fréquence avec la méthode des volumes …nis
A la …n de cette étude, il nous paraît important de faire le point sur les développements menés, les e¤orts qui doivent être envisagés pour disposer d’une modélisation complète de l’électromagnétisme par la méthode des volumes …nis, des critères permettant d’apprécier la qualité/consistance de la solution et des éléments qui nous permettent d’ores et déjà de répondre à la problématique de la modélisation électromagnétique de la coupure.
Au cours de cette étude, nous nous sommes intéressés à la résolution d’un problème élec-tromagnétique basée sur la résolution des lois de conservation de l’électromagnétisme. Cette approche séduisante a donné des résultats pertinents mais malheureusement limités à des pro-blèmes unidimensionnels. Ces lois ont toutefois trouvé une déclinaison naturelle en tant que critère d’erreur de la solution et restent à nos yeux une orientation très intéressante.
Nous nous sommes également intéressés à modéliser des problèmes électromagnétiques en résolvant les équations de Maxwell. Bien que de nombreux problèmes aient déjà pu être mo-délisés avec la méthode des volumes …nis, il serait nécessaire pour disposer d’un outil de calcul complet électromagnétique :
– d’implémanter un couplage circuit ;
– d’améliorer la prise en compte des conditions limites à l’in…ni par l’introduction de “boîte in…nie”. Cet élement permettrait en e¤et de transformer un domaine in…ni en un domaine
borné [Brunotte 91] ;
– d’améliorer la vitesse de convergence des modèles non-linéaires ; – d’améliorer la pertinence des modèles magnétodynamiques ;
– de mettre en place la parallélisation du code. L’e¤ort à fournir reste raisonnable car la méthode des volumes …nis est par nature facile à paralléliser (échange des ‡ux entre les zones parallélisées) ;
Ces di¤érents points restent conséquents mais ne nous empêchent pas de disposer d’ores et déjà :
– d’une modélisation électrocinétique ; – d’un couplage circuit résistif ;
– d’une modélisation du champ issu des courants sources ;
– d’une modélisation de l’in‡uence des milieux matériels magnétiques.
Ces derniers modèles vont être mis à pro…t dans le chapitre suivant qui comprend l’inté-gration de ceux-ci dans la modélisation complète de la coupure et leurs utilisations sur des disjoncteurs en développement.
Chapitre 4
Modélisation du processus de
coupure
4.1. Description des phénomènes physiques et de leur modélisation 105
4.1 Description des phénomènes physiques et de leur
mo-délisation
La modélisation du processus de coupure est, comme présentée au chapitre 1, une modéli-sation multi-physique. Elle met en jeux un grand nombre de modèles physiques qui cohabitent et interagissent intimement. Il est alors naturel de présenter succinctement chacun des champs disciplinaires mis en jeux, leurs modèles dans la littérature et ceux choisis dans le cadre du projet SHarc3D.
4.1.1 Déplacement du contact mobile
Lors de la coupure, le contact mobile va se translater ou pivoter pour ouvrir le circuit. Le maillage associé doit être capable de suivre ce mouvement tout en conservant une qualité exploitable pour la résolution. Pour cela on utilise des techniques de maillage adaptatif.
La plus employée est la technique du r-meshing [Miyata 00]. Elle consiste à remailler toute
la zone entourant la pièce mobile. Facile d’utilisation dans le cas de maillage tétraédrique, elle impose toutefois une interpolation des données entre les maillages. Une autre méthode plus adaptée aux mouvements de translation et aux maillages hexaédriques s’appelle la méthode
de layering [Fluent 00]. Elle consiste à translater tout un bloc de mailles avec une zone où
les mailles vont s’étirer avant de se scinder en deux, et une autre zone où les mailles vont se comprimer jusqu’à fusionner. C’est l’utilisateur qui dé…nit le ratio de longueur de maille à partir duquel une maille se scinde ou deux mailles fusionnent (…gure 4.1).
h Front de fusion de maille Front de dédoublement de maille Translation h0
Maille initiale Etirement
Sih>αh0
Dédoublement
α: Paramètre utilisateur
Fig.4.1 – Schéma de principe de l’adaptation de maillage par layering. Les mailles accolées
au front de dédoublement des mailles vont s’étirer jusqu’à atteindre une taille critique qui va entraîner leur dédoublement.
Ce type de maillage adaptatif, simple et rapide, se prête à la translation des contacts mobiles.
106 CHAPITRE 4. Modélisation du processus de coupure
4.1.2 L’initialisation du plasma
A l’ouverture du circuit, la surface de contact entre l’électrode amont et le contact mobile va être de plus en faible, jusqu’à ce que le passage du courant entre ces deux branches du circuit ne s’opère plus que par quelques ponts fondus de cuivre. Le passage du courant et la faible section de ces ponts provoquent un échau¤ement très intense entre les contacts qui va entraîner
l’éclatement des ponts fondus et l’apparition d’un plasma saturé en cuivre [Socquet 05].
Ce processus, totalement dépendant de l’état de surface des contacts, n’est jamais modélisé. L’arc est le plus souvent introduit par un calcul stationnaire préalable. Dans le cadre du projet SHarc3D, l’arc est initialisé par une injection d’énergie gaussienne en un point d’application
se trouvant entre les contacts [Chevrier 97b]. L’injection d’énergie va être maintenue tant
que la température du plasma n’a pas atteint une température de 15.000K. Cette énergie est introduite en tant que terme source dans l’équation de l’énergie et a la forme suivante :
S S+Age
(x xc)2
2 2g (4.1)
avec xc le vecteur position du point d’application, x le vecteur position du point dont on
cherche l’énergie à injecter,Ag l’amplitude de l’injection d’énergie et g décrivant l’écart type
de la gaussienne.
Ce processus de préchau¤age va durer quelques microsecondes. Il fait naître un grand nombre d’ondes de choc qui vont se propager, se ré‡échir sur les parois du disjoncteur puis freiner l’arc dans ses premiers déplacements.
4.1.3 Les phénomènes aux pieds d’arc
Les phénomènes aux pieds d’arc mettent en jeux des processus fondamentalement microsco-piques. Leurs modélisations nécessitent la prise en compte des ‡ux de particules et des tailles de maille très réduites pour s’adapter à la longueur caractéristique des e¤ets de gaine (environ
m). Depuis plusieurs années, le laboratoire Laplace à Toulouse étudie ces phénomènes et
dé-veloppe des modèles plus macroscopiques permettant leur prise en compte [Lago 04][Cayla 08].
Au vu des contraintes de maillage, ces modèles ne sont pas pour l’instant implémentés. Dans le cadre du projet SHarc3D, un modèle empirique développé chez Schneider Electric est utilisé. Il consiste à traduire le ‡ux thermique non plus simplement par un ‡ux de conduction thermique classique mais par un ‡ux dépendant de la densité de courant aux voisinages du pied d’arc et que l’on peut écrire ainsi :
pied= kT T Tvap
alogJs+bAt (4.2)
avecTvapla température de vaporisation du cuivre,kT la conductivité thermique,Jsla densité
de courant,aet bdeux paramètres dé…nis expérimentalement etAf l’aire de la face.
Ce modèle « grossier » permet de retrouver des énergies perdues aux pieds et des tensions
de pieds cohérentes avec l’expérimental [Chevrier 97b]. C’est donc ce modèle qui sera utilisé
4.1. Description des phénomènes physiques et de leur modélisation 107
4.1.4 L’ablation métallique et plastique
L’ablation est directement liée à l’apport d’énergie provenant de l’arc soit par conduction (ablation métallique), soit par rayonnement (ablation plastique). Pour prendre en compte cor-rectement ces phénomènes, il est nécessaire d’avoir des données précises sur l’énergie atteignant les surfaces susceptibles d’être ablatées. Les modèles d’ablation sont donc très dépendants de la modélisation des pieds d’arc et du rayonnement.
Les modèles d’ablation métallique [Prunier 99] n’ont pas réussi jusqu’ici à être mis en œuvre
avec succès. Les modèles d’ablation plastique [Nossov 06][Nossov 07] ont quant à eux été
im-plémentés et permettent de retrouver les comportements de l’arc observés expérimentalement
[Domejean 97], notamment au voisinage de zones gazogènes.
4.1.5 L’électromagnétisme
L’électromagnétisme intervient de di¤érentes manières dans le cas du plasma de coupure. En e¤et, il est nécessaire de déterminer la circulation du courant dans le disjoncteur et plus particulièrement dans le plasma, les pertes Joule associées et les e¤orts magnétiques sur l’arc. Nous avons déjà évoqué au chapitre 1 les modèles existants dans la littérature. Dans le cadre du projet SHarc3D, nous utiliserons ce qui a été développé au chapitre 3 de cette thèse [Rondot 06b][Rondot 08a].
4.1.6 La mécanique des ‡uides du gaz réel La thermodynamique du gaz réel
Lorsqu’on souhaite modéliser un plasma d’arc placé à l’équilibre thermodynamique local,
il est nécessaire de connaître les di¤érentes grandeurs thermodynamiques le caractérisant (Cp,
Cv,kT,vs,...) pour une large gamme de températures 300-30.000K et de pressions 0.5-16bars.
La majorité de ces données nous est fournie par le laboratoire Laplace [Teulet 05][Teulet 02]
et d’autres (ex : vitesse du son) sont calculées à partir des précédentes selon des méthodes
particulières développées dans [Godin 98].
A…n d’éviter l’utilisation de tables de données discrétisées selon T et P qui seraient très
coûteuses en temps de calcul, on construit une interpolation de données permettant d’obtenir toutes nos grandeurs sous la forme d’un développement limité en logarithme de la pression [Chevrier 97b]. A l’ordre 1, elle se présente sous la forme suivante :
Cp(T; P) =a(T) +b(T) logP (4.3)
oùaet bsont des coe¢ cients du développement limité discrétisés et tabulés enT.
Cette méthode demande un travail préalable conséquent sur les tables de propriétés ther-modynamiques mais s’avère à l’usage particulièrement rapide et précise.
Le rayonnement
Le rayonnement s’accompagne d’une émission d’énergie (perte d’énergie) par la source et une absorption d’énergie (gain d’énergie) par le voisinage. Actuellement, on utilise un modèle
108 CHAPITRE 4. Modélisation du processus de coupure
d’émission nette qui permet de caractériser la perte d’énergie mais pas le transfert d’énergie au voisinage. La perte d’énergie calculée dépend de la température, de la pression et de la composition du gaz qui rayonne. Cette perte est introduite dans l’équation de l’énergie sous la forme d’un terme source :
S S Sr(T; P; i)
avecSrl’émission nette dépendant de la températureT, de la pressionP et de la composition
du gaz i.
D’autres modèles plus récents tentent de modéliser de manière plus pertinente les
phéno-mènes de rayonnement [Lacombe 08][Kahhali 09], notamment en modélisant les ‡ux radiatifs
se propageant autour de la zone émettrice. Ces modèles sont bien plus précis que le modèle d’émission nette mais ils nécessitent un temps de calcul trop conséquent pour envisager leur intégration dans le code de coupure.
La mécanique des ‡uides
L’air et l’arc sont considérés dans l’approximation ‡uide de l’équilibre thermodynamique
local [Vaquié 00]. On peut ainsi décrire les mouvements ‡uides avec trois variables d’état
[Chevrier 97b] :
– La masse volumique m,
– La quantité de mouvement mv,
– L’énergie totale E.
Ces trois grandeurs sont mises en jeux à travers les équations de conservation présentées ci-dessous :
–Conservation de la masse :
div ( mv) +@ m
@t =Sm (4.4)
oùSmcorrespond à une injection de masse issue de l’ablation.
–Conservation de la quantité de mouvement :
@ mv
@t + div ( mv v) = div
=
+f (4.5)
Les forces surfaciques sont modélisées par le tenseur des contraintes =. Classiquement,
ce tenseur se décompose en deux parties. L’une correspondant à un travail réversible lors de la déformation d’un ‡uide, la seconde représentant le travail irréversible des contraintes
visqueuses. La densité de forcef représente les densités de forces volumiques extérieures. Dans
notre cas, celle-ci représente les forces électromagnétiques et les forces de pesanteur que l’on peut écrire :
f = RE+J B | {z }
forcesélectrom agnétiques
+ mg
|{z}
forces de pesanteur
oùB est le champ magnétique, Ele champ électrique, Jla densité de courant volumique, R
la charge électrique volumique,gla constante de gravité universelle.
Pour notre application, la force électrostatique (RE) est nulle du fait de l’approximation
4.1. Description des phénomènes physiques et de leur modélisation 109
devant la force de Laplace. L’équation de la conservation de la densité de mouvement résolue se simpli…e ainsi dans le cadre de la modélisation du plasma :
@ mv @t + div ( mv v) = div = |{z} forces surfaciques + J B | {z } forcesde Laplace (4.6) –Conservation de l’énergie :
L’équation de la conservation de l’énergie s’écrit ainsi : @E
@t + div (vE) = f v+div
=
v + mq div(q) (4.7)
oùE désigne l’énergie,q les sources volumiques d’énergie,qla densité de ‡ux de conduction
obtenue par la loi de Fourrier(q= kTgradT aveckT la conductivité thermique du matériau):
Dans notre application, les termes sources volumiques sont les pertes Joule et les pertes par rayonnement. Si bien que le terme de source volumique peut être écrit ainsi :
mq = | {z }1J2
Pertes Joule
Sr(T; P)
| {z }
Pertes par rayonnem ent
L’équation de la conservation de l’énergie devient alors : @E
@t + div (vE) = div
=
v | {z }
Travail descontraintessurfaciques
div( kTgradT)
| {z }
Pertes par conduction
(4.8)
+ (J B) v
| {z }
Travail des forces de Laplace
+ | {z }1J2
PertesJoule
Sr(T; P)
| {z }
Pertes par rayonnem ent
Turbulence
Il est estimé que la turbulence se déclenche dans les arcs libres pour des courants supérieurs
à 500A [Ramakrishnan 78]. Il existe des modèles de plasma où la turbulence est prise en compte
par un modèle k-"à bas Reynolds [Delalondre 92]. Dans le cadre du projet SHarc3D, nous nous
limitons à un modèle laminaire.
4.1.7 Procédure de résolution
L’ensemble de ces modèles est mis en œuvre autour du code Fluent qui nous sert de noyau de résolution. L’interaction entre les di¤érents modèles que l’on retrouve …gure 4.2 se fait soit par terme source issu d’autres physiques, soit par modi…cation des propriétés physiques (Cp; ; ::)dépendant des variables d’état(T; P).
L’ensemble de ces modèles est mis en œuvre dans Fluent avec les caractéristiques suivantes : – résolution explicite en temps avec un solveur basé sur la densité de masse,
– approximation des ‡ux par la méthode de Roe [Roe 81],
– déformation du maillage par layering, – gradients reconstruits par moindre carré.
110 CHAPITRE 4. Modélisation du processus de coupure
T,P
modèle dynamique des fluides modèle magnétique J,B σ T,P propriétés électriques Terme source énergie Terme source impulsion Modèle Rayonnement Modèle pied d’arc Pertes radiatives Pertes aux pieds Sauts de tension
aux pieds d’arc
Force de Laplace Pertes Joule T,P J × B σ−1 2 J
Fig.4.2 –Interaction des di¤érents modèles autour du noyau de résolution Fluent.