Représentations déterminantales effectives des polynômes univariés par les matrices flèches

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Représentations déterminantales effectives des polynômes univariés par les matrices flèches

Ronan Quarez

To cite this version:

Ronan Quarez. Représentations déterminantales effectives des polynômes univariés par les matrices flèches. 2008. �hal-00318578�

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Représentations déterminantales effectives des polynˆ omes univariés par les matrices flèches

Ronan Quarez

IRMAR (CNRS, URA 305), Universit´e de Rennes 1, Campus de Beaulieu

35042 Rennes Cedex, France

e-mail : ronan.quarez@univ-rennes1.fr

4 septembre 2008

Résumé: Nous établissons d’abord l’existence d’une représentation déterminantale effective pour tout polynôme univarié à coefficient réels. Nous voyons ensuite plus précisément qu’un polynôme univarié de degrér+ 2sà coefficients réels admet une représentation déterminantale effective de signature (r+s, s) si et seulement s’il possède au moinsrracines réelles comptées avec multiplicité. Les représentations déterminantales effectives sont construites à partir de matrices flèches.

Mots clé: Corps réel clos - Forme bilinéaire symétrique - Matrice flèche - Représentation déterminantale - Séries de Puiseux

MSC classification: 12 - 13 - 15

1 Introduction

D’après [HMV], on peut affirmer que tout polynôme p(x)∈R[x₁, . . . , x_N] tel que p(0)6= 0, possède une représentation déterminantale :

p(x) =αdet(J −

N

X

i=1

x_iA_i)

où α ∈ R, J est une matrice signature (une matrice diagonale avec des coefficients ±1 sur la diagonale) deR^D×D, etA₁, . . . A_N des matrices symétriques deR^D×D (dont on notera l’ensemble SR^D×D). On a bien sûr α = det(J)p(0) et dans la suite on se ramènera souvent au cas d’un polynômep(x) normalisé, i.e. tel que α= 1.

Lorsque N = 1 ou N = 2 on peut prendre D = d le degré du polynôme p(x) (confer [HV]). Par contre, lorsque N ≥ 3, on a en général D > d. L’existence d’une représentation déterminantale générale étant due à [HMV, Theorem 14.1], on peut aussi regarder [Qz] pour une démonstration n’utilisant que de l’algèbre linéaire.

Rappelons de [HV] qu’un polynôme p(x) est dit RZ, si la condition p(λx) = 0 implique queλest réel. Notons d’abord que tout polynôme admettant une représentation déterminantale unitaire, c’est-à-dire avecJ = Id_d la matrice identité deR^d×d(que l’on note encore Id lorsqu’il

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n’y a pas d’ambigu¨ıt´e) est RZ. En effet, det( Id−λ(P_N

i=1x_iA_i)) = 0 implique que _λ¹ est une valeur propre de la matrice sym´etriqueP_N

i=1x_iA_i, doncλest r´eel.

On peut alors légitimement s’interroger sur la propriété réciproque, à savoir si p(x) est un polynômeRZ, est-ce qu’il possède une représentation déterminantale unitaire ?

SiN ≥3, on ne sait pas répondre à la question. SiN = 2, le théorème profond [HV, Theorem 2.2] y répond par l’affirmative.

SiN = 1 le résultat est évident. Il suffit en effet de partir de la décomposition du polynôme p(x) en produit d’irréductibles. Comme p(x) est RZ, il n’a que des racines réelles, donc il est de la formep(x) =Q_d

i=1(1−α_ix) pour peu qu’on supposep(x) = 1. On en tire l’identit´e p(x) = det





Id−x







α₁ 0 0 0 . .. 0

0 0 α_d













Toutefois, le défaut de cette représentation est de faire appel aux racines de p(x). Dans la suite, nous nous intéressons aux représentations déterminantales effectives, c’est-à-dire que l’on peut construire en temps polynomial en fonction de la taille des coefficients et du degré dep(x).

Typiquement, nous exhibons des matrices dont les coefficients sont donnés par des formules polynomiales explicites en fonction des coefficients dep(x) ou de réels qui s’en déduisent par des algorithme polynomiaux classiques.

Par commodité, on pourra manipuler le problème équivalent de la recherche d’une matrice symétrique dont le polynôme caractéristique est donné. Il suffit en effet de noter que lorsqu’on fixe la taille de la matriceA égale au degré ddu polynôme, la condition p(x) = det( Id−xA)

équivaut à p^∗(x) = det(xId−A) où p^∗(x) est le polynôme réciproque de p(x). Cette question a re¸cu les contributions de [Fi] où il est fait usage de matrices flèches, et de [Sr] où il est fait usage de matrices tridiagonales.

Dans ce papier nous reprenons la méthode de [Fi] et nous établissons en 4.1 et 5.1 qu’un polynôme p(x) univarié de degré d= r+ 2s possède au moins r racines réelles comptées avec multiplicité si et seulement s’il admet (sous la forme d’une matrice flèche) une représentation déterminantale effective de tailledet de signature (r+s, s), c’est-à-dire qu’on peut déterminer de manière effective une matrice symétriqueA∈R^d×d telle que, à un facteur multiplicatif près, p(x) = det(J_s−xA), avec J_s = Id_s+rL

(−Id_s) o`u L

d´esigne la somme directe usuelle entre matrices.

Le plan est le suivant. Au paragraphe 2, nous exposons deux Lemmes techniques concernant le déterminant d’une matrice flèche, ainsi que quelques notions utiles sur les corps réels clos et les séries de Puiseux. Au paragraphe 3, nous rappelons la méthode de [Fi], méthode que nous généralisons au cas des polynômes quelconques au paragraphe 4. Puis, au paragraphe 5, nous nous intéressons à la réciproque de cette propriété et nous montrons au passage que tout endomorphisme auto-adjoint relativement à une forme quadratique de signature (r+s, s) possède au moinsr valeurs propres réelles comptées avec multiplicité. Pour terminer, au paragraphe 6, nous mentionnons que l’on peut passer de manière effective d’une représentation déterminantale de signature (r+s, s) donnée par une matrice flèche à une représentation déterminantale de signature (r+s−1, s+ 1).

(4)

2 D´ eterminant d’une matrice fl` eche et corps r´ eels clos

Nous dirons qu’une matrice A donn´ee par blocs par A=

B H

K D

avec B ∈R^r×r,H ∈R^r×s,K ∈R^s×r,D∈R^s×s est une matrice fl`echelorsque B est diagonale, ou par extension une matrice diagonale par blocs avec des blocs de taille 1 ou 2.

Le point clé des calculs matriciels à suivre sur les matrices flèches se fera souvent en con- sidérant leurscompléments de Schur, ce qu’on explicite dans le Lemme classique suivant : Lemme 2.1 Si B ∈R^r×r est inversible,H ∈R^r×s, K∈R^s×r, D∈R^s×s, alors :

(i)

det

B H

K D

= det(B) det(D−KB⁻¹H) En particulier,

(ii) lorsque s= 1, on obtient : det

B H

K D

= det(D) det(B)− det(D)KB⁻¹H

= det(D) det(B)−K(Com(B))^TH o`u Com(B) est la comatrice de B.

Lorsque s= 1 et B est diagonale, on a peut expliciter le polynˆome caract´eristique suivant : (iii)

det







x−λ1 0 . . . 0 h1

0 x−λ2 .

.. . .

. h2

. ..

.. .

..

. 0 .

. .

0 . . . 0 x−λr hr

k1 k2 . . . kr x−d







= (x−d)×Qr

i=1(x−λi)−Pr

i=1hikiQ

j6=i(x−λj)

Par la suite, nous seront amené à changer le corps de base R en un sur-corps avec qui il partagera toutes les propriétés de corps ordonné. Un corps R est dit réel clos si R[I] est algébriquement clos, où I est tel que I²=−1.

Si R est r´eel clos, alors Rhhǫii = {P_+∞

i=−i0a_iǫî/q | i₀ ∈ N, q ∈ N^∗,∀i a_i ∈ R} est encore réel clos. C’est le corps des séries de Puiseux à coefficients dansR en la variable ǫ. Sa clôture algébrique estRhhǫii[I] ou encoreR[I]hhǫii. Le plus petit entier relatifptel quea_p 6= 0 est appelé lavaluation de la série de Puiseux.

Si R est réel clos, les polynômes de R[x] vérifient, entre autres, le Théorème des valeurs intermédiaires, le Théorème de Rolle, ainsi que le Théorème de Sturm.

Nous serons amené aussi à considérer Rhǫi le sous corps de Rhhǫiidont chaque élément est algébrique au-dessus deR(ǫ). Sur le sous-anneau Rhǫi₀ constitué des éléments de Rhǫi qui sont de valuation positive (typiquement, si S(ǫ) est une série de Puiseux qui annule un polynôme

(5)

unitaire à coefficients dans R(ǫ), alors elle est de valuation positive), on dispose du morphisme d’évaluation à valeurs dansR qui consiste à substituer 0 àǫ. On notera ce morphisme lim_ǫ→0.

Pour toutes ces notions, on peut se référer à [BPR].

Dans le Lemme qui suit, on peut voir, d’un point de vue empirique, l’ajout de la nouvelle variableǫcomme une perturbation infinit´esimale d’une matrice qui permet de se ”d´ebarrasser”

de ses valeurs propres multiples.

Lemme 2.2 Soit R un corps r´eel clos. Soit la matrice A =

B H

K d

o`u B ∈ R^n×n, H ∈ R^n×1, K ∈ R^1×n, d ∈R. On suppose que B ne poss`ede que des valeurs propres simples dans R[I]. Alors,A_ǫ =

B H K d+ǫ

∈Rhhǫii(n+1)×(n+1) ne poss`ede que des valeurs propres simples dans R[I]hhǫii. Et on a bien sˆur aussi limǫ→0A_ǫ=A.

Démonstration: Notonsp_A(x) = det(x Id−A) le polynôme caractéristique deAetλ₁, . . . , λ_n+1 ses racines dansR[I] (i.e. les valeurs propres deA). De même, notons λ_1,ǫ, . . . , λ_n+1,ǫles valeurs propres deA_ǫ, ou encore les racines de p_A_ǫ(x) dansRhhǫii[I]. Du fait quep_A_ǫ(x) est unitaire, lesλ_i,ǫ sont dans Rhǫi₀ pour touti= 1. . . n+ 1.

Comme lim_ǫ→0p_A_ǫ(x) =p_A(x), on sait que lim_ǫ→0λ_i,ǫ est une valeur propre de p_A(x), donc

`

a renum´erotation pr`es, on peut supposer que lim_ǫ→0λ_i,ǫ = λ_i, pour tout i = 1. . . n+ 1. En particulier, siλ_i est une valeur propre simple deA, alorsλ_i,ǫ est une valeur propre simple deA_ǫ.

Du Lemme 2.1 (ii), on tire

p_A(x) =p_B(x)(x−d)−q_H(x) avec q_H(x) =K(Com(xId−B))^TH Et aussi

p_A_ǫ(x) =p_B(x)(x−d−ǫ)−q_H(x) =p_A(x)−ǫp_B(x)

Soit λ_ǫ une racine de p_A_ǫ(x) telle que lim_ǫ→0λ_ǫ =λest une racine de p_A(x) de multiplicit´e m≥2.

Ecrivons

p_A(x) =

n+1

X

k=m

p^(k)_A (λ)

k! (x−λ)^k et

p_B(x) =

n

X

l=0

p^(l)_B(λ)

l! (x−λ)^l On peut supposer quep_A_ǫ(λ_ǫ) =p^′_A

ǫ(λ_ǫ) = 0 sinonλ_ǫserait racine simple dep_A_ǫ(x) et on aurait rien `a montrer.

Par ailleurs, on peut écrire λ_ǫ = λ+αǫû +. . . où α ∈ R[I]^∗, u ∈ Q^∗₊, et les points de suspension désignent des termes de valuation > u. En effet, on remarque pour cela que α = 0 est impossible. Sinon, λ_ǫ = λ donnerait p_A_ǫ(λ) = −ǫp_B(λ) = 0 et de même p^′_B(λ) = 0, donc p_B(λ) =p^′_B(λ) = 0 ce qui est contraire aux hypothèses.

Deux cas se pr´esentent :

(6)

1) Supposons quep_B(λ)6= 0. Alors

p_A_ǫ(λ_ǫ) =p_A(λ_ǫ)−ǫp_B(λ_ǫ) = p^(m)_A (λ)

m! α^mǫ^mu+. . .

!

−(p_B(λ)ǫ+. . .) Donc une condition n´ecessaire pour quep_A_ǫ(λ_ǫ) = 0 est

mu= 1 et p^(m)_A (λ)

m! α^m−p_B(λ) = 0 Puis, on dit que p_B(x) est de la forme p_B(x) =p_B(λ) +^P

(s) B (λ)

s! x^s+. . . et donc que p^′_A_ǫ(λ_ǫ) =p^′_A(λ_ǫ)−ǫp^′_B(λ_ǫ) = p^(m)_A (λ)

(m−1)!α^m−1ǫ^(m−1)u+. . .

!

− p^(s)_B (λ)

(s−1)!α^s−1ǫ^s−1+1+. . .

!

D’o`u une condition n´ecessaire pour quep^′_A_ǫ(λ_ǫ) = 0 est (m−1)u=s≥1 et p^(m)_A (λ)

(m−1)!α^m−1− p^(s)_B (λ)

(s−1)!α^s−1= 0 On obtient doncmu= 1 et (m−1)u≥1, une contradiction.

2) Supposons quep_B(λ) = 0.

Par hypothèse, on ap^′_B(λ)6= 0. L’égalité p_A_ǫ(λǫ) = 0 donne la condition nécessaire : mu=u+ 1 et p^(m)_A (λ)

m! α^m =p^′_B(λ)α De même, l’égalité p^′_A

ǫ(λ_ǫ) = 0 donne la condition n´ecessaire : (m−1)u= 1 et p^(m)_A (λ)

(m−1)!α^m−1 =p^′_B(λ) D’o`u ^p

(m) A (λ)

m! = ^p

(m) A (λ)

(m−1)!, une contradiction.

Par conséquent, même siλest racine au moins double dep_A(x), alorsλ_ǫn’est plus que racine simple dep_A_ǫ(x). Ainsi, p_A_ǫ(x) ne possède que des racines simples dans R[I]hhǫii.

3 Repr´ esentations d´ eterminantales des polynˆ omes dont toutes les racines sont r´ eelles

La proposition suivante est issue de [Fi].

Proposition 3.1 Si p(x) est un polynôme unitaire de degré d scindé à racines simples dans R[x], on peut trouver de manière effective une matrice flèche A∈R^d×d de la forme

A=







λ₁ 0 . . . 0 h₁ 0 . .. ... ... ... ... . .. ... 0 ... 0 . . . 0 λ_d−1 h_d−1 h₁ . . . h_d−1 e







telle que det(xId−A) =p(x).

(7)

Remarque 3.2 Notons déjà que l’on peut étendre le résultat au cas des polynômes ayant toutes leurs racines réelles mais pas forcément simples. Il suffit en effet de factoriser par pgcd(p(x), p^′(x)) et de raisonner par récurrence sur le degré d de p(x). Il faut juste prendre garde que l’on obtient au bout du compte une matrice A qui est flèche-diagonale, c’est-à-dire diagonale par bloc, chaque bloc étant une matrice flèche.

Rappelons la m´ethode utilis´ee dans [Fi].

Localisation des racines

Notons α₁ < α₂ < . . . < α_d les racines de p(x). La première étape consiste à localiser les racines, c’est possible par exemple en faisant appel aux suites de Sturm, ou par d’autres moyens

´equivalents (confer [BPR]).

Entrelacement

On choisit ensuite une famille de r´eels arbitraires λ₁, . . . , λ_d−1 qui entrelacent les racines, c’est-`a-dire tels que

α₁< λ₁ < α₂< λ₂ < . . . < α_d−1 < λ_d−1< α_d On cherche alors la matrice A sous la forme :

A=







λ₁ 0 . . . 0 h₁ 0 . .. ... ... ...

... . .. ... 0 ... 0 . . . 0 λ_d−1 h_d−1 h₁ . . . h_d−1 e







où h₁, . . . , h_d−1 etesont des réels à déterminer.

Interpolation

De la formule de 2.1 (iii), on tire :

q(x) = det(xId−A) = (x−e)

d−1

Y

i=1

(x−λ_i)−

d−1

X

i=1

h²_i Y

j6=i

(x−λ_j) Il suffit alors d’interpoler en les r´eelsλ_i.

En effet, on a q(λ_i) =−h²_i Q

j6=i(λ_i −λ_j), et comme p(x) est unitaire, le r´eel p(λ_i) est du signe de −Q

j6=i(λ_i−λ_j) en raison de la condition d’entrelacement. Donc, on peut trouver h_i tel queq(λi) = p(λi) pour i= 1. . . d−1. De plus, si on choisit e tel que−e−Pd−1

i=1 λ_i vaut le coefficient enx^d−1 de p(x), on est assur´e quep(x) =q(x).

4 Repr´ esentations d´ eterminantales des polynˆ omes quelconques

Considérons désormais un polynômep(x) de degrédpossédant exactement r racines réelles comptées avec multiplicité.

Encore une fois, plutôt que la recherche d’une représentation déterminantale proprement dite, on traitera le problème équivalent de la recherche d’une matrice symétrique A telle que p(x) = det(xJ−A) avecJ une matrice de signature.

(8)

Pour peu qu’on suppose le coefficient dominant de p(x) égal à (−1)^s, on peut l’écrire : p(x) =

r

Y

i=1

(x−α_i)

s

Y

j=1

(−(x−β_j)²−γ_j²) o`u lesα_i,β_j, γ_j sont r´eels et γ_j 6= 0.

On dispose alors de la repr´esentation ´evidente p(x) = det(J x−A) avec

J =







1 0

0 −1 . ..

1 0

0 −1 1

. ..

1







=

Id₁M

(−Id₁)sM Id_r

et

A=







β₁ γ₁ γ₁ −β₁

. ..

β_s γ_s γ_s −β_s

α₁ . ..

α_r







Voyons maintenant comment étendre la méthode du paragraphe précédent pour obtenir une représentation effective.

Théorème 4.1 Tout polynômep(x)de degréd=r+2stel quep(0)6= 0et possédant exactement r racines réelles, comptées avec multiplicité, admet une représentation déterminantale effective de signature (r+s, s).

Démonstration: Encore une fois, quitte à factoriser successivement par pgcd(p(x), p^′(x)), on peut supposer que le polynômep(x) ne possède que des facteurs simples. On obtiendra alors pour A une matrice flèche-diagonale (diagonale par blocs dont les blocs sont des matrices flèches).

On suppose que le polynˆome s’´ecrit toujours p(x) =

r

Y

i=1

(x−α_i)

s

Y

j=1

(−(x−β_j)²−γ_j²) même si on n’a plus accès aux réels α_i, β_j etγ_j 6= 0.

Localisation des racines

Par exemple grâce aux suites de Sturm, on peut déterminer le nombre r de racines réelles de p(x) et aussi les localiser. On supposeraα₁ < . . . < α_r.

(9)

Entrelacement

On choisit une famille arbitraire de r´eelsλ₁, . . . , λ_r−1 qui entrelacent les racines r´eelles, c’est-

`

a-dire telle que

α₁< λ₁ < α₂ < λ₂< . . . < α_r−1 < λ_r−1< α_r On cherche alors la matrice A sous la forme fl`eche suivante :

A=







µ₁ ν₁ k₁

ν₁ −µ₁ l₁

. .. ...

µ_s ν_s k_s

ν_s −µ_s l_s

λ₁ h₁

. .. ...

λ_r−1 h_r−1 k₁ l₁ . . . k_s l_s h₁ . . . h_r−1 e







où (µ_j, ν_j) ∈ R×R^∗ pour j = 1. . . ssont des réels arbitraires et les h_i, k_j, l_j et e sont des réels à déterminer pouri= 1. . . r etj= 1. . . s.

Interpolation

En se servant 2.1 (ii), on calcule q(x) = det(xJ −A)

=







x−µ₁ −ν1 −k1

−ν₁ −x+µ₁ −l₁

. .. ...

x−µ_s −ν_s −k_s

−ν_s −x+µ_s −l_s

x−λ₁ −h₁

. .. ...

x−λ_r−1 −hr−1

−k₁ −l₁ . . . −k_s −l_s −h₁ . . . −h_r−1 x−e







= (x−e)u(x)v(x)−v(x)Pr−1

i=1 h²_iu_i(x)−u(x)Ps

j=1((−x+µ_j)k_j²+ 2νjk_jl_j+ (x−µ_j)l²_j)vj(x) o`u 









u(x) = Qr−1

i=1(x−λ_i) u_i(x) = _x−λ^u(x)

i

v(x) = Q_s

j=1−((x−µ_j)²+ν_j²) v_j(x) = ^v(x)

−((x−µj)²+ν_j²)

Du coup, q(λ_i) = −v(λ_i)h²_iu_i(λ_i). Or p(λ_i) = Q_s

j=1−((λ_i −β_j)² +γ_j²)×Q_r

k=1(λ_i −α_k), dont le premier produit est du signe de v(λ_i) (qui est aussi celui de (−1)^s). Ainsi, grâce à la condition d’entrelacement, il est possible de trouver un réel h_i tel que q(λ_i) = p(λ_i) pour tout i= 1. . . r−1.

(10)

Puis

q(µ_j+Iν_j) = −u(µ_j+Iν_j)((−Iν_j)k²_j + 2ν_jk_jl_j + (Iν_j)l²_j)v_j(µ_j +Iν_j)

= −u(µ_j+Iν_j)(−Iν_j)(k_j+Il_j)²v_j(µ_j+Iν_j)

Il est donc possible de trouver (k_j, l_j) ∈ R² tels que q(µ_j +Iν_j) = p(µ_j +Iν_j) pour tout j= 1. . . s.

Pour finir, si on choisi e tel que (−1)^s(P_s

j=12µj −P_r−1

i=1 λ_i−e) vaut le coefficient en x^d−1 de p(x), on est assur´e quep(x) =q(x).

Cas particulier

Nous nous devons traiter à part le cas où p(x) ne possèdeaucuneracine réelle. Dans ce cas, on pose

J =







1 0

0 −1 . ..

1 0

0 −1

−1 1







=

Id₁M

(−Id₁)s−1M

(−Id₁)M Id₁

et on chercheA sous la forme

A=







µ₁ ν₁ k₁

ν₁ −µ1 l₁

. ..

µ_s−1 ν_s−1 k_s−1 ν_s−1 −µ_s−1 l_s−1

λ h

k₁ l₁ . . . k_s−1 l_s−1 h e







En fait, le seul aménagement du cas précédent consiste à remarquer que la quantité ( det(xJ −A))_(x=−λ) =−h²×

s−1

Y

j=1

(−(−λ−µ_j)²−ν_j²)

est du mˆeme signe quep(−λ), ce qui permet de trouver un r´eel h qui assure l’interpolation au

point x=−λ. Le reste de l’argument est analogue.

5 Racines r´ eelles des repr´ esentations d´ eterminantales

Intéressons-nous dorénavant à la propriété réciproque du Théorème 4.1.

Théorème 5.1 Soit A une matrice symétrique de SR^d×d avec d= r+ 2s. Alors, le polynôme p(x) = det (xJ_s−A), où J_s = ( Id_r+sL

(−Id_s)), possède au moins r racines réelles comptées avec multiplicité.

(11)

Démonstration: Si on reformule le problème en terme d’endomorphisme auto-adjoint relativement à la forme bilinéaire symétrique donnée par la matrice J_s, on est ramené à montrer le Théorème 5.2. En effet, si on considère queJ_s est la matrice d’une forme bilinéaire symétrique (de signature (r+s, s)) surR^r+2s, alors relativement à cette forme bilinéaire symétrique, l’ad- jointeB^(∗^s⁾de la matriceB est donnée par la formuleB^(∗^s⁾=J_sB^TJ_s. Il reste alors à remarquer quep(x) = (−1)^sdet(xId−AJ_s) et que AJ_s estJ_s-autoadjointe.

Avant d’énoncer le résultat proprement dit, notons que si on se donne une forme quadratique de signature (r+s, s) surR^r+2s par une matrice symétriqueS, alors la forme bilinéaire associée s’écrithX, Yi =X^TSY. Or on peut décomposer S =Q^TJ_sQ avec Q inversible, ainsi hX, Yi= (QX)^TJ_s(QY), donc à un changement de coordonnées près, on peut supposer que la forme quadratique est donnée par la matriceJ_s.

Théorème 5.2 Dans l’espace Rⁿ, muni d’une forme quadratique de signature (r+s, s), tout endomorphisme auto-adjoint possède au moins r racines réelles comptées avec multiplicités.

Démonstration: On suppose donné l’endomorphisme auto-adjoint par sa matriceAdans la base canonique. La démonstration se fait par récurrence sur s. On commencera par traiter les cas s= 0 ets= 1 pour fixer les idées. Ensuite, on s’attaquera à l’hérédité dans le cas général. L’idée consiste grosso-modo en une orthonormalisation relativement à une forme bilinéaire symétrique de type J_k qui fera apparaˆıtre une matrice flèche dont on saura calculer le déterminant. On pourra alors en déduire le nombre de racines souhaité. En fait, l’étape deJ_k-orthonormalisation ne marche bien que si la matrice considérée n’a que des valeurs propres simples. Pour se ramener

`

a cette situation, on ajoutera de nouvelles variables infinit´esimales.

Quelques notations

Soient (r, s)∈N²et pour tout entierk= 0. . . s, notonsn_k=r+s+ketJ_k = Id_r+sL

(−Id_k)∈ Rⁿ^k^×n^k.

La matrice A est de la forme

A=

A₀ −H

H^T D

avec H∈Rⁿ⁰^×s,D= (d_i,j)∈SR^s×s etA₀∈SRⁿ⁰^×n⁰.

Appelons A_k la n_k-i`eme matrice extraite principale de A, de sorte que, pour tout k = 0. . . s−1, on a des matricesH_k∈Rⁿ^k^×1 etL_k∈R^1×n^k telles que :

A_k+1 =

A_k −H_k+1 L_k+1 d_k+1,k+1

On introduit le polynôme caractéristique p(x) = p_A(x) = det(xId−A) de A, et il s’agit de montrer qu’il possède au moins r valeurs propres réelles, comptées avec multiplicité. Nous introduisons aussi les polynômes caractéristiques p_k(x) = det(xId_n_k−A_k).

On proc`ede par r´ecurrence sur s.

Les cas s= 0 et s= 1

Sis= 0, le résultat est clair : c’est le théorème spectral usuel pour les matrices symétriques réelles. En vue de préparer l’étape suivante, explicitons son utilisation.

Il existe une matrice orthogonale Q₀ ∈ Rⁿ⁰^×n⁰, c’est-à-dire telle que Q^T₀Q_O = Id (on dira aussi qu’elle estJ₀-orthonormale, autrement dit que Q^(∗₀⁰⁾Q₀ = Id où l’adjoint ^(∗⁰⁾ est relatif à la forme bilinéaire symétrique donnée parJ₀) telle que la matriceB₀ =Q^T₀A₀Q₀ est diagonale :

(12)

B₀ =







λ₁ 0 0 0 . .. 0 0 0 λ_n₀





.

Posons

A^′₀ =B₀+







ǫ₀ 0 0 0

0 2ǫ₀ 0 0

0 0 . .. 0

0 0 0 n₀ǫ₀





 .

On obtient alors une matriceA^′₀ ∈(Rhǫ₀i₀)ⁿ⁰^×n⁰, diagonale, dont toutes les valeurs propres sont simples, et telle que lim_ǫ₀_→0A^′₀=B₀ =Q^T₀A₀Q₀.

Traitons aussi le cas s = 1, pour fixer les idées, même si l’hérédité dans le cas général comprendra ce cas là.

Du fait que A₁ =

A₀ −H₁ L₁ d_1,1

avec H₁^T =L₁, on introduit la matrice B₁ ∈Rⁿ¹^×n¹ telle que

B₁ = Q₀M

Id(∗1)

A₁ Q₀M

Id

=

B₀ −H₁^′ L^′₁ d^′_1,1

o`u ^(∗¹⁾ est l’adjoint relativement `a J₁. Notons au passage que (Q₀L

Id)^(∗¹⁾=Q^(∗₀ ⁰⁾L Id₁. On peut ´ecrire, par le Lemme 2.1 (i) :

p₁(x) = det(xId_n₁−A₁) = det

xIdn0−B₀ H₁^′

−L^′₁ x−d^′_1,1

= (x−d^′_1,1)p₀(x)+

n0

X

i=1

h²_i Y

j6=i

(x−λ_j) avec (H₁^′)^T = (h₁, . . . , h_n₀) =L^′₁.

Supposons, dans un premier temps, que

(i) lesλ_i sont distincts : mettons λ₁< . . . < λ_n₀, (ii) lesh_i sont non nuls.

En évaluant en λ_i, et en examinant le signe de p₁(λ_i) pour i = 1. . . n₀, on remarque que le polynôme p₁(x) possède n₀−1 racines réelles distinctes (entrelacées avec lesλ_i), ce qui donne le résultat souhaité.

Pour traiter le cas où les conditions (i) ou (ii) sont mises en défaut, il suffit de changer de corps réel clos de base. On fait appel alors aux techniques employées dans le Lemme 2.2.

On est alors conduit `a introduire la matrice deRhhǫ₀, ǫ₁, θ₁iiⁿ¹^×n¹ suivante :

A^′₁ =

A^′₀ −H₁^′ L^′₁ d^′₁

+







0 . . . 0 −ǫ₁ ... ... ... 0 . . . 0 −ǫ₁ ǫ₁ . . . ǫ₁ θ₁







On obtient alors une nouvelle matrice A^′₁ qui possède, d’après le traitement ci-dessus du cas générique, au moinsn₀−1 racines (distinctes) dansRhhǫ₀, ǫ₁, θ₁ii. Comme Ainsi lim_(ǫ₀_,ǫ₁_,θ₁_)→0A^′₁ =

(13)

B₁ est semblable à A₁, alors A₁ possède au moins n₀−1 racines réelles, comptées avec multi- plicité.

Notons que l’ajout de la variable θ₁ n’a pas servi jusqu’alors, elle permet cependant de préparer l’étape suivante de la récurrence. Elle sert à affirmer que, d’après le Lemme 2.2, toutes les valeurs propres deA^′₁ sont distinctes dansRhhǫ₀, ǫ₁, θ₁ii[I]. De plus, on peut garder à l’esprit queB₁=Q^(∗₁ ¹⁾A₁Q₁ ∈Rⁿ¹^×n¹, avec Q₁ = (Q₀L

Id₁).

Hérédité dans le cas général

Supposons donn´ee une matrice A^′_k∈SRⁿ_k^k^×n^k telle que

(i) On dispose d’une suite d’extensions r´eelles closes R → R₁ → . . . → R_k avec R_i+1 = R_ihhǫ_i+1, θ_i+1iipour touti= 1. . . k−1,

(ii) A^′_k ne poss`ede que des valeurs propres simples dansR_k[I], (iii) A^′_k est J_k-autoadjointe, c’est-`a-dire A^′_k=J_k(A^′_k)^TJ_k,

(iv) A^′_kest `a coefficients dansRhǫ₀, ǫ₁, θ₁, . . . , ǫ_k, θ_ki₀et on a lim_(ǫ₀_,ǫ₁_,θ₁_,...,ǫ_k_,θ_k_)→0A^′_k=Q^(∗_k^k⁾A_kQ_k, avec Q_k matriceJ_k-orthonormale deRⁿ^k^×n^k (i.e.Q^(∗_k^k⁾Q_k= Id),

(v) A^′_k poss`ede au moins n₀−kvaleurs propres (distinctes) dans R_k.

Avant de commencer proprement dit la démonstration, établissons un Lemme préliminaire d’algèbre bilinéaire.

Lemme 5.3 Notons h·,·i la forme bilinéaire symétrique sur Rⁿ donnée par la matrice J = Id_pL

(−Id_q), où p +q = n et R est réel clos. On considère A ∈ R^n×n une matrice J- autoadjointe, c’est-à-dire pour tous X, Y ∈R^n×1, hAX, Yi =hX, AYi. On note A^∗ la matrice adjointe de A relativement à J.

1) La matrice A estJ-autoadjointe si et seulement si l’une des conditions ´equivalentes suiv- antes est satisfaite

(i) AJ est sym´etrique,

(ii ) A=BJ avec B sym´etrique (iii) A=

U −V V^T W

avecU ∈SR^p×p, V ∈R^p×q, W ∈SR^q×q.

2) Si u et v sont deux vecteurs propres de A associ´es respectivement `a deux valeurs propres distinctesλ et µdans R[I], alors u et v sontJ-orthogonaux.

3) Si A possède n valeurs propres distinctes dans R[I], alors il existeP ∈R^n×n une matrice J-orthonormale (c’est-à-dire telle que P^∗P = Id_n) telle que P^∗AP soit, à permutation des coordonnées près, une matrice de R^n×n diagonale par blocs, avec des blocs de taille 1 ou de taille 2 sans valeur propre dans R.

Démonstration: 1) Pour les points (i) et (ii), il suffit de noter que A^T = J AJ équivaut à (AJ)^T =AJ. La dernière assertion résulte juste d’un calcul matriciel par bloc :

si A=

U −V V^′ W

alors J AJ =

U V

−V^′ W

.

2) Si λ et µ sont dans R, il suffit d’´ecrire hAu, vi = λhu, vi = hu, Avi = µhu, vi. Comme λ6=µ, on a forc´ement hu, vi= 0.

Siλouµsont dansR[I], on étend la forme bilinéaire symétriqueh·,·iàR[I]ⁿ, ce qui permet d’écrire les mêmes égalités que précédemment.

(14)

3) À une valeur propre λ ∈ R, on associe un vecteur propre u et à une valeur propre µ+Iν ∈ R[I]\R, on associe un vecteur propre v+Iw, avec v, w ∈ Rⁿ. Du coup µ−Iν est associéev−Iw.

On dispose alors d’une base de Rⁿ formée des vecteurs (u₁, . . . , u_r, v₁, w₁, . . . , v_s, w_s). En vertu de 1), on a pour tout i= 1. . . r,u^⊥_i ⊃ Vect (u₁, . . . , u_i−1, u_i+1, . . . , u_r, v₁, w₁, . . . , v_s, w_s), l’orthogonalité considérée est bien sûr la J-orthogonalité dans Rⁿ relativement à la forme bilinéaire symétrique h·,·i. Par considération des dimensions, l’inclusion précédente est une

´egalit´e.

De mˆeme, pour j= 1. . . s,v^⊥_j etw_j^⊥ contiennent tout deux l’espace vectoriel Vect (u₁, . . . , u_r, v₁, w₁, . . . , v_j−1, w_j−1, v_j+1, w_j+1. . . , v_s, w_s).

Et on a aussihv_j, v_ji+hw_j, w_ji= 0 parJ-orthogonalit´e dev_j +Iw_j et dev_j−Iw_j. Trois situations se pr´esentent :

a) si hvj, w_ji = 0, alors v^⊥_j contient aussi w_j et w^⊥_j contient aussi v_j. En particulier, par consid´eration des dimensions dev^⊥_j etw_j^⊥, on d´eduit quev_j etw_j ne sont pas isotropes.

b) si hv_j, w_ji 6= 0 et v_j est isotrope, alors w_j est aussi isotrope et on pose par exemple v^′_j =v_j+w_j etw_j^′ =v_j−w_j. Ainsihv^′_j, w_j^′i= 0 et en rempla¸cant la famille (v_j, w_j) par la famille (v_j^′, w^′_j) on obtient les mêmes conclusions que précédemment.

c) si hv_j, w_ji 6= 0 et v_j n’est pas isotrope, alors on remplace (v_j, w_j) par (v_j, v_j −_hv^hv^j^,v^jⁱ

j,wjiw_j) et on obtient les mêmes conclusions que précédemment.

Dans tous les cas, on obtient une base J-orthogonale, chacun des vecteurs de la base étant nécessairement non isotrope. On la normalise, de sorte que pour chaque vecteurude la nouvelle base B, on ait hu, ui =±1. D’après le Théorème d’inertie de Sylvester, on compte exactement p fois +1 et n−p fois −1. Quitte à permuter les vecteurs, on peut supposer que la matrice de Gram associée à la baseBest la matriceJ. NotonsP la matrice de passage de la base canonique

`

a la baseB.

Nous avons bien P^∗P = Id etD=P AP^∗ qui est, à permutation près des coordonnées, une matrice diagonale par blocs dont chaque bloc est de taille 1 ou 2.

Un bloc M_j de taille 2 correspond à la matrice de la restriction à un plan vectoriel du type Vect (v_j, w_j) de l’endomorphisme canoniquement associé à A. Ainsi ce bloc M_j a deux valeurs

propres distinctes dansR[I], `a savoir µ_j±ν_j.

Remarque 5.4 D’apr`es le Lemme 5.3 1), et comme la matrice D est encore J-autoajointe, elle est de la forme D =

U −V V^T W

avec U ∈ SR^p×p, V ∈ R^p×q, W ∈ SR^q×q. Donc pour tout j, les vecteurs v_j et w_j ne peuvent pas être simultanément en une position indexée par {1. . . p}, ni être simultanément en une position indexée par {p+ 1. . . p+q} dans la nouvelle base J-orthonormale B, sinon cela signifierait que M_j est symétrique, une contradiction.

Venons-en au coeur de la démonstration de l’hérédité : Du fait queA_k+1 =

A_k −H_k+1 L_k+1 d_k+1

, on pose

B_k+1= Q_kM

Id₁(∗_k+1)

A_k

Q_kM Id₁

= Q^(∗_k^k⁾A_kQ_k −H_k+1^′ L^′_k+1 d^′_k+1

!

∈Rⁿ^k^×n^k

(15)

Notons qu’on a (Q_kL

Id₁)^(∗^k+1⁾ =Q^(∗_k^k⁾L Id₁.

Introduisons ensuite la matrice deRⁿ_k+1^k+1^×n^k+1 suivante : B_k+1^′ =

A^′_k −H_k+1^′ L^′_k+1 d^′_k+1

D’après le Lemme 5.3 et les points (ii) et (iii) de l’hypothèse de récurrence, il existe P_k ∈ Rⁿ_k^k^×n^k une matrice J_k-orthonormale, telle que P_k^∗A^′_kP_k soit, à permutation des coordonnées près, diagonale par blocs, avec a blocs de taille 1 et b blocs M₁, . . . , M_b de taille 2, dont les polynômes caractéristiques sont toujours strictement positifs. On a les inégalités a ≥n−k et b≤k.

Posons alors

A]_k+1= P_kM

Id₁(∗_k+1)

B_k+1^′ P_kM

Id₁ et finalement

A^′_k+1=A]_k+1+ǫ_k+1U_k+1+θ_k+1V_k+1

avec V_k+1 =







0 . . . 0 0 ... ... ... 0 . . . 0 0 0 . . . 0 1







et U_k+1 =







0 . . . 0 −1

... ... ...

... ... −1

... ... 0

0 . . . 0 ... +1 . . . +1 0 . . . 0







, cette derni`ere

matrice comptant exactement k+ 1 coefficients nuls sur la derni`ere colonne et la derni`ere ligne.

CommeP_kestJ_k-orthonormale, alors (P_kL

Id₁) estJ_k+1-orthonormale, et du fait queA_k+1 estJ_k+1-autoadjointe, il en sera de mˆeme de A]_k+1 et donc de A^′_k+1 qui est donc de la forme

A^′_k+1 = P_k^(∗^k⁾A^′_kP_k −H_k+1^′′

L^′′_k+1 d^′′_k+1,k+1

!

Par construction,

(ǫ0,ǫ1,θ1,...,ǫlim_k+1,θ_k+1)→0A^′_k+1=Q^(∗_k+1^k+1⁾A_k+1Q_k+1 avec Q_k+1= (P_kL

Id₁)×(Q_kL

Id₁)∈Rⁿ^k+1^×n^k+1.

On a donc construit une extension réelle closeR_k→R_k+1 =R_khhǫ_k+1, θ_k+1iiet une matrice A^′_k+1 ∈Rⁿ_k+1^k+1^,n^k+1 satisfaisant les points (i),(ii) (grâce au Lemme 2.2),(iii),(iv). Le point (v) découlera de l’étude du polynômep_A^′

k+1(x) que l’on conduit en examinant les deux cas suivants (on aurait pu se limiter au second cas mais le traitement du premier cas ´eclaire la d´emarche).

• Supposons que k = b. D’après le Lemme 5.3 1) et aussi d’après la remarque suivant sa démonstration, on peut supposer, à une permutation des coordonnées près, que :

(16)

A^′_k+1=







λ₁ −h₁−ǫ_k+1

. .. ...

λ_a −h_a−ǫ_k+1

M₁

−g₁−ǫ_k+1 l₁

. .. ...

M_b

−g_b−ǫ_k+1 l_b

h₁+ǫ_k+1 . . . h_a+ǫ_k+1 (g₁+ǫ_k+1, l₁) . . . (g_b+ǫ_k+1, l_b) d+θ_k+1







o`uh_i, g_j, l_j ∈R_k pour i= 1. . . a,j = 1. . . b.

On fait alors appel au Lemme 2.1(ii), et par un calcul analogue `a celui de la d´emonstration de 4.1, on obtient

p_A^′

k+1(x) = (x−d−θ_k+1)p_A^′

k(x) +

rk

X

i=1

(h_i+ǫ_k+1)²u_i(x)

!

v(x) +u(x)w(x)

avec u(x) = Q_a

i=1(x−λ_i), u_i(x) = _x−λ^u(x)

i, v(x) = Q_b

j=1p_M_j(x) et w(x) est un polynˆome qu’on n’a pas besoin d’expliciter ici.

En évaluant successivement enλ_ipouri= 1. . . a, et en utilisant le fait quev(x) est toujours strictement positif et queh_i+ǫ_k+16= 0, on obtient une suite d’élémentsp_A^′

k+1(λ₁), . . . , p_A^′

k+1(λ_r_k) qui pr´esenteachangements de signes, doncp_A_k+1(x) poss`ede au moinsa−1 =n₀−(k+ 1) racines (distinctes) dansR_k+1.

• Supposons maintenant quek > b. On posec=n₀−bet c+d=a(du coup d=k−b).

A une permutation près des coordonnées, on a l’égalité`

A^′k+1=







λ1 −h1−ǫk+1

. .. ...

λc −hc−ǫk+1

µ1 m1

. .. ...

µd md

M1

−g1−ǫk+1

l1

. .. ...

Mb

−gb−ǫk+1

lb

h1+ǫk+1 . . . hc+ǫk+1 m1 . . . md (g1+ǫk+1, l1) . . . (gb+ǫk+1, lb) d+θk+1







o`u h_i, g_j, l_j, m_v ∈ R_k pour i = 1. . . c, j = 1. . . b, t = 1. . . d. On suppose aussi par commodit´e queλ₁< . . . < λ_c.