Un nouveau type de perturbation

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Un nouveau type de perturbation

Georges Allard

To cite this version:

UN NOUVEAU TYPE DE PERTURBATION

Par GEORGES ALLARD.

Sommaire.- En _{remarquant que le terme d’interaction proportionnel} au _{champ électromagnétique} proposé par Pauli et permettant de tenir compte d’un moment _{magnétique propre de} l’électron peut

être considéré comme _provenant du _produit vectoriel du vecteur _symbolique

p + e/c

A par lui-même,

on _{propose d’introduire} un terme _{pseudo-vectoriel} et un terme _{pseudo-scalaire} formés d’une façon

ana-logue. Dans le cas d’un champ coulombien, le terme _{pseudo-scalaire} est _{identiquement} nul, tandis

que le terme _{pseudo-vectoriel prend} une forme analogue à celle _qu’avaient introduite primiti-vement Uhlenbeck et Goudsmit dans la théorie de l’électron tournant. On développe un calcul de perturbations et l’on compare les résultats obtenus avec ceux de Lamb et Retherford.

LE JOURNAL PHYSIQUE ET LE RADIUM. TOME

_11,

DÉCEMBRE

Préliminaires.

- Nous

partirons

des

_équations

de

Dirac,

qui,

en l’absence

d’interactions,

s’écrivent

avec

Pour tenir

_compte

des

_{interactions,}

on se

_contente,

le

_plus

_souvent, de

_remplacer

les

_quantités

_p,, Pl’ P2’ Ps par

’

où U est le

_potentiel

scalaire, A t.,

Au

et

Az

les

compo-santes du

_potentiel

vecteur.

_Lorsque

le

_potentiel

vecteur est nul et le

_potentiel

scalaire un

potentiel

coulombien,

on obtient les

équations

bien connues

du

_problème

.de l’atome

_{d’hydrogène.}

Suivant une

_suggestion

de

Pauli,

Bethe,

puis

Breit,

ont introduit un autre

_type

d’interaction,

permettant

de tenir

_compte

d’un moment

magné-tique

propre des

particules.

On l’obtient en

_ajoutant

des termes

_{proportionnels}

aux

_composantes

du

_champ

électromagnétique

constitué par les

champs

élec-trique

E et

_magnétique

H,

dont l’ensemble constitue

un bivecteur au sens de la relativité restreinte. Pour conserver la covariance

relativiste,

il faut considérer une interaction

> (Er 1 « 1 «

+...) +

J.(H.’:CiCJ.2CJ.CJ.’.+...),

les termes non écrits se déduisant des

_précédents

_par

permutation

circulaire

_{et ii}

étant une constante. Introduction d’un nouveau

_type

d’interaction. - Le

premier

type

d’interaction étant de nature

vectorielle,

le second de nature

_{bivectorielle,}

nous

pouvons nous demander s’il ne serait pas

possible

d’introduire de nouveaux

_types

_{d’interactions,}

de

nature

_{pseudo-vectorielle}

ou

_{pseudo-scalaire.}

On

_peut

y

arriver,

avec le minimum

_{d’arbitraire,}

en

remar-quant

que les

champs électrique

et

magnétique

peuvent

être considérés comme résultant du

_produit

vectoriel du vecteur de

_composantes

zl, T2, 7!3’ 7! 0

par lui-même. On a, par

exemple,

et

Cela

_suggère

de considérer un

_{pseudo-vecteur}

dont

les

_composantes

seraient formées à

partir des

compo-santes du vecteur

_symbolique

z. La

_composante

suivant Ox _par

_exemple,

serait

En

_général,

les

_{quatre composantes}

seront

Dans le cas

particulier

où H = o et où E est un

647

champ

coulombien,

ce

_{pseudo-vecteur}

a _pour

compo-santes

Elles font

_apparaître

les

_composantes

_symboliques

du vecteur moment

_{d’impulsion;}

leur

_{transcription}

en

_Mécanique

_classique

est immédiate. Si v est le vecteur

vitesse,

on aurait un vecteur

_d’espace

proportionnel

au

_produit

vectoriel du vecteur r _par

le vecteur

vitesse,

assimilable _{par suite à} un

_champ

magnétique.

En

fait,

c’est à ,un vecteur propor-tionnel _{à P que} faisait

_appel

la théorie

_primitive

de l’électron tournant d’Uhlenbeck et Goudsmit.

Il est donc raisonnable d’admettre

_qu’une

interaction

pseudo-vectorielle proportionnelle

à P

_puisse

être à considérer.

On

_pourrait

_penser

_poursuivre

le

_procédé

et

intro-duire une interaction

_{pseudo-scalaire,}

mais on voit

aisément _{que le}

_{pseudo-scalaire}

_{que l’on}

_peut

former à

_partir

de n se réduit au

_produit

scalaire

_E.H,

qui,

dans le cas

_coulombien,

est nul. Il

_n’y

aurait

donc intérêt à considérer une telle

interaction

_que

si l’on tenait

_compte

du moment

_magnétique

_propre

des noyaux par

exemple.

Nous ne nous en _occuperons

pas’

ici.

Reprenons l’expression précédente

du vecteur P

dans le cas coulombien. On sait que,

_compte

tenu de

la rotation de

_Thomas,

on avait été conduit à admettre que

l’électron,

doué d’un moment

magné-t. es ’t .t 1 ’

d h ’

tique

20132013?

, était

placé

dans un

champ

magné-2moc

tique

ZP3

[r

X

_v].

Plus

_{généralement,}

en lui

attri-2 cr

buant un moment

_magnétique

Ij e fi-

_supposé

_dirigé

2moc

suivant

Oz,

l’énergie

magnétique

serait

Nous serons donc conduits à introduire une

_énergie

perturbatrice

pseudo-vectorielle

provenant

du

pseudo-vecteur

_4P,

c’est-à-dire à

_ajouter

aux

premiers

4n2pCL

membres des

_équations

de Dirac des

_expressions

Nous

_ajouterons

aussi une interaction de

_type

bivectorielle en

_ajoutant

des termes

analogue

au terme

_de

Pauli avec un moment

magné-tique

propre À ,

7 étant,

comme -fJ, un facteur ’

? _ln c

multiplicatif

sans dimensions.

Cas du

_champ

coulombien. - En

_posant

.

on verra aisément _{que les}

_quatre

_équations

défi-nissant les fonctions d’onde s’écrivent

On

_peut,

dans ces

_équations,

_séparer

la variable r

des solutions des deux

_types

en

_posant

où

les

Yl.nt

représentent,

comme

_{d’habitude,}

les

fonctions

_sphériques

de

_Laplace

normalisées et où

_f,

G,

g, F sont des fonctions

qui

satisfont aux

sys-tèmes suivants :

Ces

_équations

_présentent

une

_singularité

en $

et

ne _{sont donc pas}

_{intégrables.}

Nous pourrons faire

disparaître

cette

_singularité

en

_supposant,

_par

exemple,

que, au-dessous d’une valeur très

petite

ro, de l’ordre du rayon du

proton

par

exemple,

les

termes

_{perturbateurs}

en X

et -4

deviennent constants.

Calcul de

_{perturbation.}

- Prenons tout d’abord

les

_équations

en

_f

et G du

_type

_{(I). Lorsque}

k = n = _o,

ces

_équations

admettent des solutions connues _que nous

représenterons

_{par t 0} et

_Go

_pour une valeur

déterminée

_Wo

de

_{l’énergie. L’hypothèse}

faite sur

le

_comportement

des termes

_{perturbateurs}

dans le

domaine de

_l’origine

montre _que

₁

et G ne

doivent,

dans ce

_domaine,

différer de

_{f o}

et

_Go

_{que par} un

facteur

_{multiplicatif.}

Les termes

_{perturbateurs}

dispa-raissant très vite

_quand

r croît

indéfiniment,

_f

et G doivent tendre

_{asymptotiquement}

vers

_{f o}

et

_Go

à

l’infini. Nous sommes donc conduits à chercher des

solutions de la forme

u et v étant les fonctions inconnues

_qui

ne doivent pas croître indéfiniment tant à

_l’origine

_qu’à

l’infini.

Il sera commode de faire les

_changements

de notation suivants :

Les

_équations

en

_f

et G

_prennent

alors la forme

Nous introduirons maintenant les fonctions u et v

en

_supposant

que À

et n sont deux

_quantités

très

petites

du même ordre de

_grandeur,

ainsi _que u, v

et a et en

négligeant

les termes d’ordre

_supérieur

au

premier.

Compte

tenu des

_{équations auxquelles}

obéissent

_{f 0}

et

_Go,

et

_qui

sont les

_{précédentes}

où À == or¡ == 0

= _o, on obtient aisément

L’élimination

de

du

donne une

_équation

du

_premier

649

ordre cn v : -.

Posons

d’où

l’équation

en V devient

Comme V doit être nul à

_l’origine

et à l’infini

d’après

la condition que v a une valeur finie et la forme connue de

_Go

et

_10’

on éliminera V et, par

suite,

on déterminera à en

_intégrant

entre zéro et

l’infini,

ce

_qui

donne

ou

Bien que le

symbole

i

_apparaisse

dans cette

rela-tion, 8

est _{réel parce que}

_{f o}

est une

_imaginaire

_pure.

Les

_intégrales

ont un sens bien

_déterminé,

sauf la

dernière pour les états S où 1 = o et où

_{f o}

est de la

forme

_P(a),

_P(o)

étant un

poly-nome et

Ces termes mis à

_part,

les diverses

_intégrales

se

calculeront assez aisément

_grâce

aux _remarques

suivantes. On sait

_qu’en

_posant

les fonctions

_{f o}

et

_Go

sont reliées

_simplement

à la série

_{hypergéométrique}

confluente, et

_plus

préci-sément au cas où cette série

_dégénère

en un

poly-nome. On

_peut

_poser

n’ étant un nombre entier relié

,à

s 0 par

et au nombre

quantique principal n

_{par n’ ==n-l- 1.}

L,,(p)

représentant

un

_polynome

de

_Laguerre

géné-ralisé satisfaisant à

_{l’équation}

différentielle

et _{donné par}

On voit aisément que toutes les

_intégrales

_que nous aurons à calculer sont de la forme

où p vaut o, 2 ou 3.

_Lorsque

_p = _o, les

propriétés

d’orthogonalité

des

_polynomes

_L,, montrent _que cette

_intégrale

est nulle si

_{n g4}

m et _que

Lorsque

p n’est pas

nul,

nous _pouvons

_toujours

supposer que m--n. En

_remplaçant

L,n

par son

développement

on aura toute une suite

_{d’intégrales}

nulles

lorsque q > p

et il restera,

Pour les

_intégrales

restantes,

partons

de la fonc-tion

_{génératrice}

-1

d’où en identifiant

et,

par

suite,

Cela suppose naturellement p 2 _{y +} i.

Lorsque

2Y + I p 2Y + 2,

seul cas _que nous aurons à

considérer,

on devra considérer la

perturbation

comme constante

_jusqu’à

une _{valeur po, mais} on pourra

remplacer

po par zéro

chaque

fois

_qu’on

aura une

_intégrale

_convergente.

Tous les calculs

précédents

restent donc

_valables,

_{sauf pour}

qu’on

doit

_remplacer

_par

La

_première

_intégrale

_peut

se

_remplacer

_par

?y 1 -+ î

PO ’Y--l-1-P L,,

(o)

’et

pour la

seconde,

en

inté-grant

par parties

En utilisant la fonction

_{génératrice}

_pour

l’inté-grale

restante,

on aura, en

_définitive,

_pour

l’inté-grale

cherchée

Comme nous l’avons vu, nous n’aurons à considérer de

telles

_intégrales

_{que pour p}

_{= 3, l}

== _o,

y2

= I -

Z2 a2@

d’où p - 2y - 1 == Z2CX2. Si l’on _{suppose que ro} est

e"2

égal

au _{rayon du}

proton M C2’

on aura

Supposons,

pour

prendre

un cas

_{défavorable,}

que Avec

une bonne

approximation,

on _pourra

_remplacer

cette

quantité

par i. Il est alors aisé de voir que l’en-semble des deux derniers termes est de l’ordre de

Z2 OC2@

car

_{Ln (o) =}

r ( n -+- -( --[- 1)

et l’on pourra

écrire

Nous allons

_appliquer

ces divers résultats aux

inté-grales

qui

nous intéressent. On trouvera

Poux 1

o :

Comme il ne

s’agit

_{que de}

corrections,

on

_peut,

sauf

651

On en conclu

I,orsque

1 = o, la dernière

intégrale

se réduit à

Comme le terme

correctif en v sera

_négligeable

devant celui en À et l’on aura

:1

.

Passons maintenant aux solutions de

_type

_(II),

pour lesquelles on

_peut

faire des calculs semblables

à ceux

_qui

_précèdent.

Le même

_changement

de

notations ramènera les

_équations

en F

_{et g}

à

En conduisant le calcul de

_perturbation

comme

ci-dessus on arrivera à

On obtient les fonctions

_Fa

et _go en

_posant

avec

On voit alors aisément

_qu’on

_{passe de}

₁₀

à

_Fo

en

_changeant

_Eo en -

Eo et de

Go

à --- go par la

même substitution. Sans

_qu’il

soit nécessaire de

reprendre

les calculs en

_détail,

on voit

_qu’on

aura

pour l 0 :

pour 1 =

o :

Cas

_particulier.

-

Étudions

en

particulier

les niveaux L de

_{l’hydrogène,}

c’est-à-dire ceux _pour

lesquels

n = n’+ l + i = q.

Nous pouvons avoir les états

Pour Eoe on a,

_{quel que}

soit le

_type

L’écart

_a.

entre les valeurs

_{correspondant}

à 1 = o et 1 = _1, vaut

et l’on a

Nous avons donc à

_ajouter

les corrections

sui-vantes :

-Nous pouvons nous demander si des valeurs

convenables de À et -o

permettraient

d’interpréter

correctement les résultats de Lamb et Retherford. Il faudrait d’abord que les d

_{correspondant}

aux

états

_{P 1}

et

_P

soient

_égaux,

d’où

et ensuite _que la distance

_{8 Mo}

soit environ d’où

moment

_magnétique

propre bivectoriel

d’environ ’

Ho de

_magnéton

de Bohr et un

_{moment magnétique}

propre

pseudo-vectoriel d’environ I

₄ de

magnéton

de

Bohr,

mais

_dirigé

en sens inverse du

_précédent.

Il semble que ces valeurs soient

trop

élevées pour

pouvoir

être admises

_puisque

la valeur

_préconisée

par

Schwinger

est

On

_peut

_{d’ailleurs remarquer que la loi de} varia-tion de 6 avec Z

_(en

_Z4)

et

avec

n en n3)

est

analogue

à _{celle que prévoit} la théorie de Bethe. Manuscrit reçu le 23 juin ig5o.

CALCUL,

ENTRE

_0,1

MeV ET 8

MeV,

DE LA RELATION

ÉNERGIE-PARCOURS

DES

_PROTONS,

EN FONCTION DE LA COMPOSITION

CHIMIQUE

D’UNE

ÉMULSION PHOTOGRAPHIQUE.

CALCUL CORRESPONDANT POUR LES

DEUTONS,

LES

_TRITONS,

LES PARTICULES 03B1.

COMPARAISON AVEC LES MESURES

EXPÉRIMENTALES

DANS LE CAS DE

L’ÉMULSION

ILFORD C2. Par MAARTEN

BOGAARDT,

Natuurkundig

Laboratorium der

_{Rijks-Universiteit}

te

_Groningen,

Holland et LÉOPOLD

VIGNERON,

Laboratoire de Chimie nucléaire du

_Collège

de France, Paris.

Sommaire. - Pour calculer la

perte d’énergie, en fonction de l’énergie des _protons, au-dessous de o,6 MeV, on a utilisé les mesures _{expérimentales} récentes de ralentissement dans différents éléments, au-dessus de o,6 MeV, on a _appliqué la formule de Bethe en _{y introduisant les potentiels} d’ionisation expérimentalement déterminés par Mano.

Des courbes pour les deutons, tritons et _particules 03B1 ont été déduites de celle relative aux _protons.

Pour les protons, entre _0,1 et 5 MeV, et pour les 03B1, entre 2 et 13 _MeV, la courbe calculée pour

l’émulsion Ilford _C2 est en _parfait accord avec les déterminations expérimentales. Au-dessous de 2 MeV, il y a une faible _{divergence pour} les 03B1, due, soit à des erreurs des _{expérimentateurs,} soit à une

défail-lance encore _inexpliquée de la théorie du ralentissement des ions _par la matière _(1).

LE JOURNAL DE PHYSIQUE ET LE RADIUM. TOME

_11,

DÉCEMBRE

1. Choix d’une formule

_théorique

sur la

perte

d’énergie

des

_particules

dans la matière.

- Pour établir la courbe

énergie-parcours

relative à une

_particule

donnée dans un milieu ralentissant

donné,

on

_{dispose parfois}

de mesures

_{expérimentales}

du _{parcours pour diverses énergies.}

Une « courbe

expérimentale »

_peut

être

interpolée

entre ces

_points,

_par une formule

_empirique,

ou

mieux par une formule

_ayant

des

_{justifications}

théoriques.

Une formule de ce dernier

_type,

à

condition de

_{garder présentes}

à

_l’esprit

les limites de validité de la

_{théorie, permet,}

ce

_qui

est

_précieux,

d’extrapoler

la courbe

_{énergie-parcours}

en dehors

du domaine

_d’énergie

où ont été faites les

expé-riences

_{d’étalonnage.}

(1) Le _{présent travail expose et complète} la communi-cation verbale _que nous avons faite à la Conférence

Photo-graphique internationale _qui s’est tenue à Bristol, en mars ig5o [1].

Des considérations

_théoriques

_permettent

aussi de

_prévoir

les nouvelles relations

_{énergie-parcours}

si on «

_change

de milieu » ou si on «

change

de par-ticule o. L’existence de

_{phénomènes,}

_{tels que la}

perte

et la

_capture

d’électrons,

liés aux basses

énergies,

et dont une théorie satisfaisante n’a pas encore été

faite,

introduit,

dans ce dernier cas,

dans la formule de

transformation,

une constante

qui

doit être déterminée

_{expérimentalement.}

Geiger [2]

avait

_représenté

la relation

énergie-parcours pour les oc dans l’air _par la formule

empi-rique

Sans aucune

justification théorique,

cette formule ne

_permettait

_pas des

extrapolations

sûres,

elle

représentait plus

ou moins la variation

_progressive