On note E

Chapitre 5

Int´ egration num´ erique

5.1 Interpolation et int´ egration. M´ ethode de Gauss

5.1.1 Dualit´ e et interpolation

On note E

les ´ el´ ements de IR[x] de degr´ e strictement inf´ erieur ` a n. On note E

= L(E

, IR) l’espace vectoriel dual.

NB : E

et E

sont deux espaces vectoriels de dimension n.

D´ efinition 5.1.1 Soit c un r´ eel, alors l’application δ

: E

→ IR P 7→ P (c)

est un ´ el´ ement de E

Proposition 5.1.2 Si (c

)

sont n r´ eels distincts, alors (δ

)

est une base de E

.

Proposition 5.1.3 Pour 0 ≤ i < n, si L

= ^Y

0≤j<n,j6=i

x − c

c

− c

, alors la famille (L

)

est une base de E

, et c’est la base duale

de (δ

)

.

5.1.2 Int´ egration

D´ efinition 5.1.4 Pour n ∈ IN

, on note I

l’application E

→ IR

P 7→

Z

−1

P (t)dt .

Comme I

est un ´ el´ ement de E

, et que si (c

)

sont n r´ eels distincts, alors (δ

)

est une base de E

, on obtient grace aux coordonn´ ees de I

dans cette base :

Proposition 5.1.5 Pour tout n-uplet (c

)

de r´ eels distincts, il existe (α

)

∈ IR

tel que :

∀P ∈ E

,

Z

−1

P (t).dt =

n−1

X

i=0

α

.P (c

)

5.1.3 Polynˆ omes orthogonaux

Proposition 5.1.6 L’application bilin´ eaire : E

× E

→ IR (P, Q) 7→

Z

−1

P (t).Q(t).dt

d´ etermine un pro-

duit scalaire sur E

.

D´ efinition 5.1.7 ( Polynˆ omes de Legendre) On note (l

)

la famille de polynˆ omes uni- taires obtenue ` a partir de (x

)

par orthogonalisation de Schmidt pour le produit scalaire pr´ ec´ edent.

1. On rappelle qu’il y a une identification canonique entre un espace et son bidual. On a donc identifi´ e E

et E

1

Proposition 5.1.8 Les polynˆ omes de Legendre v´ erifient la formule de r´ ecurrence : l

= 1; l

= x; ∀n > 1, l

= 2n + 1

n + 1 x.l

− n

n + 1 .l

.

Remarque 5.1.9 Dans le cas plus g´ en´ eral d’un produit scalaire du type (P, Q)

=

Z

(P (t).Q(t).w(t)dt o` u w est une fonction fix´ ee int´ egrable positive, la famille orthogonalis´ ee serait toujours solution de la r´ ecurrence :

l

= (x − α

).l

− β

.l

o` u α

= (x.l

, l

)

(l

, l

) et β

= (l

, l

) (l

, l

)

5.1.4 M´ ethode de Gauss

Les polynˆ omes de Legendre permettent d’am´ eliorer la proposition 5.1.5 par un choix optimal des (c

).

Th´ eor` eme 5.1.10 Si (c

)

sont les n racines de l

, alors il existe (α

)

∈ IR

tel que :

∀P ∈ E

,

Z

−1

P (t).dt =

n−1

X

i=0

α

.P (c

)

Exercice 5.1.11 1) On consid` ere le polynome de Legendre l

.

a) Etudiez sa d´ efinition dans la documentation d’xcas, et trouvez ses racines c

, . . . , c

(va- leurs exactes).

b) Calculez vous mˆ eme la suite (l

) en utilisant la relation de r´ ecurrence.

2) Trouvez les coordonn´ ees (α

, . . . , α

) de I

dans la base δ

, . . . , δ

. 3) Comparez pour n < 10 :

Z

−1

t

.dt avec

4

X

i=0

α

.c

. Que peut on dire de I

? 4) a) D´ efinir le produit scalaire (P, Q) =

Z

−1

P (t).Q(t).dt b) Calculez (x

, l

)

5) Comparez les valeurs approch´ ees de

Z

−1

f(t).dt avec

4

X

i=0

α

.f (c

) pour f (x) = 1 1 + x

2