Td 4 - CI-2-3: Prévoir les réponses temporelles et fréquentielles d’un système du premier ou second ordre

(1)

Td 4 - CI-2-3:

Prévoir les réponses temporelles et fréquentielles d’un système du premier ou second ordre

CI-2

Modéliser et simuler les systèmes linéaires continus invariants.

L

YCÉE

C

ARNOT

(D

IJON

), 2020 - 2021

Germain Gondor

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 4 - CI-2-3 Année 2020 - 2021 1 / 50

(2)

Sommaire

1 Analyse de courbes

2 Diagrammes de Bode

3 Positionnement d’une antenne satellite

4 Gouverne de profondeur

(3)

Analyse de courbes

Sommaire

1 Analyse de courbes Equations

Toutes les courbes

2 Diagrammes de Bode

3 Positionnement d’une antenne satellite

4 Gouverne de profondeur

(4)

Analyse de courbes Equations

Q - 1 : Associer à chacune des 10 courbes suivantes (repérées par les chiffres 1 à 10) le modèle qui convient en le choisissant parmi ceux proposés (repérés par les lettres A à J). Il s’agit des réponses à échelon e(t) = 2.u(t).

A:s(t) = 2.e₀.





1−e^−0,5.3.t





cos(3.p

1−0,25.t) + 0,5 p1−0,25

.sin

3.p 1−0,25.t











.u(t)

B:s(t) = 2.e₀. 1−e^−2.t

.u(t)

C :s(t) = 0,5.e₀. 1−e^−5.t

.u(t)

D :H(p) = 2 1+p

E :H(p) = 2 1+0,25.p+0,25.p²

F :H(p) = 2 1+0,5.p+0,25.p²

G:H(p) = 0,5 1+0,2.pe^−p

H :H(p) = 2 1+0,25.p²

I :H(p) = 2 1+p+0,25.p²

J :H(p) = 18 9+6.p+p²

(5)

Analyse de courbes Toutes les courbes

Toutes les courbes

1.) 00 1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4

2.) 00 1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6

3.) 00 1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4

4.) 00 1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4

5.) 00 1 2 3 4 5 6 7 8

0.25 0.5 0.75 1

6.) 00 1 2 3 4 5 6 7 8

2 4 6 8

7.) 00 1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5

8.) 00 1 2 3 4 5 6 7 8

0.25 0.5 0.75 1

9.) 00 1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4

(6)

Analyse de courbes Toutes les courbes

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 2 3 4 5

(7)

Diagrammes de Bode

Sommaire

1 Analyse de courbes

2 Diagrammes de Bode

Correcteur à retard de phase

Etude d’une fonction de transfert: F (p) = (1 + 0.2p)

²

p(1 + 0.01p + 0.0001p

²

)

3 Positionnement d’une antenne satellite

4 Gouverne de profondeur

(8)

Diagrammes de Bode Correcteur à retard de phase

Correcteur à retard de phase

On souhaite faire une étude fréquentielle du correcteur à retard de phase

C(p) = 1 + τ.p

1 + α.τ.p avec α = 5 et τ = 2s

Q - 2 : Déterminer le diagramme de Bode asymptotique du correc- teur puis tracer le diagramme de Bode en calculant quelques points.

(9)

Etude du gain

G _dB = 20. log C(j.ω)

= 20. log

1 + j.τ.ω 1 + j.α.τ.ω

!

= 20. log (|1 + j.τ.ω|) − 20. log (|1 + j.α.τ.ω|)

= 20 log p

1 + τ ² .ω ²

− 20 log p

1 + α ² .τ ² .ω ² On associe alors deux pulsations ω _n et ω _d , telle que:

ω n = 1

τ = 0.5 rad/s et ω d = 1

ατ = 0.1 rad/s

(10)

10 ⁻² 10 ⁻¹ 1 10 10 ²

-60 -40 -20 0 20 40 G _dB (ω) 60

ω

(11)

10 ⁻² 10 ⁻¹ 1 10 10 ²

-60 -40 -20 0 20 40 G _dB (ω) 60

ω

(12)

10 ⁻² 10 ⁻¹ 1 10 10 ²

-60 -40 -20 0 20 40 G _dB (ω) 60

ω

(13)

10 ⁻² 10 ⁻¹ 1 10 10 ²

-60 -40 -20 0 20 40 G _dB (ω) 60

ω

(14)

10 ⁻² 10 ⁻¹ 1 10 10 ²

-60 -40 -20 0 20 40 G _dB (ω) 60

ω

(15)

Etude de la phase

Φ(ω) = arg (C(j.ω)) = arg 1 + j.τ.ω 1 + j.α.τ.ω

!

= arg (1 + j.τ.ω) − arg (1 + j.α.τ.ω)

= arctan (τ.ω) − arctan (α.τ.ω)

(16)

10 ⁻² 10 ⁻¹ 1 10 10 ²

-135 -90 -45 0 45 90 φ(ω) 135

ω

(17)

10 ⁻² 10 ⁻¹ 1 10 10 ²

-135 -90 -45 0 45 90 φ(ω) 135

ω

(18)

10 ⁻² 10 ⁻¹ 1 10 10 ²

-135 -90 -45 0 45 90 φ(ω) 135

ω

(19)

10 ⁻² 10 ⁻¹ 1 10 10 ²

-135 -90 -45 0 45 90 φ(ω) 135

ω

(20)

10 ⁻² 10 ⁻¹ 1 10 10 ²

-135 -90 -45 0 45 90 φ(ω) 135

ω

(21)

10

⁻²

10

⁻¹

1 10 10

²

-60 -40 -20 0 20 40 G

dB

(ω) 60

ω

10

⁻²

10

⁻¹

1 10 10

²

-135 -90 -45 0 45 90 φ(ω) 135

ω

(22)

Diagrammes de Bode

Etude d’une fonction de transfert:

F(p) = (1+0.2p)² p(1+0.01p+0.0001p²)

Q - 3 : Tracer le diagramme de Bode asymptotique de F(p) puis tra- cer le diagramme de Bode en calculant quelques points.

Q - 4 : Tracer l’allure du diagramme de Black.

(23)

Diagrammes de Bode

F(p) = (1+0.2p)² p(1+0.01p+0.0001p²)

10

⁻¹

1 10 10

²

10

³

-60 -40 -20 0 20 40 G

dB

(ω) 60

ω

10

⁻¹

1 10 10

²

10

³

-135 -90 -45 0 45 90 135 φ(ω)

ω

(24)

Diagrammes de Bode

F(p) = (1+0.2p)² p(1+0.01p+0.0001p²)

10

⁻¹

1 10 10

²

10

³

-60 -40 -20 0 20 40 G

dB

(ω) 60

ω

10

⁻¹

1 10 10

²

10

³

-135 -90 -45 0 45 90 135 φ(ω)

ω

(25)

Diagrammes de Bode

F(p) = (1+0.2p)² p(1+0.01p+0.0001p²)

10

⁻¹

1 10 10

²

10

³

-60 -40 -20 0 20 40 G

dB

(ω) 60

ω

10

⁻¹

1 10 10

²

10

³

-135 -90 -45 0 45 90 135 φ(ω)

ω

(26)

Diagrammes de Bode

F(p) = (1+0.2p)² p(1+0.01p+0.0001p²)

10

⁻¹

1 10 10

²

10

³

-60 -40 -20 0 20 40 G

dB

(ω) 60

ω

10

⁻¹

1 10 10

²

10

³

-135 -90 -45 0 45 90 135 φ(ω)

ω

(27)

Diagrammes de Bode

F(p) = (1+0.2p)² p(1+0.01p+0.0001p²)

10

⁻¹

1 10 10

²

10

³

-60 -40 -20 0 20 40 G

dB

(ω) 60

ω

10

⁻¹

1 10 10

²

10

³

-135 -90 -45 0 45 90 135 φ(ω)

ω

(28)

Diagrammes de Bode

F(p) = (1+0.2p)² p(1+0.01p+0.0001p²)

10

⁻¹

1 10 10

²

10

³

-60 -40 -20 0 20 40 G

dB

(ω) 60

ω

10

⁻¹

1 10 10

²

10

³

-135 -90 -45 0 45 90 135 φ(ω)

ω

(29)

Diagrammes de Bode

F(p) = (1+0.2p)² p(1+0.01p+0.0001p²)

10

⁻¹

1 10 10

²

10

³

-60 -40 -20 0 20 40 G

dB

(ω) 60

ω

10

⁻¹

1 10 10

²

10

³

-135 -90 -45 0 45 90 135 φ(ω)

ω

(30)

Diagrammes de Bode

F(p) = (1+0.2p)² p(1+0.01p+0.0001p²)

10

⁻¹

1 10 10

²

10

³

-60 -40 -20 0 20 40 G

dB

(ω) 60

ω

10

⁻¹

1 10 10

²

10

³

-135 -90 -45 0 45 90 135 φ(ω)

ω

(31)

Diagrammes de Bode

F(p) = (1+0.2p)² p(1+0.01p+0.0001p²)

10

⁻¹

1 10 10

²

10

³

-60 -40 -20 0 20 40 G

dB

(ω) 60

ω

10

⁻¹

1 10 10

²

10

³

-135 -90 -45 0 45 90 135 φ(ω)

ω

(32)

Diagrammes de Bode

F(p) = (1+0.2p)² p(1+0.01p+0.0001p²)

10

⁻¹

1 10 10

²

10

³

-60 -40 -20 0 20 40 G

dB

(ω) 60

ω

10

⁻¹

1 10 10

²

10

³

-135 -90 -45 0 45 90 135 φ(ω)

ω

(33)

Diagrammes de Bode

F(p) = (1+0.2p)² p(1+0.01p+0.0001p²)

10

⁻¹

1 10 10

²

10

³

-60 -40 -20 0 20 40 G

dB

(ω) 60

ω

10

⁻¹

1 10 10

²

10

³

-135 -90 -45 0 45 90 135 φ(ω)

ω

(34)

Diagrammes de Bode

F(p) = (1+0.2p)² p(1+0.01p+0.0001p²)

10

⁻¹

1 10 10

²

10

³

-60 -40 -20 0 20 40 G

dB

(ω) 60

ω

10

⁻¹

1 10 10

²

10

³

-135 -90 -45 0 45 90 135 φ(ω)

ω

(35)

Positionnement d’une antenne satellite

Sommaire

1 Analyse de courbes

2 Diagrammes de Bode

3 Positionnement d’une antenne satellite Enoncé

Etude du système avec correcteur proportionnel Etude du système avec correcteur proportionnel-dérivé

4 Gouverne de profondeur

(36)

Positionnement d’une antenne satellite Enoncé

Positionnement d’une antenne satellite

(37)

Positionnement d’une antenne satellite

Une antenne parabolique permet sur un satellite l’échange d’infor- mations avec la terre. Cette antenne doit être précisément orientée vers les antennes sur terre. A cette fin, deux moteurs asservis en position assurent l’orientation angulaire. On se propose d’étudier l’un des asservissements.

Le système est piloté par une tension de consigne U _c et assure une position angulaire θ de l’antenne.

Le comportement du moteur est modélisé par une fonction de transfert du premier ordre de gain K _m = 11 rad/s/V et de constante de temps τ m = 5 ms.

(38)

Positionnement d’une antenne satellite

Une antenne parabolique permet sur un satellite l’échange d’infor- mations avec la terre. Cette antenne doit être précisément orientée vers les antennes sur terre. A cette fin, deux moteurs asservis en position assurent l’orientation angulaire. On se propose d’étudier l’un des asservissements.

Le système est piloté par une tension de consigne U _c et assure une position angulaire θ de l’antenne.

Le comportement du moteur est modélisé par une fonction de transfert du premier ordre de gain K _m = 11 rad/s/V et de constante de temps τ m = 5 ms.

(39)

Positionnement d’une antenne satellite

Une antenne parabolique permet sur un satellite l’échange d’infor- mations avec la terre. Cette antenne doit être précisément orientée vers les antennes sur terre. A cette fin, deux moteurs asservis en position assurent l’orientation angulaire. On se propose d’étudier l’un des asservissements.

Le système est piloté par une tension de consigne U _c et assure une position angulaire θ de l’antenne.

Le comportement du moteur est modélisé par une fonction de transfert du premier ordre de gain K _m = 11 rad/s/V et de constante de temps τ m = 5 ms.

(40)

Il est commandé par une tension U _m fournie par un amplificateur et admet en sortie la vitesse de rotation θ. L’amplificateur est modélisé ˙ par une fonction de transfert du premier ordre de gain K _A = 50 et de constante de temps τ _A = 0.5 ms. Il est commandé par une tension V .

Un correcteur de fonction de transfert C(p) est placé en amont de l’am- plificateur et adapte la tension ε en une tension V pour commander l’amplificateur.

Un capteur de gain K _c = 2 V/rad assure la chaîne de retour en mesu- rant θ et fournie une tension e. La mesure est comparée à la consigne U c tel que ε = U c − e.

(41)

Il est commandé par une tension U _m fournie par un amplificateur et admet en sortie la vitesse de rotation θ. L’amplificateur est modélisé ˙ par une fonction de transfert du premier ordre de gain K _A = 50 et de constante de temps τ _A = 0.5 ms. Il est commandé par une tension V . Un correcteur de fonction de transfert C(p) est placé en amont de l’am- plificateur et adapte la tension ε en une tension V pour commander l’amplificateur.

Un capteur de gain K _c = 2 V/rad assure la chaîne de retour en mesu- rant θ et fournie une tension e. La mesure est comparée à la consigne U c tel que ε = U c − e.

(42)

Il est commandé par une tension U _m fournie par un amplificateur et admet en sortie la vitesse de rotation θ. L’amplificateur est modélisé ˙ par une fonction de transfert du premier ordre de gain K _A = 50 et de constante de temps τ _A = 0.5 ms. Il est commandé par une tension V . Un correcteur de fonction de transfert C(p) est placé en amont de l’am- plificateur et adapte la tension ε en une tension V pour commander l’amplificateur.

Un capteur de gain K _c = 2 V/rad assure la chaîne de retour en mesu- rant θ et fournie une tension e. La mesure est comparée à la consigne U c tel que ε = U c − e.

(43)

Positionnement d’une antenne satellite Etude du système avec correcteur proportionnel

Etude du système avec correcteur proportionnel

Q - 5 : Tracer le schéma bloc du système.

Traduction de l’énoncé

(44)

• L’entrée est U

_c

(p) et la sortie Θ(p)

• Comportement du moteur

K

_m

1 + τ

m

p

U

m

(p) pΘ(p)

• Amplificateur

K

A

1 + τ

A

p

V (p) U

_m

(p)

• Correcteur

ε(p) C(p) V (p)

• Capteur de gain

K

c

θ(p) E(p)

• Comparateur + − U

_c

(p) ε(p)

E(p)

(45)

• L’entrée est U

_c

(p) et la sortie Θ(p)

• Comportement du moteur

K

_m

1 + τ

m

p

U

m

(p) pΘ(p)

• Amplificateur

K

A

1 + τ

A

p

V (p) U

_m

(p)

• Correcteur

ε(p) C(p) V (p)

• Capteur de gain

K

c

θ(p) E(p)

• Comparateur + − U

_c

(p) ε(p)

E(p)

(46)

• L’entrée est U

_c

(p) et la sortie Θ(p)

• Comportement du moteur

K

_m

1 + τ

m

p

U

m

(p) pΘ(p)

• Amplificateur

K

A

1 + τ

A

p

V (p) U

_m

(p)

• Correcteur

ε(p) C(p) V (p)

• Capteur de gain

K

c

θ(p) E(p)

• Comparateur + − U

_c

(p) ε(p)

E(p)

(47)

• L’entrée est U

_c

(p) et la sortie Θ(p)

• Comportement du moteur

K

_m

1 + τ

m

p

U

m

(p) pΘ(p)

• Amplificateur

K

A

1 + τ

A

p

V (p) U

_m

(p)

• Correcteur

ε(p) C(p) V (p)

• Capteur de gain

K

c

θ(p) E(p)

• Comparateur + − U

_c

(p) ε(p)

E(p)

(48)

• L’entrée est U

_c

(p) et la sortie Θ(p)

• Comportement du moteur

K

_m

1 + τ

m

p

U

m

(p) pΘ(p)

• Amplificateur

K

A

1 + τ

A

p

V (p) U

_m

(p)

• Correcteur

ε(p) C(p) V (p)

• Capteur de gain

K

c

θ(p) E(p)

• Comparateur + − U

_c

(p) ε(p)

E(p)

(49)

• L’entrée est U

_c

(p) et la sortie Θ(p)

• Comportement du moteur

K

_m

1 + τ

m

p

U

m

(p) pΘ(p)

• Amplificateur

K

A

1 + τ

A

p

V (p) U

_m

(p)

• Correcteur

ε(p) C(p) V (p)

• Capteur de gain

K

c

θ(p) E(p)

• Comparateur + − U

_c

(p) ε(p)

E(p)

(50)

Schéma bloc

+ −

U

c

(p)

ε(p) C(p) K

A

1 + τ

A

p

V (p) K

m

1 + τ

m

p

U

m

(p) 1

p

pΘ(p) Θ(p)

K

c

E(p)

(51)

Schéma bloc

+ − U

c

(p)

ε(p) C(p) K

A

1 + τ

A

p

V (p) K

m

1 + τ

m

p

U

m

(p) 1

p

pΘ(p) Θ(p)

K

c

E(p)

(52)

Schéma bloc

+ − U

c

(p)

C(p)

ε(p) K

A

1 + τ

A

p

V (p) K

m

1 + τ

m

p

U

m

(p) 1

p

pΘ(p) Θ(p)

K

c

E(p)

(53)

Schéma bloc

+ − U

c

(p)

ε(p) C(p)

K

A

1 + τ

A

p

V (p) K

m

1 + τ

m

p

U

m

(p) 1

p

pΘ(p) Θ(p)

K

c

E(p)

(54)

Schéma bloc

+ − U

c

(p)

ε(p) C(p) K

A

1 + τ

A

p

V (p) K

m

1 + τ

m

p

U

m

(p) 1

p

pΘ(p) Θ(p)

K

c

E(p)

(55)

Schéma bloc

+ − U

c

(p)

ε(p) C(p) K

A

1 + τ

A

p V (p)

K

m

1 + τ

m

p

U

m

(p) 1

p

pΘ(p) Θ(p)

K

c

E(p)

(56)

Schéma bloc

+ − U

c

(p)

ε(p) C(p) K

A

1 + τ

A

p

V (p) K

m

1 + τ

m

p

U

m

(p) 1

p

pΘ(p) Θ(p)

K

c

E(p)

(57)

Schéma bloc

+ − U

c

(p)

ε(p) C(p) K

A

1 + τ

A

p

V (p) K

m

1 + τ

m

p U

m

(p)

p 1

pΘ(p) Θ(p)

K

c

E(p)

(58)

Schéma bloc

+ − U

c

(p)

ε(p) C(p) K

A

1 + τ

A

p

V (p) K

m

1 + τ

m

p

U

m

(p) 1

p

pΘ(p) Θ(p)

K

c

E(p)

(59)

Schéma bloc

+ − U

c

(p)

ε(p) C(p) K

A

1 + τ

A

p

V (p) K

m

1 + τ

m

p

U

m

(p) 1

p pΘ(p)

Θ(p)

K

c

E(p)

(60)

Schéma bloc

+ − U

c

(p)

ε(p) C(p) K

A

1 + τ

A

p

V (p) K

m

1 + τ

m

p

U

m

(p) 1

p

pΘ(p) Θ(p)

K

c

E(p)

(61)

Schéma bloc

+ − U

c

(p)

ε(p) C(p) K

A

1 + τ

A

p

V (p) K

m

1 + τ

m

p

U

m

(p) 1

p

pΘ(p) Θ(p)

K

c

E(p)

(62)

Schéma bloc

+ − U

c

(p)

ε(p) C(p) K

A

1 + τ

A

p

V (p) K

m

1 + τ

m

p

U

m

(p) 1

p

pΘ(p) Θ(p)

K

c

E(p)

(63)

Schéma bloc

+ − U

c

(p)

ε(p) C(p) K

A

1 + τ

A

p

V (p) K

m

1 + τ

m

p

U

m

(p) 1

p

pΘ(p) Θ(p)

K

c

E(p)

(64)

Q - 6 : Calculer la fonction de transfert en boucle ouverte puis la fonction de transfert en boucle fermée pour un correcteur proportionnel : C(p) = K _P .

Fonction de transfert en boucle ouverte FTBO(p) = K p . K _A

1 + τ _A p . K m

1 + τ _m p . 1 p .K c

= K _p K _A K _m K _c p(1 + τ _A p)(1 + τ m p)

(65)

Fonction de transfert en boucle fermée FTBF (p) = FTBO(p)/K c

1 + FTBO(p)

=

K _p K _A K _m p(1 + τ _A p)(1 + τ _m p) 1 + K _c K _p K _A K _m

p(1 + τ A p)(1 + τ m p)

= K _p K _A K _m

p(1 + τ _A p)(1 + τ m p) + K c K p K _A K m

(66)

Q - 7 : Tracer les diagrammes de Bode asymptotiques de la fonction de transfert en boucle ouverte pour K _P = 1, K _P = 2 et K _P = 4.

Les diagrammes de Bode sont au nombre de 2. Un pour représenter le gain de la fonction de transfert, l’autre pour la phase.

(67)

Diagramme de gain G _dB (ω) = 20 log

FTBO(jω)

= 20 log

K _p K _A K _m K _c jω(1 + τ _A jω)(1 + τ _m jω)

!

= 20 log

K _p K _A K _m K _c

− 20 log (ω) . . . . . . − 20 log

q

1 + τ ² _A ω ²

− 20 log q

1 + τ ² _m ω ²

!

(68)

Diagramme de phase

ϕ(ω) = arg (H (jω))

= arg K _p K _A K _m K _c jω(1 + τ _A jω)(1 + τ _m jω)

!

= − π

2 − arctan(τ _A ω) − arctan(τ m ω)

Les constantes de temps associées à ce schéma bloc sont τ _A et τ m qui nous procurent les pulsations

ω _A = 1

τ _A = 1

0.0005 = 2000 rad/s

ω m = 1

τ _m = 1

0.005 = 200 rad/s

(69)

10

⁻¹

1 10 10

²

10

³

10

⁴

10

⁵

10

⁶

-120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 G

dB

100 (ω)

ω

(70)

10

⁻¹

1 10 10

²

10

³

10

⁴

10

⁵

10

⁶

-120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 G

dB

100 (ω)

ω

(71)

10

⁻¹

1 10 10

²

10

³

10

⁴

10

⁵

10

⁶

-120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 G

dB

100 (ω)

ω

(72)

10

⁻¹

1 10 10

²

10

³

10

⁴

10

⁵

10

⁶

-120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 G

dB

100 (ω)

ω

(73)

10

⁻¹

1 10 10

²

10

³

10

⁴

10

⁵

10

⁶

-120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 G

dB

100 (ω)

ω

(74)

10

⁻¹

1 10 10

²

10

³

10

⁴

10

⁵

10

⁶

-120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 G

dB

100 (ω)

ω

(75)

10

⁻¹

1 10 10

²

10

³

10

⁴

10

⁵

10

⁶

-120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 G

dB

100 (ω)

ω

(76)

10

⁻¹

1 10 10

²

10

³

10

⁴

10

⁵

10

⁶

-360 -270 -180 -90 0 φ(ω) 90

ω

(77)

10

⁻¹

1 10 10

²

10

³

10

⁴

10

⁵

10

⁶

-360 -270 -180 -90 0 φ(ω) 90

ω

(78)

10

⁻¹

1 10 10

²

10

³

10

⁴

10

⁵

10

⁶

-360 -270 -180 -90 0 φ(ω) 90

ω

(79)

10

⁻¹

1 10 10

²

10

³

10

⁴

10

⁵

10

⁶

-360 -270 -180 -90 0 φ(ω) 90

ω

(80)

10

⁻¹

1 10 10

²

10

³

10

⁴

10

⁵

10

⁶

-360 -270 -180 -90 0 φ(ω) 90

ω

(81)

10

⁻¹

1 10 10

²

10

³

10

⁴

10

⁵

10

⁶

-360 -270 -180 -90 0 φ(ω) 90

ω

(82)

10

⁻¹

1 10 10

²

10

³

10

⁴

10

⁵

10

⁶

-120 -80 -40 0 40 G

dB

(ω) 80

ω

10

⁻¹

1 10 10

²

10

³

10

⁴

10

⁵

10

⁶

-360 -270 -180 -90 0 φ(ω) 90

ω

(83)

Positionnement d’une antenne satellite Etude du système avec correcteur proportionnel-dérivé

Etude du système avec correcteur proportionnel-dérivé

On choisit d’utiliser un correcteur proportionnel-dérivé : C(p) = K P + K D .p où K P = 4 et K D = 0.01.

Q - 4 : Tracer le diagramme de Bode asymptotique du correcteur.

1 10 10

²

10

³

10

⁴

10

⁵

10

⁶

-20 0 20 40 60 G

dB

(ω) 80

ω

1 10 10

²

10

³

10

⁴

10

⁵

10

⁶

-90 -0 90 φ(ω) 180

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 4 - CI-2-3 Année 2020 - 2021

ω

31 / 50

(84)

Q - 5 : Tracer le diagramme de Bode asymptotique du système en boucle ouverte avec le correction proportionnelle-dérivée.

1 10 10

²

10

³

10

⁴

10

⁵

10

⁶

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 G

dB

(ω) 80

ω

1 10 10

²

10

³

10

⁴

10

⁵

10

⁶

-90 -0 90 φ(ω) 180

ω

(85)

Q - 5 : Tracer le diagramme de Bode asymptotique du système en boucle ouverte avec le correction proportionnelle-dérivée.

1 10 10

²

10

³

10

⁴

10

⁵

10

⁶

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 G

dB

(ω) 80

ω

1 10 10

²

10

³

10

⁴

10

⁵

10

⁶

-90 -0 90 φ(ω) 180

ω

(86)

Q - 5 : Tracer le diagramme de Bode asymptotique du système en boucle ouverte avec le correction proportionnelle-dérivée.

1 10 10

²

10

³

10

⁴

10

⁵

10

⁶

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 G

dB

(ω) 80

ω

1 10 10

²

10

³

10

⁴

10

⁵

10

⁶

-90 -0 90 φ(ω) 180

ω

(87)

Q - 5 : Tracer le diagramme de Bode asymptotique du système en boucle ouverte avec le correction proportionnelle-dérivée.

1 10 10

²

10

³

10

⁴

10

⁵

10

⁶

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 G

dB

(ω) 80

ω

1 10 10

²

10

³

10

⁴

10

⁵

10

⁶

-90 -0 90 φ(ω) 180

ω

(88)

Q - 5 : Tracer le diagramme de Bode asymptotique du système en boucle ouverte avec le correction proportionnelle-dérivée.

1 10 10

²

10

³

10

⁴

10

⁵

10

⁶

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 G

dB

(ω) 80

ω

1 10 10

²

10

³

10

⁴

10

⁵

10

⁶

-90 -0 90 φ(ω) 180

ω

(89)

Q - 5 : Tracer le diagramme de Bode asymptotique du système en boucle ouverte avec le correction proportionnelle-dérivée.

1 10 10

²

10

³

10

⁴

10

⁵

10

⁶

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 G

dB

(ω) 80

ω

1 10 10

²

10

³

10

⁴

10

⁵

10

⁶

-90 -0 90 φ(ω) 180

ω

(90)

Gouverne de profondeur

Sommaire

1 Analyse de courbes

2 Diagrammes de Bode

3 Positionnement d’une antenne satellite

4 Gouverne de profondeur

(91)

(92)

On s’intéresse à la commande asservie de la gouverne de profondeur d’un avion de ligne long courrier de type Airbus A-340. La gouverne de profondeur de cet avion est la petite aile située à l’arrière, qui permet au pilote de cabrer ou piquer le nez de l’avion.

Le système mécanique est le suivant :

(93)

Le pilote donne une consigne d’angle θ p (t) par l’intermédiaire du manche de pilotage. Si l’angle de la gouverne de profondeur θ g (t) est différent de θ _p (t), le moteur électrique reçoit en entrée une tension u _M (t), et il se met à tourner d’un angle θ M (t), ce qui provoque un al- longement de la distance (AB), inclinant la gouverne de profondeur, jusqu’à ce que θ _g (t) tende vers θ _p (t). Le fonctionnement du moteur est régi par l’équation différentielle :

τ _M . d

dt θ _M (t) + θ _M (t) = K _M .u _M (t) avec K _M = 2 rad/V et τ _m = 0.1 s

(94)

Q - 1: A partir de l’équation différentielle ci-dessus, déterminer la fonction de transfert H(p) = Θ M (p)

U M (p) sous forme littérale (Condi- tions initiales nulles).

τ _M . d

dt θ _M (t) + θ _M (t) = K _M .u _M (t)

⇒ τ _M .p.Θ _M (p) + Θ _M (p) = K _M .U _M (p)

⇒ H(p) = Θ _M (p)

U _M (p) = K _M 1 + τ M .p

(95)

Q - 1: A partir de l’équation différentielle ci-dessus, déterminer la fonction de transfert H(p) = Θ M (p)

U M (p) sous forme littérale (Condi- tions initiales nulles).

τ M . d

dt θ M (t) + θ M (t) = K _M .u M (t)

⇒ τ _M .p.Θ _M (p) + Θ _M (p) = K _M .U _M (p)

⇒ H(p) = Θ _M (p)

U _M (p) = K _M 1 + τ M .p

(96)

Q - 1: A partir de l’équation différentielle ci-dessus, déterminer la fonction de transfert H(p) = Θ M (p)

U M (p) sous forme littérale (Condi- tions initiales nulles).

τ M . d

dt θ M (t) + θ M (t) = K _M .u M (t)

⇒ τ _M .p.Θ _M (p) + Θ _M (p) = K _M .U _M (p)

⇒ H(p) = Θ _M (p)

U _M (p) = K _M 1 + τ M .p

(97)

Q - 2: Calculer θ _M (t) pour une entrée en échelon unitaire u _M (t).

θ _M (t) = L ⁻¹ [Θ _M (p)] = L ⁻¹ [H(p).U _M (p)] = L ⁻¹

" K _M 1 + τ _M .p . 1

p

#

= K _M .L ⁻¹

"

− τ _M

1 + τ _M .p + 1 p

#

= K _M .L ⁻¹



 

  1

p − 1 p + 1

τ _M



 

 

= K _M .

1 − e ^−t/τ

^M

(98)

Q - 2: Calculer θ _M (t) pour une entrée en échelon unitaire u _M (t).

θ _M (t) = L ⁻¹ [Θ _M (p)] = L ⁻¹ [H(p).U _M (p)] = L ⁻¹

"

K _M 1 + τ _M .p . 1

p

#

= K _M .L ⁻¹

"

− τ _M

1 + τ _M .p + 1 p

#

= K _M .L ⁻¹



 

  1

p − 1 p + 1

τ _M



 

 

= K _M .

1 − e ^−t/τ

^M

(99)

Le schéma bloc du mécanisme d’orientation de la gouverne est le suivant (la fonction de transfert H(p) y a été intégrée) :

+ − Θ p (p)

ε(p) C(p)

U _M (p) G(p) Θ g (p)

(100)

C(p) est la fonction de transfert d’un correcteur. G(p) ( , H(p) mais contenant H(p)) est la fonction de transfert du moteur et du mécanisme de transformation de mouvement.

Q - 3: Déterminer la fonction de transfert H _T (p) = Θ _g (p) Θ p (p) en fonction de C(p) et de G(p).

H _T (p) = Θ g (p)

Θ _p (p) = C(p).G(p) 1 + C(p).G(p) ou bien:

Θ g (p) = G(p).C(p). h

Θ p (p) − Θ g (p) i

⇒ [1 + G(p).C(p)] .Θ _g (p) = G(p).C(p).Θ _p (p) d’où le résultat précédent.

(101)

C(p) est la fonction de transfert d’un correcteur. G(p) ( , H(p) mais contenant H(p)) est la fonction de transfert du moteur et du mécanisme de transformation de mouvement.

Q - 3: Déterminer la fonction de transfert H _T (p) = Θ _g (p) Θ p (p) en fonction de C(p) et de G(p).

H _T (p) = Θ g (p)

Θ p (p) = C(p).G(p) 1 + C(p).G(p)

ou bien:

Θ g (p) = G(p).C(p). h

Θ p (p) − Θ g (p) i

⇒ [1 + G(p).C(p)] .Θ _g (p) = G(p).C(p).Θ _p (p) d’où le résultat précédent.

(102)

C(p) est la fonction de transfert d’un correcteur. G(p) ( , H(p) mais contenant H(p)) est la fonction de transfert du moteur et du mécanisme de transformation de mouvement.

Q - 3: Déterminer la fonction de transfert H _T (p) = Θ _g (p) Θ p (p) en fonction de C(p) et de G(p).

H _T (p) = Θ g (p)

Θ p (p) = C(p).G(p) 1 + C(p).G(p) ou bien:

Θ g (p) = G(p).C(p). h

Θ p (p) − Θ g (p) i

⇒ [1 + G(p).C(p)] .Θ _g (p) = G(p).C(p).Θ _p (p) d’où le résultat précédent.

(103)

On suppose C(p) = C (constante en V/rad) et G(p) = K _G

1 + τ _G .p . avec K _G = 0.2 V/rad et τ _G = 0.1 s.

Q - 4: Déterminer le type (1 ^er ordre, 2 ^nd ordre. . . ) et les ca- ractéristiques (gain statique, constante de temps,ou amortisse- ment,. . . ) de H _T (p) en fonction de C.

(104)

Q - 5: Pour un système du premier ordre de constante de temps τ, quel est le temps de réponse à 5% ?

Q - 6: On veut un temps de réponse à 5% de 100 ms. Déterminer la valeur de C.

Q - 7: Pour cette valeur de C (faire d’abord l’application littérale), Déterminer E _rr−S = lim

t7→∞ θ g (t) − θ p (t) pour une entrée θ p (t) en échelon unitaire (Penser à passer dans le domaine de Laplace).

Q - 8: Conclure quant à la capacité de la gouverne de profondeur à suivre les commandes du pilote.

(105)

On suppose C(p) = C

p (C constant en V.s/rad) et G(p) = K _G 1 + τ _G .p . avec K _G = 0.2 V/rad et τ _G = 0.1 s.

Q - 9: Montrer que H _T (p) se met sous la forme H _T (p) = K

1 + 2.ξ

ω ₀ .p + p ² ω ² ₀

. Déterminer K , ω ₀ et ξ en fonction de C

H _T (p) = Θ g (p)

Θ p (p) = C(p).G(p) 1 + C(p).G(p) =

C p . K _G

1 + τ _G .p 1 + C

p . K _G 1 + τ _G .p

= C.K _G

p.(1 + τ _G .p) + C.K _G = 1 1 + 1

C.K _G .p + τ _G C.K _G .p ²

(106)

On suppose C(p) = C

p (C constant en V.s/rad) et G(p) = K _G 1 + τ _G .p . avec K _G = 0.2 V/rad et τ _G = 0.1 s.

Q - 9: Montrer que H _T (p) se met sous la forme H _T (p) = K

1 + 2.ξ

ω ₀ .p + p ² ω ² ₀

. Déterminer K , ω ₀ et ξ en fonction de C

H _T (p) = Θ g (p)

Θ p (p) = C(p).G(p) 1 + C(p).G(p) =

C p . K _G

1 + τ _G .p 1 + C

p . K _G 1 + τ _G .p

= C.K _G

p.(1 + τ _G .p) + C.K _G = 1 1 + 1

C.K _G .p + τ _G C.K _G .p ²

(107)

⇒ K = 1 ; ω ₀ =

s C.K _G

τ _G et ξ = ω ₀ 2 . 1

C.K _G = 1

2. p

C.K _G .τ _G

(108)

Q - 10: On veut un temps de réponse à 5% minimum mais sans dépassement, donc d’après votre cours, on cherche à obtenir ξ = 1. Déterminer C et en déduire les valeurs numériques des caractéristiques de H _T (p).

Pour obtenir un temps de réponse à 5% minimum mais sans dépasse- ment, il faut prendre ξ = 1, d’où :

ξ = 1 = 1

2. p

C.K _G .τ _G ⇒



 



 



C = 1

4.K _G .τ _G = 1

4 × 0, 2 × 0, 1 = 12, 5 V/s ω ₀ =

r 12, 5 × 0, 2

0, 1 = 5 rad/s et K = 1

(109)

Q - 10: On veut un temps de réponse à 5% minimum mais sans dépassement, donc d’après votre cours, on cherche à obtenir ξ = 1. Déterminer C et en déduire les valeurs numériques des caractéristiques de H _T (p).

Td 4 - CI-2-3: Prévoir les réponses temporelles et fréquentielles d’un système du premier ou second ordre

Td 4 - CI-2-3:

Prévoir les réponses temporelles et fréquentielles d’un système du premier ou second ordre

CI-2

Modéliser et simuler les systèmes linéaires continus invariants.

L

C

(D

), 2020 - 2021

Germain Gondor

Sommaire

1 Analyse de courbes

2 Diagrammes de Bode

3 Positionnement d’une antenne satellite

4 Gouverne de profondeur

Sommaire

1 Analyse de courbes Equations

Toutes les courbes

2 Diagrammes de Bode

3 Positionnement d’une antenne satellite

4 Gouverne de profondeur

Q - 1 : Associer à chacune des 10 courbes suivantes (repérées par les chiffres 1 à 10) le modèle qui convient en le choisissant parmi ceux proposés (repérés par les lettres A à J). Il s’agit des réponses à échelon e(t) = 2.u(t).

Toutes les courbes

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 2 3 4 5

Sommaire

1 Analyse de courbes

2 Diagrammes de Bode

Correcteur à retard de phase

Etude d’une fonction de transfert: F (p) = (1 + 0.2p)

p(1 + 0.01p + 0.0001p

)

3 Positionnement d’une antenne satellite

4 Gouverne de profondeur

Correcteur à retard de phase

On souhaite faire une étude fréquentielle du correcteur à retard de phase

C(p) = 1 + τ.p

1 + α.τ.p avec α = 5 et τ = 2s

Q - 2 : Déterminer le diagramme de Bode asymptotique du correc- teur puis tracer le diagramme de Bode en calculant quelques points.

Etude du gain

G dB = 20. log C(j.ω)

= 20. log

1 + j.τ.ω 1 + j.α.τ.ω

!

= 20. log (|1 + j.τ.ω|) − 20. log (|1 + j.α.τ.ω|)

= 20 log p

1 + τ 2 .ω 2

− 20 log p

1 + α 2 .τ 2 .ω 2 On associe alors deux pulsations ω n et ω d , telle que:

ω n = 1

τ = 0.5 rad/s et ω d = 1

ατ = 0.1 rad/s

10 −2 10 −1 1 10 10 2

-60 -40 -20 0 20 40 G dB (ω) 60

ω

10 −2 10 −1 1 10 10 2

-60 -40 -20 0 20 40 G dB (ω) 60

ω

10 −2 10 −1 1 10 10 2

-60 -40 -20 0 20 40 G dB (ω) 60

ω

10 −2 10 −1 1 10 10 2

-60 -40 -20 0 20 40 G dB (ω) 60

ω

10 −2 10 −1 1 10 10 2

-60 -40 -20 0 20 40 G dB (ω) 60

ω

Etude de la phase

Φ(ω) = arg (C(j.ω)) = arg 1 + j.τ.ω 1 + j.α.τ.ω

!

= arg (1 + j.τ.ω) − arg (1 + j.α.τ.ω)

= arctan (τ.ω) − arctan (α.τ.ω)

10 −2 10 −1 1 10 10 2

-135 -90 -45 0 45 90 φ(ω) 135

ω

10 −2 10 −1 1 10 10 2

-135 -90 -45 0 45 90 φ(ω) 135

ω

10 −2 10 −1 1 10 10 2

-135 -90 -45 0 45 90 φ(ω) 135

G _dB = 20. log C(j.ω)

1 + τ ² .ω ²

1 + α ² .τ ² .ω ² On associe alors deux pulsations ω _n et ω _d , telle que:

10 ⁻² 10 ⁻¹ 1 10 10 ²

-60 -40 -20 0 20 40 G _dB (ω) 60

10 ⁻² 10 ⁻¹ 1 10 10 ²

-60 -40 -20 0 20 40 G _dB (ω) 60

10 ⁻² 10 ⁻¹ 1 10 10 ²

-60 -40 -20 0 20 40 G _dB (ω) 60

10 ⁻² 10 ⁻¹ 1 10 10 ²

-60 -40 -20 0 20 40 G _dB (ω) 60

10 ⁻² 10 ⁻¹ 1 10 10 ²

-60 -40 -20 0 20 40 G _dB (ω) 60

10 ⁻² 10 ⁻¹ 1 10 10 ²

10 ⁻² 10 ⁻¹ 1 10 10 ²

10 ⁻² 10 ⁻¹ 1 10 10 ²

10 ⁻² 10 ⁻¹ 1 10 10 ²

10 ⁻² 10 ⁻¹ 1 10 10 ²