H=< a >le sous-groupe engendré parp.

(a) Soit b∈G−H. Montrer queG={1, a,· · ·, a^p−1, b, ba,· · · , ba^p−1}.

(b) Montrer queb² =e.

(c) Montrer l’égalité suivante : ab=ba^p−1. (d) En déduire queG'D2p.

4. Montrer queS3 'D6.

Exercice 10

Prouver que sin≥3,D_2n est isomorphe à un sous-groupe deS_n et que c’est faux sin= 2.

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