Prévoir et supprimer les contraintes de montage d’un système.
Théorie des mécanismes
L
YCÉEC
ARNOT(D
IJON), 2014 - 2015
Germain Gondor
1 Pompe Dosapro
2 Correction de tilt d’une optique adaptative
3 Mécanisme à barre
4 Épandeur
5 Plateforme Stewart
6 Étude du poste de déroulement de la ligne LG37
Sommaire
1 Pompe Dosapro
2 Correction de tilt d’une optique adaptative
3 Mécanisme à barre
4 Épandeur
5 Plateforme Stewart
6 Étude du poste de déroulement de la ligne LG37
Pompe Dosapro
Q - 1 : Déterminer le nombre cyclomatique ν du mécanisme.
Q - 2 : A partir d’une analyse des mobilités utiles et internes, déter- miner le degré de mobilité cinématique du mécanisme.
Q - 3 : Déterminer degré d’hyperstatisme du mécanisme.
Sommaire
1 Pompe Dosapro
2 Correction de tilt d’une optique adaptative
3 Mécanisme à barre
4 Épandeur
5 Plateforme Stewart
6 Étude du poste de déroulement de la ligne LG37
Lors de l’étude de la partie opéra- tive, la première préoccupation est de contrôler la capacité mécanique de la monture du miroir à corriger les tilts.
On s’intéresse donc aux liaisons
entre la monture et le bâti.
Les liaisons réelles définies dans le dossier technique ont été modéli- sées par des liaisons normalisées.
Q - 1 : Construire le graphe des liaisons.
Q - 2 : Déterminer les liaisons équivalentes L 1/2 , L 2/3 et L 1/3 . Q - 3 : Déterminer les degrés de mobilités internes et utiles.
Q - 4 : Déterminer le degré d’hyperstatisme du système.
Q - 5 : Quel est l’intérêt de ce degré d’hyperstatisme.
Sommaire
1 Pompe Dosapro
2 Correction de tilt d’une optique adaptative
3 Mécanisme à barre Présentation
Cas des liaisons pivot Cas des liaisons rotules
4 Épandeur
5 Plateforme Stewart
6 Étude du poste de déroulement de la ligne LG37
Mécanisme à barre
Q - 1 : Construire le graphe de structure Q - 2 : Déterminer le degré d’hyperstatisme
Faire l’étude avec des liaisons pivots puis avec des liaisons rotules.
N L = 6
⇒ ν = N L − p + 1 = 2 ⇒ E c = 6.ν = 12
Le mécanisme ne possède pas de mobilité interne et lorsque α , 0, le mécanisme est bloqué. Il en résulte que la mobilité cinématique est de 1 si α = 0 et 0 sinon.
I c = 6 donc h = m c + E c − I c =
7 si α=0 6 si α , 0
Les degrés d’hyperstatismes sont liés au parallélismes des 6 barres (donc 5 degrés d’hyperstatisme) et à la longueur de la troisième barre.
De plus, dans le cas où une mobilité cinématique est souhaitée, il faut de plus que l’angle α soit nul.
Déterminons le rang du systèmes d’équations cinématiques pour
connaître le degré d’hyperstatisme et la mobilité cinématique. Construi-
sons donc la fermeture cinématique (0-2-4-1-0) et (0-4-3-2-0).
( V
1/0)
=
A
( ω
10. #» z
#» 0
) (
V
2/0)
=
B
( ω
20. #» z
#» 0
) (
V
3/0)
=
C
( ω
30. #» z
#» 0 )
( V
4/1)
=
D
( ω
41. #» z
#» 0
) (
V
4/2)
=
E
( ω
42. #» z
#» 0
) (
V
4/3)
=
F
( ω
43. #» z
#» 0 )
− (
V
2/0)
− (
V
4/2) +
( V
4/1) +
( V
1/0)
= (
0 )
− (
V
2/0)
− (
V
4/2) +
( V
4/3) +
( V
3/0)
= (
0 )
Plaçons les deux fermetures au point B
V #»
(B∈2/0)= #»
0 V #»
(B∈1/0)= #»
V
(A∈1/0)+ # »
BA ∧ Ω #»
(1/0)= #»
0 + ( −a. #» y ) ∧ ω
10#» z = − ω
10.a. #» x V #»
(B∈3/0)= #»
V
(C∈3/0)+ # »
BC ∧ #» Ω
(3/0)= #»
0 + (a. #» y ) ∧ ω
30#» z = ω
30.a. #» x V #»
(B∈4/1)= #»
V
(D∈4/1)+ # »
BD ∧ Ω #»
(4/1)= #»
0 + (L. #» x − a. #» y ) ∧ ω
41#» z
= − ω
41. (a. #» x + L. #» y ) V #»
(B∈4/2)= #»
V
(E∈4/2)+ # » BE ∧ #»
Ω
(4/2)= #»
0 + (L. #» x ) ∧ ω
42#» z = − ω
42.L. #» y V #»
(B∈4/3)= #»
V
(F∈4/3)+ # »
BF ∧ #» Ω
(4/3)= #»
0 + (L. #» x + (a + L. tan(α)). #» y ) ∧ ω
43#» z
= ω
43. (( a + L. tan(α)). #» x − L. #» y )
0 + 0 + 0 + 0 = 0
0 + 0 + 0 + 0 = 0
− ω 20 + ( − ω 42 ) + ω 41 + ω 10 = 0 0 + 0 + − ω 41 .a + ( − ω 10 ).a = 0 0 + ( − ω 42 ).L + ( − ω 41 ).L + 0 = 0
0 + 0 + 0 + 0 = 0
0 + 0 + 0 + 0 = 0
0 + 0 + 0 + 0 = 0
− ω 20 + ( − ω 42 ) + ω 43 + ω 30 = 0 0 + 0 + ω 43 .(a + L. tan(α)) + ω 10 .a = 0 0 + ( − ω 42 ).L + ( − ω 43 ).L + 0 = 0
0 + 0 + 0 + 0 = 0
⇒
− ω 20 − ω 42 +ω 41 +ω 10 = 0
0 +0 − ω 41 .a − ω 10 .a = 0
0 − ω 42 .L − ω 41 .L +0 = 0
− ω 20 − ω 42 +ω 43 +ω 30 = 0 0 +0 +ω 43 .(a + L. tan(α)) +ω 10 .a = 0
0 − ω 42 .L − ω 43 .L +0 = 0
− 1 − 1 1 1 0 0
0 0 a a 0 0
0 L L 0 0 0
− 1 − 1 0 0 1 1
0 0 0 0 a + L. tan(α) a
0 L 0 0 L 0
.
ω 20 ω 42 ω 41 ω 10 ω 43 ω 30
=
0 0 0 0 0 0
Déterminons le rang du système:
rang
−1 −1 1 1 0 0
0 0 a a 0 0
0 L L 0 0 0
−1 −1 0 0 1 1
0 0 0 0 a+L.tan(α) a
0 L 0 0 L 0
= rang
−1 −1 1 1 0 0
0 0 1 1 0 0
0 1 1 0 0 0
−1 −1 0 0 1 1
0 0 0 0 a+L.tan(α) a
0 1 0 0 1 0
rang
−1 −1 1 1 0 0
0 0 1 1 0 0
0 1 1 0 0 0
0 0 −1 −1 1 1
0 0 0 0 a+L.tan(α) a
0 1 0 0 1 0
= rang
−1 −1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0
0 1 1 0 0 0
0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 a+L.tan(α) a
0 1 0 0 1 0
rang
−1 −1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0
0 1 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 L.tan(α) a
0 1 0 0 1 0
= rang
−1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 L.tan(α) a
0 1 0 0 1 0
= 4+rang
0 1
L.tan(α) a
Dans le cas des liaisons rotules, le nombre d’inconnues cinématiques est porté à 18. La rotation de chacune des barres apporte un degré de mobilité interne. Il en résulte que:
m u = h + I c − E c − m i = h + 18 − 12 − 3 = h + 3 ≥ 3
Déterminons le rang du systèmes d’équations cinématiques pour
connaître le degré d’hyperstatisme et la mobilité cinématique. Construi-
sons la fermeture cinématique (0-2-4-1-0) et (0-4-3-2-0).
( V
1/0)
=
A
p
100 q
100 r
100
B( V
2/0)
=
B
p
200 q
200 r
200
B( V
3/0)
=
C
p
300 q
300 r
300
B( V
4/1)
=
D
p
410 q
410 r
410
B( V
4/2)
=
E
p
420 q
420 r
420
B( V
4/3)
=
F
