1.3 Modélisation du processus de coupure
1.3.3 Stratégies de modélisation
La principale di¢ culté de la modélisation du processus de coupure réside dans la coexistence d’une modélisation électromagnétique et d’une modélisation de mécanique des ‡uides. En e¤et, l’électromagnétisme basse fréquence et la mécanique des ‡uides compressibles soumise à des ondes de choc, ne sont généralement pas modélisés avec la même méthode numérique. On peut tenter une explication inspirée de la thermodynamique hors d’équilibre. En e¤et, il existe deux grandes familles de réponse d’un système soumis à une excitation extérieure :
– la réponse adiabatique, qui correspond à la situation où le temps caractéristique de
l’excitation e est très petit devant le temps de relaxation du système s qui subit
l’excitation.
– la réponse isotherme, qui correspond à la situation inverse où le temps de relaxation du
système s est très petit devant le temps caractéristique de l’excitation e à laquelle il
est soumis (…gure 1.9).
f
eτ
s=1
Réponse isotherme Réponse adiabatique
f
eτ
sFig. 1.9 – Classi…cation des réponses d’un système soumis à une excitation extérieure en
fonction des temps caractéristiques du système s et de l’excitateur e= f1
e.
A…n d’illustrer ces deux familles, nous allons décrire l’exemple proposé par [Levy 97] dans
le cas d’un élément ferromagnétique soumis à un champ extérieur oscillant : i) La réponse isotherme
Le processus qui relaxe l’aimantation vers l’équilibre est très rapide devant la fréquence d’excitation avec laquelle le champ magnétique oscille et l’aimantation suit de manière instantanée le champ appliqué de telle sorte que l’on tende vers l’équilibre à chaque instant. On a alors un système qui est perturbé dans son ensemble.
Ce type de situation se retrouve dans l’électromagnétisme basse fréquence qu’il est
pos-sible de décrire à partir d’une approche variationelle globale [Mazauric 03]. Les éléments
…nis en constituent une déclinaison discrétisée. ii) La réponse adiabatique
La fréquence d’excitation est cette fois très grande comparée au taux de relaxation du système et l’aimantation ne peut suivre le champ appliqué. Cette fois, la perturbation peut prendre la forme d’un phénomène transitoire rapide. On peut retrouver ce proces-sus en mécanique des ‡uides comportant des ondes de choc. Ces ondes de chocs sont modélisées par la méthode des volumes …nis qui, par son approche conservative locale,
permet de modéliser ces phénomènes violents localisés [Smoller 83].
On notera également que l’on a une utilisation des éléments …nis dans la modélisation de
la mécanique des ‡uides à nombre de Mach plus faible [Zienkiewicz 05] et l’utilisation des
1.3. Modélisation du processus de coupure 23
conforte notre idée d’une méthode numérique appropriée à un système soumis à un certain type d’excitation (…gure 1.10).
Electromagnétisme
Basse fréquence f
0 50 MHz 50GHz Electromagnétismehaute fréquence
50 Hz Mécanique
des fluides supersoniques (onde de chocs) Mécanique des fluides subsoniques Méthode numérique préférentielle
Eléments finis Volumes finis
f 500 kHz
0
Disjoncteur
Fig. 1.10 – Ordre de grandeur fréquentiel de l’électromagnétisme et de la mécanique des
‡uides dans le contexte d’un dispositif de taille caractéristique de 6 cm, taille typique du
disjoncteur représenté …gure 1.5 et méthode numérique préférentielle en fonction de la fréquence d’excitation.
Cette application impose de disposer d’une modélisation e¢ ciente de l’électromagnétisme et de la mécanique des ‡uides. Pour cela, deux stratégies di¤érentes se présentent avec des avantages et des inconvénients :
– Couplage de code :
Cette méthode pragmatique consiste à utiliser des codes pertinents dans leur domaine
d’activité puis de les faire interagir par échanges de données [Rumpler 07]. Chaque code
va modéliser correctement “sa” physique au vu des données d’entrée qu’il possède. Le principal point faible se situe dans l’échange des données entre les deux codes. En e¤et, les deux codes ne travaillant pas forcément sur le même maillage, cela va imposer une interpolation des données qui peut entraîner de l’erreur notamment dans le cadre de maillage déformant. S’ajoute à cela un temps d’échange qui compte pour beaucoup dans
le temps de résolution3. En…n, la résolution des deux phénomènes physiques en présence
est par nature séquentielle, ce qui peut être problématique dans le cas de problème très raide, c’est-à-dire dont le couplage est trop intime pour envisager une résolution alternée des deux problèmes physiques. On aura au mieux l’introduction d’une viscosité numérique qui nous éloignera de la solution, au pire un problème qui ne pourra pas converger. – Couplage de résolution :
Dans cette catégorie, une solution consiste à modéliser les deux physiques avec des mé-thodes numériques di¤érentes, mais intégrées cette fois dans le même code. Les échanges
de données sont alors favorisés par rapport à un couplage de code classique [Reynard 06].
Une autre solution consiste à résoudre l’électromagnétisme et la mécanique des ‡uides par la même méthode numérique. Ces deux physiques peuvent être résolues par la méthode des éléments …nis, ce qui assure une bonne résolution de la partie électromagnétique mais demande de renoncer à la qualité de la modélisation ‡uide. En e¤et, celle-ci s’avère peu
pertinente pour des ‡uides réels compressibles soumis à des ondes de chocs [Chevrier 97a].
Elles peuvent être également résolues par la méthode des volumes …nis, ce qui assure une
3Dans le couplage électromagnétisme/mécanique des ‡uides, l’échange des données est conséquent car
24 CHAPITRE 1. Du réseau à la modélisation du processus de coupure
bonne résolution de la partie ‡uide au détriment de la partie électromagnétique souvent simpli…ée. En e¤et, on retrouve des modélisations de coupure avec de
l’électromagné-tisme du vide [Gonzalez 05][Swierczynski 03] ou des matériaux magnétiques linéaires
[Lindmayer 02] mais pas de modélisation plus complète de l’électromagnétisme.
Toutes ces considérations nous ont amenés à faire un arbitrage entre ces di¤érentes straté-gies qui peut être discutable mais qui répond bien aux contraintes scienti…ques (modélisation précise et commune de l’électromagnétisme et de la mécanique des ‡uides) et aux contraintes industrielles (temps CPU faible et mise en œuvre simple en vue d’une utilisation en bureau d’étude). Notre choix se porte donc sur une modélisation de la coupure avec une seule méthode numérique : les volumes …nis. Il nécessite, et c’est le thème de cette thèse, le développement d’une modélisation avancée de l’électromagnétisme basse fréquence basée sur la méthode des volumes …nis.
Chapitre 2
L’électromagnétisme et la
méthode des volumes …nis
2.1. Electromagnétisme dans le vide : approche particulaire 27