HAL Id: tel-00544359
https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00544359
Submitted on 7 Dec 2010
HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
Modélisation magneto-hydrodynamique par la méthode des volumes finis : Application aux plasmas de coupure
Loïc Rondot
To cite this version:
Loïc Rondot. Modélisation magneto-hydrodynamique par la méthode des volumes finis : Application aux plasmas de coupure. Sciences de l’ingénieur [physics]. Institut National Polytechnique de Grenoble - INPG, 2009. Français. �tel-00544359�
INSTITUT POLYTECHNIQUE DE GRENOBLE
N attribué par la bibliothèque /_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/
THESE
Pour obtenir le grade de
Docteur de l’Institut polytechnique de Grenoble
Spécialité : “Mecanique des ‡uides, Procédés et Energétique“
Préparée au Laboratoires SIMAP et G2Elab UMR 5266 - 5269
Dans le cadre de l’école doctorale
“Ingénierie -Matériaux, Mécanique, Environnement, Energétique, Procédés, Production - I-MEP2”
Présentée et soutenue publiquement par
Loïc Rondot Le 13/10/2009
Titre :
Modélisation magneto-hydrodynamique par la méthode des volumes finis : Application aux plasmas de coupure
Directeur de thèse : Yves Delannoy Co-directeur de thèse : Gérard Meunier
JURY
M. Jean Jacques Gonzalez , Rapporteur M. Sheppard Salon , Rapporteur M. Serge Piperno , Examinateur Mme. Nadia Maïzi , Examinateur M. Gérard Meunier , Directeur de thèse M. Yves Delannoy , Directeur de thèse M. Vincent Mazauric , Examinateur M. Barrault Michel , Invité
ii
Remerciements
Je tiens tout particulièrement à exprimer ma gratitude à mes trois encadrants :
- Yves Delannoy pour ces bonnes intuitions et ses remarques constructives pour …naliser ce travail de recherche,
- Gérard Meunier pour son grand apport scienti…que et pour tous ses encouragements qui m’ont été particulièrement précieux durant les périodes moins proli…ques,
- Vincent Mazauric pour avoir toujours contenté ma curiosité et m’avoir encouragé à revenir au sens physique de ce que l’on traitait.
Encore un grand merci à eux trois pour leur disponibilité, leur investissement et pour le quotidien toujours agréable à leur coté.
Je souhaite également adresser mes vifs remerciements aux personnes qui ont accepté de participer à mon jury de thèse. Merci donc à Jean-Jacques Gonzalez et à Shepard Salon d’avoir rapporté ce travail de thèse. Merci à Nadia Maizi et à Serge Piperno d’avoir participé au jury et d’avoir pris le temps de répondre à mes questions pendant ma thèse. Je remercie également Michel Barrault d’avoir répondu à l’invitation et d’avoir ainsi apporté sa grande expérience sur la problématique présentée.
Je remercie James Roudet et Yves Fauterelle, respectivement responsable des laboratoires G2Elab et EPM, de m’avoir accueilli au sein de leur laboratoire. Merci également à toutes les personnes du laboratoire qui m’ont apporté leur aide et leur gentillesse (Olivier Chadebec, Jean- Louis Coulomb, Yves Marechal, Fréderic Wurtz, Gilles Cau¤ey, Yannick Vuillermet, Antoine Viana, Yves Duterail, Annie Gagnoud, Jean-Gael Lacombe).
Mes remerciements vont aussi aux personnes rencontrées en conférence et que je retrouvais toujours avec grand plaisir (Yvonnic Le Menach, Thomas Henneron, Olivier Moreau, Ronan Perrussel, Jean-Marc Dedulle, Patrick Dulard).
Je remercie les supports Fluent pour leur in…nie patience et pour leurs conseils avisés. Merci donc à Laurent Jouan, Pranava Ramassamy, Didier Bessette, Arnaud Jay, Sophie Louage et en…n Denis Tschumperle.
Mes profonds remerciements au personnel de Schneider où j’ai passé de très agréables années. Merci à Charles pour les sorties skis en Audi TT (en…n quand on arrivait à monter), à Amandine pour les bonnes blagounettes, à Dimitrios pour cette longue et agréable période commune à Schneider, à Jean-Luc pour toute son expérience de la coupure, à Vincent Leconte pour sa pédagogie et à Jean-Paul pour son sens de la synthèse et sa méthodologie. Merci également à Benoit Hage, Christian Arnoux, André Cloitre, Jean-Pierre Pin, Richard Charles, Christian Fievet, François Bonnard, Emanuel Senechault, Marc Rival et Claude Grelier. Sans oublier Jean Wild qui m’a donné ma chance chez Schneider Electric.
Une pensée pour mes copains d’infortune Nancéens qui se sont occupés à plein de temps de la partie décontraction de ma thèse "travail la semaine, lobotomie le week-end". Donc becs les
iv
gros, …ls Marie, Romain, Mamouth, peka, manou, Sadi Jeannot (escroc), Neness, Vinc lapin ; et les bernadettes …lle Prevost, Adeline Peka, Audrey hmmmmm L’huilier et Adeline Millot.
Une autre pensée aux savoyards ma-tu-vu et associés, Beb, Claire, Arthuro, Anne, Pef et Tru¤.
Je remercie in…niment mes parents qui m’ont toujours soutenu et qui ont tenté de me transmettre un peu de leur rigueur et de leur persévérance.
Mes dernières pensées vont à Aurélie. Je la remercie pour sa patience, pour avoir pris le temps de relire mon manuscrit (sof lé remerssiemant) et pour tout le reste.
Loïc
Table des matières
Table des matières v
Table des …gures vii
Liste des tableaux ix
Introduction 2
1 Du réseau à la modélisation du processus de coupure 5
1.1 Du réseau électrique à la coupure électrique . . . . 7
1.2 Plasma de coupure et disjoncteur limiteur . . . . 10
1.2.1 Spéci…cité du plasma de coupure . . . . 10
1.2.2 Le disjoncteur limiteur . . . . 10
1.2.3 La coupure . . . . 18
1.3 Modélisation du processus de coupure . . . . 20
1.3.1 Une modélisation multi-physique complexe . . . . 20
1.3.2 Le projet Sharc 3D . . . . 20
1.3.3 Stratégies de modélisation . . . . 21
2 L’électromagnétisme et la méthode des volumes …nis 25 2.1 Electromagnétisme dans le vide : approche particulaire . . . . 27
2.1.1 Les sources : charges et courants électriques . . . . 27
2.1.2 Les équations locales de l’électromagnétisme du vide . . . . 27
2.1.3 Formes intégrales des équations de Maxwell . . . . 29
2.2 Electromagnétisme macroscopique . . . . 31
2.2.1 Filtrage des équations de Maxwell microscopiques . . . . 31
2.2.2 Invariants galiléens : Relations de continuité et relations de transforma- tion des champs . . . . 33
2.2.3 Formulations électromagnétiques . . . . 45
2.3 Approche thermodynamique de l’électromagnétisme . . . . 50
2.3.1 Equilibre statique . . . . 52
2.3.2 Evolution des champs . . . . 54
2.3.3 Synthèse sur l’approche thermodynamique . . . . 58
2.4 La méthode des volumes …nis . . . . 60
2.4.1 Les volumes …nis parmi les autres méthodes numériques . . . . 60
2.4.2 Mise en œuvre des volumes …nis . . . . 64
2.4.3 Introduction de terme source surfacique . . . . 70 v
vi TABLE DES MATIÈRES
3 Modélisation de l’électromagnétisme basse fréquence par la méthode des
volumes …nis 73
3.1 Modélisation basée sur les équations de Maxwell . . . . 75
3.1.1 Détermination des courants sources . . . . 75
3.1.2 Détermination des champs magnétostatiques dans le vide . . . . 81
3.1.3 Détermination des champs magnétiques des milieux matériels . . . . 84
3.1.4 Détermination des e¤ets magnétodynamiques . . . . 89
3.2 Modélisation basée sur les équations de conservation . . . . 93
3.2.1 Modélisation des champs induits (1D) . . . . 93
3.2.2 Modélisation des courants sources (3D) . . . . 94
3.2.3 Modélisation des champs (3D) . . . . 95
3.3 Critère d’erreur basé sur les équations de conservation . . . . 97
3.3.1 Conservation de la puissance . . . . 97
3.3.2 Conservation de l’impulsion . . . 100
3.3.3 Mouvement et critère d’erreur basés sur les lois de conservation . . . 101
3.4 Synthèse sur la modélisation électromagnétique basse fréquence avec la méthode des volumes …nis . . . 102
4 Modélisation du processus de coupure 103 4.1 Description des phénomènes physiques et de leur modélisation . . . 105
4.1.1 Déplacement du contact mobile . . . 105
4.1.2 L’initialisation du plasma . . . 106
4.1.3 Les phénomènes aux pieds d’arc . . . 106
4.1.4 L’ablation métallique et plastique . . . 107
4.1.5 L’électromagnétisme . . . 107
4.1.6 La mécanique des ‡uides du gaz réel . . . 107
4.1.7 Procédure de résolution . . . 109
4.2 L’électromagnétisme dans la coupure, quanti…cation des di¤érents e¤ets . . . . 110
4.2.1 In‡uence des di¤érents e¤ets magnétiques . . . 110
4.2.2 Le couplage circuit . . . 111
4.2.3 In‡uence des amenées de courant . . . 112
4.3 Modélisation de la coupure sur des maquettes numériques . . . 114
4.3.1 Modélisation sans milieux matériels magnétiques . . . 114
4.3.2 Modélisation avec milieux matériels magnétiques linéaires . . . 115
4.3.3 Modélisation avec milieux matériels magnétiques saturables . . . 115
4.3.4 Application à la modélisation d’un disjoncteur en développement de Schneider-Electric . . . 116
4.3.5 Synthèse sur la modélisation de la coupure et la modélisation électroma- gnétique . . . 117
Conclusion 122 Bibliographie 125 A Dérivation des fonctions discontinues et théorème de Stokes généralisé 133 A.1 Dérivée d’une fonction discontinue au sens des distributions . . . 133
A.2 Intégration volumique du divergent d’un vecteur comportant une discontinuité surfacique . . . 134
A.2.1 Application au cas d’une fonction de[ 5; 5]dansR3 . . . 134
A.3 Intégration surfacique du rotationnel d’un vecteur comportant une discontinuité linéique . . . 135
TABLE DES MATIÈRES vii
B Les gradients en volumes …nis 137
B.1 Description . . . 137
B.2 Green-Gauss Method . . . 137
B.2.1 Préliminaire . . . 137
B.2.2 Green-Gauss cell based gradient . . . 137
B.2.3 Green-Gauss node based gradient . . . 138
B.3 Least-Square Method . . . 138
viii TABLE DES MATIÈRES
Table des …gures
1.1 Chaîne Energétique de l’électricité comprenant : les centres de production, le réseau de transport, de répartition et de distribution(EDF médiathèque. voir : http://www.edf.com/html/panorama/transversal/mediatheque.html). . . . 7 1.2 Représentation de di¤érents plasmas à di¤érentes températures et à di¤érentes
densités de particules chargées. Extrait de “la science pour tous”. voir :http:
//www.cnrs.fr. . . . . 11 1.3 Représentation de schéma électrique d’un réseau simpli…é de tension e, alimen-
tant une charge Z, un appareil de coupure A, L et R respectivement une induc- tance et une résistance caractérisant le réseau. . . . 12 1.4 Représentation de la tension aux bornes du disjoncteur uacomprenant la tension
d’arc uarc et la tension liée à l’impédance du disjoncteur uA qui dépendra du chemin suivi par le courant dans le disjoncteur. . . . 14 1.5 Description des éléments constitutifs d’un disjoncteur limiteur C60 de Schneider-
Electric. . . . 15 1.6 Représentation d’un bloc limiteur dans lequel l’arc va se segmenter et ainsi
contribuer à la limitation du courant par la multiplication de la tension de pied. 16 1.7 Etapes : a) Position fermée, passage du courant. b) Naissance du plasma entre les
contacts. c) Allongement de l’arc dans la chambre de coupure. d) Commutation de l’arc du contact mobile vers le dé‡ecteur. e) Déplacement de l’arc entre les rails. f) Insertion de l’arc dans la chambre de coupure composée de plusieurs ailettes. . . . 17 1.8 Représentation de la tension et du courant circulant dans un disjoncteur lors du
processus de coupure avec limitation (courant limité) et sans (courant présumé). 18 1.9 Classi…cation des réponses d’un système soumis à une excitation extérieure en
fonction des temps caractéristiques du système s et de l’excitateur e= f1
e. . . 22 1.10 Ordre de grandeur fréquentiel de l’électromagnétisme et de la mécanique des
‡uides dans le contexte d’un dispositif de taille caractéristique de 6 cm, taille typique du disjoncteur représenté …gure 1.5 et méthode numérique préférentielle en fonction de la fréquence d’excitation. . . . 23 2.1 Structures sous-jacentes au système des équations de Maxwell dans le cadre
de l’approche particulaire. Les ‡èches désignent les chemins à parcourir pour obtenir les équations de Maxwell microscopique. La causalité est caractérisée par la profondeur de “la maison de Tonti”. . . . . 28 2.2 Structures sous-jacentes au système des équations de Maxwell macroscopiques.
Le principe d’utilisation est identique à celui utilisé dans le cadre microscopique (…gure 2.1). . . . 33 2.3 Représentation topologique permettant de mettre en œuvre “le théorème de
Stokes généralisé” pour une1-forme et une2-forme di¤érentielle. . . . 34 ix
x TABLE DES FIGURES
2.4 Loi de conservation de Maxwell-Gauss au voisinage d’une discontinuité séparant deux milieux symbolisés par la surface . . . . 36 2.5 Equation de conservation de la densité de ‡ux magnétique au voisinage d’une
discontinuité séparant deux milieux symbolisés par la surface . . . . . 37 2.6 Equation de Maxwell-Faraday au voisinage d’une discontinuité séparant deux
milieux symbolisés par la surface . . . . 38 2.7 Equation de Maxwell-Ampère au voisinage d’une discontinuité séparant deux
milieux symbolisés par la surface . . . . 40 2.8 Equation de conservation de la densité de courant au voisinage d’une disconti-
nuité séparant deux milieux symbolisés par la surface . . . . 41 2.9 Con…guration géométrique mettant en évidence le problème de connexité. . . . 46 2.10 Structures sous-jacentes au système des équations de Maxwell macroscopiques
et à leurs potentiels associés (d’autres potentiels permettent de remplir com- plètement le diagramme de Tonti). Les “poutres horizontales” symbolisent les lois de comportement, les “poutres verticales” le changement de p-forme et les
“poutres de profondeur” désignent la causalité [Bossavit 03]. Il est à noter que la loi d’ohm (2.55) viole la symétrie de la maison de Tonti. . . . 48 2.11 Environnement du champ électromagnétique : La régie électrique cherche à
transmettre le travail mécanique de l’actionneur X1 à l’actionneur X2. Pour cela elle peut régler l’excitation I d’un inducteur (par exemple le rotor d’une machine synchrone). L’ensemble échange de la chaleur avec le thermostatTet des charges avec une “masse” au potentielV0. . . . 50 2.12 Problème type d’électromagnétisme dans l’approximation des régimes quasi-
permanents. Communément, l’espace , en contact thermique avec un ther- mostat à la températureT, se partitionne entre : (i) les conducteurs rigidesCi, éventuellement mobiles, auxquels on lie un repèreRi; (ii) l’espace diélectriqueD éventuellement déformable pour compenser les déplacements des conducteurs ; (iii) les générateurs, souvent sous entendus dans les inducteurs qu’ils alimentent.
Pour traduire l’absence de sources à l’in…ni, la contribution à l’énergie du champ électromagnétique au delà d’une surfaceS1 sera négligeable. . . . 52 2.13 Exemple unidimensionnel de fonction de projection pour di¤érentes méthodes
numériques (éléments …nis nodaux, di¤érences …nies, volumes …nis collocalisés par sous domaine). . . . 61 2.14 Représentation des di¤érentes variables au voisinage d’une face f séparant deux
cellules d’un maillage non cartésien. . . . . 64 2.15 Approximation du ‡ux de di¤usion dans le cas d’un maillage orthogonal. . . . . 66 2.16 Approximation du ‡ux de di¤usion dans le cas d’un maillage non-orthogonal. . 67 2.17 Mise en évidence de la nécessité d’une correction des gradients des cellules c0
et c1 après une modi…cation de la valeur à la face f (Cf Cf + Cf). Re- présentation de la valeur du scalaireCen fonction de la position sur le segment liant le barycentre des deux cellules. . . . 71 3.1 Modélisation du problème électrocinétique 1D d’une lame conductrice composée
de trois éléments conducteurs en série de conductivité (106,200,5000). L’erreur relative commise par rapport à la solution analytique est étudiée pour les deux types d’homotéthies (Flux/Joule) et pour les deux con…gurations de reconstruc- tion de valeur à la face (weighted/noweighted). . . . 78
TABLE DES FIGURES xi
3.2 Représentation des vecteurs densité de courant sur un cas similaire à celui que l’on peut rencontrer dans un disjoncteur. Ce cas d’étude dispose de deux ame- nées de courant et un contact (dit mobile mais qui ne l’est pas dans ce cas) reliés entre eux électriquement par l’équivalent d’un plasma. La densité de courant est ici reconstruite par une méthode moindre carrée à partir des ‡ux obtenus sur chacune des faces d’une cellule. . . . 79 3.3 Prise en compte d’une résistance de contact. Représentation des di¤érentes va-
riables au voisinage d’une condition limite en potentiel électrique, considérée comme un élément plat, présentant une résistance de contact R traduite par une conductivité équivalente platdans l’élément plat. . . . 80 3.4 Représentation dans la dimension z de la norme du champ produit par deux
conducteurs circulaires parcourus par des courants opposés situés dans le plan (x,y). . . . 83 3.5 Représentation sur une demi-géométrie du champ produit par deux …ls circu-
laires de rayon R et parcourus par des courants opposés, avec di¤érentes formu- lations (A;Tet Biot et Savart) et de l’erreur relative commise par rapport à la solution analytique. . . . 84 3.6 Etude du champ magnétique au voisinage d’une sphère magnétique baignant
dans un champ uniforme et isotrope. . . . . 87 3.7 Méthode de résolution d’un problème de magnétostatique en présence de milieux
non-linéaires. . . . 89 3.8 Représentation de la saturation dans une lame magnétique excitée par deux
conducteurs cylindriques parcourus par des courants statiques de sens opposés. 90 3.9 Représentation de l’énergie magnétique, de la coénergie magnétique et de l’er-
reur relative maximum obtenues comparativement à la solution obtenue avec le logiciel FluxR 2D. . . . 90 3.10 Représentation instantanée des densités de courant induites sur une demi-géométrie
comprenant deux conducteurs circulaires parcourus par des courants sinusoï- daux opposés. . . . 91 3.11 Représentation des puissances Joule et magnétiques au premier et au second
ordre en temps et des erreurs relatives commises par rapport aux données ob- tenues avec le logiciel Flux. . . . 92 3.12 Plaque 1D excitée harmoniquement par un champ extérieur sinusoïdal d’ampli-
tudeH0 et de pulsation!. . . . 93 3.13 Représentation de la discrétisation de la demi-géométrie d’une lame 1D excitée
harmoniquement à ses bords. La lame complète comprend 13 nœuds et 6 éléments. 97 3.14 Etude des puissances globales et des erreurs locales sur le bilan de puissance en
fonction de la position du noeud numéro 3 pour un noeud numéro 5 placé à 1,1 delta. . . . . 98 3.15 Etude des puissances globales et des erreurs locales sur le bilan de puissance en
fonction de la position du noeud numéro 3 pour un noeud numéro 5 placé à 1,65 delta. . . . . 99 3.16 Représentation de la somme des bilans locaux de puissance, de la sommation
des discontinuités de puissance et du bilan de puissance globale en fonction de la position du noeud 3 et pour un noeud 5 placé à 1.65 . . . 100 3.17 Représentation de l’erreur autour d’un des conducteurs. De gauche à droite
sont représentées l’erreur sur la conservation du ‡ux magnétique, sur la loi de Maxwell-Ampère et sur le bilan de conservation de la quantité de mouvement. . 101 4.1 Schéma de principe de l’adaptation de maillage par layering. Les mailles accolées
au front de dédoublement des mailles vont s’étirer jusqu’à atteindre une taille critique qui va entraîner leur dédoublement. . . 105
xii TABLE DES FIGURES
4.2 Interaction des di¤érents modèles autour du noyau de résolution Fluent. . . 110 4.3 Représentation du cas d’étude comportant une boucle de courant en mouvement
à la vitesseV au voisinage d’un bloc limiteur pouvant présenter de la saturation.110 4.4 Représentation des forces réduites par le courant au carré en fonction de la
position et pour di¤érentes con…gurations (magnétostatique du vide, magnéto- statique, magnétodynamiqueV = 10 m=set20 m=s) . . . 111 4.5 Représentation de trois con…gurations d’amenées qui vont in‡uer sur le com-
portement de l’arc lors d’une coupure. . . 112 4.6 Comparaison des courbes courant/tension obtenues pour di¤érentes con…gura-
tions d’amenées de courant . . . 112 4.7 Etude de l’in‡uence des amenées de courant sur le processus de coupure dans
le cas d’une maquette complexe. Représentation de la géométrie, complétée des élements …laires et des courbes électriques obtenues avec et sans ces éléments . 113 4.8 Description de la maquette numérique comportant deux amenées et un contact
mobile raccordés à une source de courant. La maquette peut également disposer ou non de plaques ferromagnétiques se situant de part et d’autre de la maquette (une seule plaque a été représentée). . . 114 4.9 Comparaison des courbes courant/tension obtenues au cours du temps pour une
résolution intégrale Biot et Savart et une résolution aux dérivées partielles en formulationT. La courbe de courant de court circuit est également représentée. 115 4.10 Représentation des courbes courant/tension dans les deux con…gurations trai-
tées : sans plaques ferromagnétiques (T0) et avec plaques ferromagnétiques (T0 ) . . . 116 4.11 Représentation de l’arc électrique par trois isovaleurs de densité de courant
(1.5e7, 8e6, 5e6)et de la saturation des ailettes magnétiques à di¤érents instants du processus de coupure. . . 117 4.12 Photographie d’un disjoncteur double coupure à contact mobile rotatif similaire
au disjoncteur en développement chez Schneider Electric et étudié en simulation. 118 4.13 Comparaison des courbes courant/tension obtenues en simulation et en essai
expérimental sur le produit en développement de Schneider Electric. . . 118 A.1 Représentation de la discontinuité d’une fonction f au voisinage d’un pointa
appartenant à la surface de discontinuité. . . 133 A.2 Representation dex !B(x)pour x appartenant à l’intervalle[ 5:::5]. . . 135 A.3 Représentation topologique permettant de mettre en œuvre “le théorème de
Stokes généralisé” pour une1-forme et une2-forme di¤érentielle. . . 136 B.1 Description de la géomètrie au voisinage de la cellulec0 où le gradient doit être
calculé par moindre carré. . . 139
Liste des tableaux
1.1 Description des processus mis en jeux et de leur modélisation associée . . . . . 20 2.1 Equivalence entre la traduction intégrale des équations de Maxwell et des équa-
tions locales complétées des conditions de passage. Ces équations représentent dans l’ordre : la conservation de la densité de ‡ux magnétique, l’équation de Maxwell-Gauss, de Maxwell-Ampère, de Maxwell-Faraday et la conservation du courant. . . . 41 2.2 Dé…nition des lois de transformations des sources et des champs dans le cadre
de l’approximation galiléenne de la limite magnétique. . . . 42 2.3 Loi de transformation des sources dans la limite magnétique et électrique de
l’électromagnétisme galilléen. e, b, et j sont respectivement le champ élec- trique, le champ magnétique, les charges volumiques et les densités de courants.
Les grandeurs indicées ’sont celles relatives au référentiel en mouvement. . . . 42 2.4 Résistivité de quelques matériaux typiques du génie électrique . . . . 45 2.5 Représentation des deux approches traitées : axiomatique qui traite des équa-
tions locales de l’électromagnétisme et thermodynamique qui privilégie les pro- priétés globales du système électromagnétique étudié. . . . 58 2.6 Déclinaision des résidus pondérés pour les di¤érentes méthodes numériques dans
le cas d’un problème unidimenssionel. . . . . 63
xiii
xiv LISTE DES TABLEAUX
Introduction
1
2 INTRODUCTION
3
L’exploitation, la maintenance et la protection des réseaux électriques ont conduit les constructeurs à porter une attention toute particulière à la réalisation de matériels de coupure.
Ils sont en e¤et les garants de l’intégrité des dispositifs se trouvant sur le réseau électrique et des personnes à leur proximité. Ils favorisent également la continuité de service en circonscrivant l’interruption du courant à la branche de circuit soumise à un défaut.
Le disjoncteur est donc devenu un appareil essentiel de contrôle et de sécurité en assurant l’interruption du courant en cas de besoin ou lors de l’apparition d’un défaut. Pour y parvenir, il doit ouvrir le circuit et évacuer l’énergie électromagnétique stockée dans le circuit. Dans le cas des disjoncteurs limiteurs basse tension – l’application visée dans cette thèse – ils forcent également un retour rapide au zéro de courant en mettant à pro…t les propriétés remarquables de l’arc électrique pour dissiper l’énergie électromagnétique et pour s’opposer à la montée du courant (e¤et limiteur). Tout l’enjeu de la coupure dans un disjoncteur limiteur est donc de : – maîtriser l’évacuation d’énergie a…n de ne pas dégrader la bonne circulation du courant
en régime nominal et garantir la répétabilité du processus de coupure,
– favoriser l’opposition à la montée de courant et forcer le retour au zéro de courant a…n de protéger les dispositifs du circuit et les individus à proximité.
Une conception …able et e¢ cace de ces dispositifs devient de plus en plus complexe. Elle nécessite une longue et coûteuse mise au point basée sur des mesures expérimentales diverses (strioscopie, spectroscopie, caméra ultra-rapide, ...) et un grand savoir-faire du personnel tech- nique. A…n d’accompagner cette mise au point, avec pour objectif un gain de temps et de coût, Schneider Electric s’est engagé depuis plus de 20 ans dans la modélisation du processus de coupure [Robin-Jouan 92][Rachard 95][Chevrier 97a][Maruzewski 99][Reynard 06]. Celle-ci est rendue complexe par la multitude des physiques mises en jeux. A l’heure où chacun de ces champs d’applications est modélisé e¢ cacement avec un logiciel métier, une modélisation couplant toutes ces physiques reste encore un dé… scienti…que majeur.
Longtemps 2D et assujetties à de nombreux réglages, les simulations ont déjà permis d’aider au développement de nombreux produits (NG125, C60, GVT3. voir : http://www.
e-catalogue.schneider-electric.fr) en mettant en évidence des di¢ cultés de circulation des gaz, des freins électromagnétiques au déplacement de l’arc électrique, ou tout simplement en apportant une visualisation du déplacement de l’arc et ainsi mieux appréhender son com- portement. Fort de ces résultats, de l’amélioration des modèles physiques et des performances de calcul, Schneider Electric a souhaité dès 2004 mettre au point une modélisation 3D du processus de coupure. Après un transfert réussi des di¤érents modèles au sein d’un logiciel commercial de mécanique des ‡uides, l’électromagnétisme est apparu comme la brique phy- sique qui pouvait béné…cier le plus avantageusement de ce passage à la troisième dimension avec la prise en compte des amenés de courant et des éléments ferromagnétiques du disjoncteur mais également celle qui était la plus critique en terme de temps de calcul. C’est à cette double problématique, pertinence de la modélisation électromagnétique et temps de calcul, que cette thèse souhaite apporter des solutions. A…n d’en présenter les résultats, le présent mémoire s’articulera de la manière suivante.
4 INTRODUCTION
Tout d’abord, nous présenterons le contexte et le mode de fonctionnement du disjoncteur limiteur basse tension dans la chaîne énergétique de l’électricité. Nous détaillerons également les besoins liés à sa modélisation notamment du point de vue du couplage électromagné- tisme/mécanique des ‡uides, les stratégies existantes et celle pour laquelle nous avons opté.
Ensuite nous décrirons les deux fondements théoriques à la base de cette étude, c’est-à-dire l’électromagnétisme essentiellement dans sa limite basse fréquence et la méthode des volumes
…nis. Cela sera l’occasion pour nous de rappeler les variables et équations qui régissent l’élec- tromagnétisme, d’aborder l’approche thermodynamique de l’électromagnétisme qui a souvent orienté nos choix et de présenter la méthode numérique des volumes …nis.
Puis nous nous intéresserons à deux approches distinctes de modélisation de l’électroma- gnétisme par la méthode des volumes …nis. La première, plutôt classique, consiste à résoudre les équations de Maxwell. La seconde, plus originale, s’attache à déterminer les champs solu- tions en résolvant les lois de conservation de l’électromagnétisme. Cette dernière trouvera une déclinaison naturelle vers un critère d’erreur physique.
En…n nous présenterons la mise en œuvre de ces modèles dans la modélisation complète du processus de coupure. Après la validation de cette intégration sur des maquettes numériques, nous présenterons la modélisation de la coupure appliquée au cas d’un disjoncteur en dévelop- pement au sein de Schneider Electric. Nous conclurons …nalement sur cette étude et sur les perspectives ouvertes par ce travail.
Chapitre 1
Du réseau à la modélisation du processus de coupure
5
6 CHAPITRE 1. Du réseau à la modélisation du processus de coupure
1.1. Du réseau électrique à la coupure électrique 7
1.1 Du réseau électrique à la coupure électrique
Avant de décrire plus précisément le principe de fonctionnement des appareils de coupure et les besoins liés à la modélisation de ce processus, il est nécessaire de les replacer dans le contexte de la chaîne de domestication de l’énergie électrique. Cette dernière représentée en
…gure 1.1 peut être décrite par trois entités distinctes qui sont :
i) les centres de production, chargés de fournir l’énergie électrique au réseau (exemple EDF),
ii) le réseau de transport et de répartition, chargé de transporter massivement l’énergie sur de grandes distances et d’assurer l’interconnexion entre les centrales de production (exemple RTE),
iii) le réseau de distribution, moyenne et basse tensions, chargé de livrer l’énergie aux utilisateurs (exemples entreprise, particuliers).
Centre de production
Réseau de transport et de répartition
Réseau de Distribution
Fig.1.1 –Chaîne Energétique de l’électricité comprenant : les centres de production, le réseau de transport, de répartition et de distribution (EDF médiathèque. voir : http://www.edf.
com/html/panorama/transversal/mediatheque.html).
Dans une logique d’e¢ cacité énergétique, il est nécessaire d’assurer le meilleur ‡ux tendu énergétique entre les di¤érentes entités de la chaîne énergétique. Pour répondre à ce dé…, on utilise une panoplie d’appareils capables de faire face aux di¤érents incidents (défauts, surcharges, ...). Ceux-ci permettent d’assurer :
–la protection des individus face aux risques électriques (pas d’électrocutions ou de brûlures)
–l’intégrité des installations électriques (pas d’échau¤ement destructeur)
–la qualité de l’énergie circulant sur le réseau (pas de diminution de fréquence et stabilité de la tension)
–le maintien du service électrique (pas d’e¤ondrement du réseau)
8 CHAPITRE 1. Du réseau à la modélisation du processus de coupure
Ces risques ont une importance di¤érente selon que l’on se situe sur l’une ou l’autres des entités de la chaîne énergétique [Carrive 91].
Point de vue des centres de production (ex : EDF) :
Dans une centrale de production, les protections ont pour but d’éviter la détérioration des alternateurs ou transformateurs, en cas de fonctionnement dans de mauvaises conditions géné- rées par des défaillances internes, telles que des défauts d’isolement ou des pannes de régulation.
Même si ces défaillances sont rares sur du matériel correctement conçu, entretenu et exploité, les dommages qu’elles entraînent peuvent avoir des conséquences …nancières importantes. Ces dernières restent internes à la compagnie de production d’électricité : perte de production, qui devra être compensée par des moyens de production moins économiques, sous réserve que la compagnie dispose de moyens de production disponibles, déjà synchronisés au réseau ; et bien évidemment la réparation de l’appareillage endommagé.
Point de vue de la régie d’électricité (ex : RTE) :
Une ligne aérienne qui passe sur le domaine public est périodiquement sujette à des courts- circuits dus aux coups de foudre, aux arbres mal élagués, aux grues et aux engins de grande hauteur travaillant au voisinage, au vent, à la pollution. Une bonne conception de la ligne et une bonne maintenance peuvent les minimiser, mais jamais les éliminer. Par exemple, en France, sur le réseau de transport de RTE, le nombre de courts-circuits observé en moyenne pour 100 km de liaison aérienne est de 2 par an en 400 kV. Par ailleurs, une ligne qui chau¤e s’allonge, et son point bas, en milieu de portée, s’abaisse. Si elle n’est pas mise hors tension à temps, elle devient dangereuse pour les tiers.
Le fonctionnement défectueux d’une protection peut donc avoir pour conséquence la cou- pure d’un ou plusieurs clients, voire d’une ville entière, clients prioritaires compris. Or, l’impact de la coupure d’un client industriel ne se limite pas à l’énergie non vendue pendant la cou- pure ou pendant les quelques heures que le client mettra à repartir : les dommages indirects en terme de perte d’image pour le distributeur d’électricité sont désastreux, sans parler des pertes d’exploitation pour l’industriel. Pour minimiser le risque de telles situations, l’étude du fonc- tionnement des protections, normal et en secours, doit donc faire l’objet d’un plan d’ensemble, dans lequel les réglages ont une importance capitale (problématique de sélectivité).
Point de vue de la distribution (ex : Entreprise) :
Sur un réseau de distribution, les mêmes considérations peuvent s’appliquer. Les consé- quences techniques d’un dysfonctionnement sont à une échelle moindre mais les conséquences humaines sont plus préoccupantes car les installations de distribution sont placées relativement près des personnes.
Notre étude se concentrera sur les dispositifs de coupure des surintensités et plus particu- lièrement ceux liés aux dispositifs de coupure basse tension. Ces dispositifs interviennent lors
1.1. Du réseau électrique à la coupure électrique 9
d’un court-circuit ou d’une surcharge et doivent dans le cas des disjoncteurs limiteurs basse tension, forcer le retour au zéro de courant. Comme nous allons le voir, ces appareils exploitent les propriétés remarquables de l’arc électrique – appelé également plasma de coupure – pour dissiper l’énergie électrique et obtenir le retour au zéro de courant le plus rapidement possible.
10 CHAPITRE 1. Du réseau à la modélisation du processus de coupure
1.2 Plasma de coupure et disjoncteur limiteur
1.2.1 Spéci…cité du plasma de coupure
Souvent décrit comme le quatrième état de la nature, au côté des “phases équilibrées” que sont les solides, les liquides et les gaz, le mot plasma est utilisé pour désigner un milieu gazeux ionisé globalement neutre composé d’ions et d’électrons plus ou moins libres [Delcroix 94].
Plus généralement, on l’emploie pour décrire un milieu gazeux, pouvant contenir une forte proportion de particules électriquement neutres. Cette dé…nition très large convient à di¤érents types de plasmas que l’on distingue en deux grandes catégories.
–Les plasmas chauds qui sont obtenus lors de la fusion de noyaux atomiques et qui atteignent une température de plusieurs millions de degrés.
–Les plasmas froids (parmi lesquels on trouve les décharges électriques) qui sont des milieux ionisés dans lesquels la température des particules ne dépasse pas quelques di- zaines de milliers degrés. Dans cette dernière catégorie, il est également nécessaire de dissocier :
–les plasmas thermiques, où toutes les espèces de particules (électrons, ions, atomes, molécules) ont des températures voisines (interaction forte entre populations de charges).
Ils peuvent être créés par décharge continue, par laser, par onde de choc, tout pro- cessus dont la fréquence de collision des particules est su¢ samment importante pour conduire à l’equi-répartition de l’énergie entre les diverses sortes de particules qui les composent. Ces plasmas sont alors dé…nis à partir d’une température unique.
–les plasmas hors d’équilibreoù les électrons possèdent une température beaucoup plus élevée que celle des particules lourdes (interaction faible entre populations de charges). Ceux-ci peuvent être créés à basse pression (micro-ondes ou décharges conti- nues) ou à pression atmosphérique (décharge couronne). Les particules lourdes gardent une température voisine de la température ambiante, alors que les électrons acquièrent une énergie su¢ sante pour créer des collisions inélastiques d’excitation, de dissociation et d’ionisation qui rendent le milieu très réactif. Cette propriété a été mise à pro…t dans un grand nombre d’applications liées à la chimie et aux traitements des maté- riaux (traitement des surfaces, synthèse de produits tels que les poudres ultra…nes, traitement des gaz polluants) [Vaquié 00].
Les di¤érents types de plasma que l’on peut rencontrer dans la nature sont représentés …gure 1.2.
Les arcs électriques ou plasmas de coupure sont des plasmas froids et plus précisément des plasmas thermiques (en opposition au plasma hors d’équilibre où la notion de température unique n’a pas de sens). C’est ce type de plasma qui est mis en œuvre dans les appareils de coupure.
1.2.2 Le disjoncteur limiteur
Un disjoncteur limiteur est un dispositif qui permet d’obtenir un courant (courant li- mité) inférieur à celui que l’on aurait obtenu sans intervention extérieure (courant présumé) [Schueller 98]. La limitation permet de concevoir des appareils de coupure qui devront absorber
1.2. Plasma de coupure et disjoncteur limiteur 11
Fig. 1.2 – Représentation de di¤érents plasmas à di¤érentes températures et à di¤érentes densités de particules chargées. Extrait de “la science pour tous”. voir :http://www.cnrs.fr.
une énergie moindre et limiter les e¤ets des courants de défauts : –E¤ets électromagnétiques :
Les dispositifs électroniques au voisinage d’une ligne parcourue par un courant de court- circuit vont subir des perturbations entraînant des problématiques de Compatibilité Electro-Magnétique.
–E¤ets mécaniques :
Tout d’abord, les courants de défauts peuvent entraîner, par les e¤orts électrodyna- miques, la déformation ou la rupture de pièces conductrices. Ensuite le passage du cou- rant de défaut peut provoquer des ouvertures de contact par les forces électrodynamiques (dites de répulsion). Ces ouvertures intempestives et répétées vont entraîner des rebonds mécaniques sources d’usure et de vieillissement des contacts et d’amorçage d’arc suscep- tible d’endommager également les contacts électriques.
–E¤ets thermiques :
Lors d’un court-circuit les conducteurs et les interconnexions vont être le siège d’un échau¤ement adiabatique à l’échelle de temps des échanges naturels, pouvant entraîner une déformation qui peut aller jusqu’à la fusion.
Comment limiter ?
On s’intéresse au cas d’un circuit alternatif monophasé de tensione, débitant un courant i dans une charge Z. Ce circuit comprend également un disjoncteur limiteur A, une résistance et une inductance (R,L) équivalentes à celle de la ligne du réseau. Tous ces éléments sont
12 CHAPITRE 1. Du réseau à la modélisation du processus de coupure
représentés …gure 1.3.
R i L
Z e
u
aSource
A
Fig.1.3 –Représentation de schéma électrique d’un réseau simpli…é de tension e, alimentant une charge Z, un appareil de coupure A, L et R respectivement une inductance et une résistance caractérisant le réseau.
Quand apparaît un court-circuit aux bornes de la charge Z, le réseau est alimenté par une tension e telle que :
e = (R + Z)I+LdI
dt +ua (1.1)
Pour des facteurs de puissance usuels, l’aspect résistif du réseau et l’impédance de la charge sont négligeables devant l’inductance équivalente. L’équation précédente peut donc être réécrite ainsi :
LdI
dt 'e ua
On en déduit que la limitation du courant (dIdt <0) s’opérera lorsque la tension aux bornes de l’appareil de coupure sera supérieure à celle de la tension du réseau :
Limitation dI
dt <0 ()e ua (1.2)
D’où vient la tension aux bornes du disjoncteur ?
Elle a quatre origines di¤érentes que l’on peut détailler ainsi : i) Tension due à la résistance de l’arc(uconduction) :
L’arc est un conducteur résistif parcouru par un courant. Il voit donc à ses bornes une tension :
uconduction=RarcI (1.3)
où Rarc est la résistance de l’arc et uconduction la tension due à l’aspect résistif du plasma.
ii) Tension due à l’aspect inductif de l’arc (uinduction) :
Ce terme, directement lié à la loi de Faraday, est égal à la variation de ‡ux magnétique traversant la boucle que forme notre circuit. On a alors pour la tension d’induction :
uinduction = d arc
dt (1.4)
1.2. Plasma de coupure et disjoncteur limiteur 13
où arcest le ‡ux magnétique traversant le circuit.
Dans notre cas, la variation de ‡ux magnétique peut provenir : – de la variation de courant,
– de l’augmentation de la boucle de courant du fait du déplacement de l’arc entre les électrodes.
iii) Tension de chute anodique ou cathodique (upied) :
L’arc interagit avec les conducteurs en provoquant un gap de tension quasi-constant pour un matériau donné ua_ c '20V . Les parties métalliques se comportent du point de vue électrique comme une force contre-électromotrice. En prenant en compte plusieurs interactions arc/métal, la tension de pied s’écrit en première approche :
upied =n ua_ c (1.5)
où n désigne le nombre d’interactions arc/métal et ua_ c la di¤érence de potentiel pro- voquée par l’interaction de l’arc avec le métal. On retrouvera plus d’information sur l’origine des e¤ets de gaine anodique ou cathodique dans [Vaquié 00].
iv) Tension due à l’impédance des interconnexions(uA):
Tous les éléments se situant entre les bornes du disjoncteur et l’arc électrique (…ls, bi- lame, tresse que nous décrirons plus tard) seront également soumis au passage du courant.
Ils n’ont qu’une faible in‡uence devant les autres résistances et inductances du circuit.
Toutefois, leur agencement va entraîner une compétition de trajet pour le passage du courant (…gure 1.4). En e¤et, l’arc se positionnera dans la branche de circuit correspon- dant à l’évolution la plus réversible du champ (Chapitre 2 : approche thermodynamique de l’électromagnétisme). La tension générale aux bornes du disjoncteur s’écrit alors :
ua = RarcI
| {z }
uc o n d u c t i o n
+ d arc
| {z }dt
ui n d u c t i o n
+n ua_ c
| {z }
up i e d
| {z }
uarc
+ (ZA 1 kZA 2)I
| {z }
uA
(1.6)
avec(ZA 1 kZA 2)l’impédance issue de la compétition des trajets de courant.
Comment augmenter la tension aux bornes du disjoncteur ?
Avec l’équation 1.6, il est aisé de déterminer les paramètres susceptibles de faire évoluer la tension aux bornes du disjoncteur ua. En première approximation, nous allons considérer l’arc comme un conducteur de résistivité homogène dont la résistance peut s’écrire Rarc = arcSLarc
arc . On a alors :
ua = arcLarc
Sarc I+d arc
dt I+n ua_ c+ (ZA 1 kZA 2)I (1.7) Si bien que pour obtenir une augmentation de cette tension, il est nécessaire, soit :
– d’augmenter le courant, ce qui peut paraître absurde car c’est ce que l’on cherche à diminuer. Toutefois, il est à noter que pour des courants forts, on aura une limitation naturelle importante, simplement par le passage du courant dans l’arc,
– d’augmenter la résistivité de l’arc,
14 CHAPITRE 1. Du réseau à la modélisation du processus de coupure
ZA1 ua
Zarc
A
I
uarc
uA ZA2
Fig.1.4 – Représentation de la tension aux bornes du disjoncteur ua comprenant la tension d’arc uarc et la tension liée à l’impédance du disjoncteur uA qui dépendra du chemin suivi par le courant dans le disjoncteur.
– de diminuer le diamètre de l’arc, – d’augmenter la longueur de l’arc,
– de favoriser l’augmentation du ‡ux magnétique traversant la boucle que forme le circuit, en déplaçant l’arc rapidement,
– d’augmenter le nombre d’interactions arc/métal,
– de favoriser la commutation vers la branche de circuit ayant la plus grande impédance.
Il est peu aisé de jouer sur le diamètre ou la résistivité de l’arc car ils dépendent principa- lement de la composition chimique du plasma et de son comportement hydrodynamique. Par contre, il est possible d’allonger l’arc ou de le segmenter dans plusieurs lamelles métalliques.
La conception des disjoncteurs limiteurs est faite en ce sens et c’est ce que nous allons voir lors de la description de l’architecture.
Description de l’architecture d’un disjoncteur limiteur
Le disjoncteur est constitué d’une enveloppe plastique percée d’échappements contenant : i) Un système de circulation du courant
– Une électrode amont et une électrode aval qui assurent la circulation du courant en régime de fonctionnement normal.
– Un contact mobile, initialement en contact avec les électrodes amont et aval, qui peut s’en écarter a…n d’interrompre la circulation du courant.
– Une tresse de cuivre reliant le contact mobile à l’électrode aval. Celle-ci permet d’as- surer la circulation du courant tout en permettant le mouvement du contact mobile.
ii) Un système d’ouverture
Ce système, qui a pour vocation de déplacer le contact mobile précédemment cité, peut être mis en fonctionnement par di¤érentes méthodes :
1.2. Plasma de coupure et disjoncteur limiteur 15
Bloc limiteur, Mécanique
Joue gazogène Déclencheur thermique
(Bilame)
Déclencheur magnétique
Contact mobile Réglage seuil
thermique
Contact fixe
Tige percuteur Manette
Noyau mobile
Fig.1.5 – Description des éléments constitutifs d’un disjoncteur limiteur C60 de Schneider- Electric.
– méthode thermique : le passage du courant se fait à travers une lame bimétallique cali- brée de telle manière qu’avec un courant nominal, elle ne subisse aucune déformation.
Par contre si des surcharges sont provoquées par les récepteurs, la lame va se déformer et entraîner l’ouverture du contact.
– méthode magnétique : en service normal, le courant nominal circulant dans la bobine n’a pas assez d’in‡uence magnétique (induction magnétique) pour entraîner la tige percuteur. Le circuit est fermé. Si un défaut apparaît dans le circuit aval du disjoncteur, l’impédance du circuit diminue et le courant augmente jusqu’à atteindre la valeur du courant de court-circuit. Dès cet instant, le courant de court circuit provoque une violente aimantation de l’armature mobile, ce qui va provoquer la mise en mouvement du percuteur, puis du contact mobile.
– méthode mécanique : à travers une manette en face avant, un opérateur peut ouvrir manuellement le circuit et mettre …n à la circulation du courant. Il peut également le refermer par processus inverse, s’il le souhaite.
iii) Un système de coupure
Ce système regroupe l’ensemble des éléments qui vont favoriser le déplacement de l’arc et son extinction. Il comprend :
– un bloc limiteur (…gure 1.6), composé de plusieurs ailettes, qui permet de piéger l’arc électrique, d’évacuer l’énergie et d’augmenter la tension d’arc par augmentation de la tension de pied (section : 1.2.2 D’où vient la tension d’arc ?), le dé‡ecteur, élément métallique situé sous la cage et les ailettes, qui permet la bonne insertion de l’arc élec-
16 CHAPITRE 1. Du réseau à la modélisation du processus de coupure
trique dans les séparateurs. En e¤et, dès lors que l’arc électrique touchera cet élément, le courant apparaîtra en son sein et favorisera le déplacement de l’arc électrique.
– des parois plastiques gazogènes qui vont favoriser le déplacement de l’arc grâce aux forces de pression.
Tous ces éléments représentés …gure 1.5. vont permettre d’assurer la circulation du courant en régime nominal et de favoriser la limitation lors de la coupure dont nous allons décrire les étapes.
Fig.1.6 –Représentation d’un bloc limiteur dans lequel l’arc va se segmenter et ainsi contribuer à la limitation du courant par la multiplication de la tension de pied.
Description des étapes de la coupure
Les di¤érentes étapes que nous allons décrire sont représentées …gure 1.7.
Naissance du plasma Lorsque les contacts s’écartent l’un de l’autre, la surface de contact est de plus en plus en faible, forçant le courant à passer dans des sections de cuivre de plus en plus réduites. Les surfaces en contact vont alors se transformer en ponts fondus et donner naissance à un arc saturé en vapeurs métalliques d’une température voisine de 15.000 K. La circulation du courant entre l’électrode aval et amont est ainsi assurée par le plasma de coupure.
Croissance du plasma L’arc subit à la fois les e¤ets électromagnétiques (e¤et de boucle1 et e¤ets réluctant2) et les forces de pression ‡uide. Ces deux e¤ets vont allonger l’arc, puis l’entraîner dans le bloc limiteur. On peut noter également un troisième e¤et, mal maîtrisé et négligé par la suite, qui correspond aux mouvements des pieds d’arcs [Vaquié 00]. Il est important de favoriser les deux e¤ets principaux pour éloigner l’arc des contacts, dont l’état de surface doit être préservé a…n d’assurer une circulation du courant peu dissipative en régime de fonctionnement normal.
1E¤et qui tend à faire croître la boucle de courant. Une boucle de courant déformable tend à minimiser son enthalpie libre G= 12Li2 . A i …xé cela revient à augmenter l’inductanceLde la boucle et par conséquent la surfaceSsur laquelle s’appuie la boucle [Landau 90][Slama 01].
2E¤et du à l’aimantation des pièces mises en jeux qui tend à “raccourcir” les lignes de champ magnétiques dans les milieux non permittifs.
