Équations fondamentales du magnétisme induit, d'après Maxwell

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Submitted on 1 Jan 1881

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Équations fondamentales du magnétisme induit, d’après Maxwell

E. Bouty

To cite this version:

E. Bouty. Équations fondamentales du magnétisme induit, d’après Maxwell. J. Phys. Theor. Appl.,

1881, 10 (1), pp.284-294. �10.1051/jphystap:0188100100028401�. �jpa-00237790�

284

On

peut appliquer

^à la méthode de M.

M’ietlisbach,

presque

identique

^aBec celle de M.

Kohlrausch,

^{les mêmes}

critiques qu’à celle-ci,

^{sauf ce}

qui

^a

^rapport

^à

l’électrode namomètre :

^on

peut

surtout lui

reprocher

^{d’être basée sur des}

hypothèses,

^{de ne tenir}

aucun

compte

^{de la}

déperdition,

d’être détournée et restreinte dans ses

applications.

Le Nlémoire de 31. Wietlisbach renferme d’ailleurs des

déneloppements

intéressants ^sur les idées émises par CÂI. Maxwell et M. Helmholtz relativement à la

polarisation.

(A suivre.)

ÉQUATIONS FONDAMENTALES DU MAGNÉTISME INDUIT, D’APRÈS MAXWELL;

PAR M. E. BOUTY

1. Considérons un très

petit

aimant. AB dont les deux

pôles

^A

et B contiennent des

quantités

^de

magnétisme égales

^{à n? et sont}

séparés

par ^une distance cc. Le

potentiel produit

par ^cet aimant en un

point

^{P dont} les distances à ses deux

pôles

^{sont 1 et r’ est}

Soit -

l’angle

de la droite

OP, qui joint

^{le milieu de l’aimant au}

point ^P,

^avec la direction BA de l’axe

magnétique;

^{on a à la li-}

mite

ou, ^en

désignant

par M le ^moment

magnétique

^ma,

(’) ^{Pour faciliter au} lecteur l’intellignece du Memoire original de M. Greenhill,

nous avons cru devoir le faire preceder de la démonstration des théorèines fonda-

mentaux du magnétisme ⁱ induit. Nous empruntons ^les démonstrations à Maxwell, dont lI. Grcenhill adopte les notations.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:0188100100028401

285

II. Considérons un solide C aimanté dans ^{toute sa masse.} Cha-

cun des éléments de volume dans

lesquels

^on

peut

^le

décomposeur

peut

^{être considéré comme un aimant dontle}

moment magnétique

^M

est

proportionnel

^{au volume}

dx dy dz

^de

l’élément,

mais varie d’ailleurs d’une manière continue ^en

grandeur

^{et en direction avec}

les coordonnées _{x, J’, z du}

point 0,

^{centre de}

gravité

de l’élément.

On ^a

donc,

^en

désignant

par ^{1 une} fonction convenable de x, y, ^z,

1 est le moment

magnétique rapporte

^à l’unité de

1 olame,

^{ou l’iii-}

tensité cle l’ aimantation ^au

point

^0.

Le moment

magnétique

^{M et} par

conséquent

l’intensité 1 de l’aimantation

peuvent

^être

décomposés

^{suivant trois axes de coor-}

données ; désignons

par

),,

u, v les cosinus des

angles

^{de la direc-}

tion du moment

magnétique

^{avec les axes,} par

A, B,

C les compo-

santes de l’intensité

I ;

^{on a}

et

Ày

u, v ^sont des fonctions continues des

coordonnées x,

y,z du

point

^O.

Nous nous proposons de former le

potentiel

^{V au}

point ^P,

^pro-

venant de l’aimantation du solide C. L’élément

d V,

^{fourni au} po- tentiel par le volume ^clx

cly d z,

^est

Soient03BE ~, 03B6

les coordonnées du

point

^{P :}

Cette

expression

^{doit être}

intégrée

^en étendant les lirmites de

l’intégration

au ’ûlunlc entier du corps :

286

L’intégration

par

parties

^donne

Les trois

premières intégrales

doivent être étendues à la surface

entière,

la dernière ^au volume entier du corps.

Soient l,

n2, ⁿ les cosinus des

angles

que fait ^avec les axes la direction extérieure de la normale à la

surface;

^la

projection

^d’un

élément de surface dS sur le

plan des Jrz

^est

^ldS,

^{mais elle a aussi}

pour

expression dy dz ;

^{on a donc}

Posons

L’équation (2) devient d’après (3 ), (4)

^et

(5),

La valeur

(6)

^{de V est}

identique

^à celle que l’on obtiendrait ^en

supposant

que ^ce

potentiel provient

d’une double distribution ma-

bnétique,

^l’une

superficielle,

^{de densité ce, l’autre solide}

(c’est-à-

dire étendue à toute la

masse),

^de

densité 03C1.

^On

peut donc,

^au

point

de vue

analytique,

substituer à une distribution réelle

quelconque

de l’aimantation cette double distribution ficiive :

l’expression

^du

potentiel,

^et par

conséquent

celle de la force exercée par l’aimant

en un

point quelconque

^{extérieur à sa nlasse,} demeure la même.

III. La force provenant ^du

magnétisme

^{de C en tout}

point

^ex-

287 teneur à 1 aimant a pour

composantes

Pour déterminer la force en un

point

^{Intérieur à l’aimant, nous}

imaginerions qu on

^{creuse autour de ce}

point

^{une cavité de très} pe- tite

dimension,

^à l’intérieur de

laquelle

^nous supposerons

placé

^un

pôle magnétique égal

^à l’unité. La force

agissant

^{sur ce}

pôle

^dé-

pendra

^en

général

^{de la} forme de la cavité et de la direction de l’aimantation au

point

considéré. Il est donc nécessaire

d’indiquer

la furme et la

position

que l’on attribue ^{à cette}

cavité;

^cela

fait,

^la

force à

laquelle

^est soumis le

pôle

^{uni té}

peut

^{étre déterminée}

comme s’il était extérieur à l’aimallt.

Considérons d’abord ^une

portion

^{d’ un} aimant dans

lequel

^nous

supposerons l’aimanuation uniforme dans ^une certaine

région

^autour

du

point ^P,

^{d’où il}

^résulte, d’après l’équation (5),

que la

densité

de la distribution solide de

magnétisme

y ^est

nulle;

^{creusons dans}

cette

région

^{une cavité}

cylindrique,

^dont

^l’axe, passant

par le

point ^P,

^est

dirigé

^{dans le sens de}

l’aimantation,

^{et terminée}

par deux bases

planes

^{norrnales à} l’axe. Les

parois

latérales du c,N-

lindre ^ne

portent

^aucune distribution

magnétique, puisque

^sol

axe est

dirigé

^suivant

l’aimantation; _quant

^aux

bases,

^{elles sont}

revètues de

quantités

^de

magnétisme égales

^et contraires dont la densité

superficielle

^est 1 pour l’extrélnité

négatin,e

^du

petit

^aii-iiint

enlevé,

^{- 1} pour l’extrénlité

positive.

L’action ii de ^ces clem bases

s’ajoute

^{à l’action}

générale

^du

magnétisme

^{libre de}

^{1 aimant;}

^nous

devrons en tenir

compte.

Prenons en second lieu une

portion

d’ainlant dans

laquelle

^l’ai-

mantation n’est pas uniforme autour du

point

P. Nous suppose-

rons alors le

cylindre

^assez

petit

pour que la distribution solide que ^nous enlevons avec lui soit uniforme. Mais,

puisque,

^{dans des}

solides

semblables,

^{la force exercée en un}

point

donné P. par

une distribution uniforme de matiére attirant ^ou

répoussant

d’après

^{la loi de}

^Newton,

^varie

proportionnellement

^{au, dimen-}

sions

linéaires,

l’altération de la force exercée ^sur lc

pôle

^unité

par l’ablation de la distribution solide

portée

par le

cylindre

^tendra

vers zéro avec les dinlensions de la cavité : on n’aura donc pas ^{à en}

288

tenir

compte,

pourvu que les dimensions de la cavité soient infini-

ment

petites.

D’une manière tout à fait t

générale,

^{la force à} l’intérieur d’une telle cavité se compose donc : ° de la force dont les

composantes

sont

a° de la force R provenant des distributions

portées

par les deux bases de la cavité

cylindrique

infiniment

petite

^et dont les compo-

santes sont

proportionnelles

^à celles de l’aimantation.

Nous sommes encore libres de faire tendre vers zéro le volume du

cylindre

^en

assignant

^au rayon de ^sa base ^cc et ii sa

demi-longueur 1

tel

rapport

que ^nous voudrons.

En

premier lieu,

supposons le

rapport a b négligeable.

^La quan- tité de la distribution

portée

par l’extrémité

négative

^du

cylindre est 03C003B12I;

^{la force exercée à une} distance b ^sur le

pôle

^{unité est}

sensiblement 03C0 a2 b2 I et tend vers o

avec a b.

Dans ce cas, la force R

est

négligeable

^{et les}

composantes

de l’action résultante au

point P

sont

Nous

appellerons conventionnellement x, fi, 1’

^les

composantes

de

lafol’ce magnétique

^à l’intérieur de J’aitiiant.

En second

lieu,

supposons le

rapport b a négligeable.

^Le

point

^P

se trouve

placé

^{entre deux}

disques plans

^{très voisins sur}

lesquels

la densité du

magnétisme

^{libre est}

égale

^{à + 1 et à - I. Nous nous}

proposons ^{de trouver la force exercée au centre de} la cavi té

quand

le

volume

de celle-ci tend vers zéro.

Le

rapport L

^étant

^{supposé infini,}

nous avons à considérer la force exercée ^{sur un}

point

^P

placé

^{entre deux}

plans parallèles

^A

et B indéfinis et

portant

des distributions

homogènes

^de

magné-

tisme libre

égales

^et contraires. Le

potentiel

n’est fonction que de la distance z du

point

^{P au}

plan A

^{e t}

l’équation

^de

Laplace

^{se ré-}

289 duit à

d’où

la force est invariable

quelle

que soit la

position

^du

point

^{sur une}

normale ^aux deux

plans :

il suffit de savoir la calculer pour ^une

position particulière

^du

point

^{P. Mais en un}

point

^infiniment

voisin du

plan ^A,

^sur

lequel

la densité du

magnétisme

^{est -E-}

^1,

^la

force ^a pour

expression

au centre de la

cavité,

^{la force conserve} la méme valeur.

Ainsi,

^{dans ce deuxième cas, la force R est}

dirigée

^{dans le sens}

de l’aimantation et

égale

^à

403C0I ;

^ses

composantes

^sont

403C0A, 403C0B, 403C0C;

^les

composantes

^{de la force} résultante sont elles-mêmes

Nous

appellerons

la force résultante au centre d’une cavité en

forme de

disque plat

l’inductioll

lnagnétique

^au

point

^P.

IV. Considérons un aimant ^très étroit par

rapport

^{à ses dimen-} sions

longitudinales;

l’intensité moyenne de l’aimantation dans

une section

transversale, multipliée par la section, peut

^être

appelée

la

puissance

^de

^l’aimant

^{dans cette} section. Un filament de matière

magnétique

aimanté de telle sorte que ^sa

puissance

^{soit la même}

dans toutes les sections

s’appelle

^{un solénoïde}

magnétique.

Soient ⁿ² la

puissance

^du

solénoïde,

^{dl un} élément de

longueur

r la distance de cet élément à un

point

^P,s

l’angle

^{de 1 avec l’axe}

du solénoïde ;

l’élénient de

potentiel

^{en P} fourni par l’élément de solénoïde est

290

Intégrant depuis

^l’,

jusqu’à

^{r2, on a}

Cette

expression

^ne

dépend

que de

la puissance

du solénoïde et

des distances de ses extrémités ^au

point

considéré : elle est indé-

pendante

^{de sa} forme. Si l’axe d’un solénoïde est une courbe fer-

mée,

^{ce solénoïde est sans influence sur le}

potentiel

^{en tout}

point

extérieur,

^et par

conséquent

^{sur la force exercée.}

Lorsqu’un

^aimant

peut

^{être divisé en} solénoïdes soit

fermés,

^soit

se terminant à la surface de

l’aimant,

^on dit que l’aimantation ^est

solénoïdale,

^{et l’aimant}

peut

^être

remplacé

par ^une distribution de

magnétisme

libre eiitièremei) t

superficielle. D’après l’équation (5),

on doit avoir dans ce cas

V. Une couche mince de madère

magnétique

^{aimantée transver-}

salement,

^{de telle sorte} _{clue le}

produit

^{de son}

épaisseur

par l’in- tensité de son aimantation est constant,

s’appelle

^{une lame}

magné- tique;

^le

prodlllt

constant 03A6 est

désigné

^{sous le non1 de}

puissance

de la lame.

Soient dS ^un élément de surface de la

lame,

^{1 sa distance au}

point ^{P, E} l’angle

^{de 1 avec} la normale ^à la

larne;

l’éléinent fourni

au

potentiel

^V par l’élément dS de la lame est

Mais en

désignant

par ^03C9

l’anble

sous-tendu par dS ^au

point

^{P :}

d’où

Une lame

magnétique

^{fermée sous-tend un}

angle

solide nul ^en

tout

point

^{extérieur à} la lame et, par

suite,

^{fournit un élément}

291

nul au

potentiel;

elle sous-tend ^un

angle égal ^{à 403C0}

^{et fournit un}

élément

égal

^à

4 03C0 03A6

^au

potentiel

^{en tout}

point

intérieur. Elle ^ne fournit pas d’élément ^à la dérivée du

potentiel :

^{son action en tout}

point,

soit extérieur à la lame ou

enveloppé

par

elle,

^est donc nulle.

Quand

^{un aiinanL}

peut

^{être divisé en lames}

magnétiques

^fermées

ou

ayant

leurs bords ^sur la surface de

l’ainlant,

l’aiiiiatilation est

dite lamellaine. En

désignant

]par ^{la somme des}

puissances

^de

toutes les lames traversées par un

point mobile

^en

passant

^d’un

point

donné au

point ( x,

^)1",

z),

la dernière lanle traversée donne aux

trois

composantes de ~

^un accroissements

qui, d’après

la définition des lames

magnétiques,

^est

La

quantité y

ainsi définie est la méme

quel

que soit le cheimin suivi par le

point

mobile. Nous la

désignerons

^{sous le nom cle}

potentiel

^de l’aimantation : elle doit être

soigneusement distinguée

du

potentiel magnétique.

VI. Pour déterminer la distribution du

magnétisme

induit dans

une masse de fer doux sous l’influence de forces extérieures don-

nées,

^on

admet, d’après ^Poisson,

que l’aimantation d’une

particule magnétique

^{située en un}

point quelconque

^{P ne}

dépend

que de la force H à

laquelle

^{elle est} actuellement soumise. Celle-ci résulte

en

partie

des forces

magnétiques extérieures,

^en

partie

^{des forces}

exercées ^en P par la ^masse de fer doux aimantée.

L’intensité de l’aimantation au

point

^{P est dans} la direction de la force résultante H et l’on

admet,

dans la théorie du

magnétisme

que ^nous exposons,

qu’elle

^est

proportionnelle

^{à la}

grandeur

^de

cette

force,

^ce

qui

m’est pas

rigoureusement

^verifié par

l’expé-

rience. Soit le coefficient de

proportionnalité;

^nous

l’appellerons coefficient

d’ induction

magnétique.

Les deux

parties

de la force H ont l’une et l’autre ^un

potentiel.

Soient U le

potentiel ^total,

^{V le}

potentiel

des forces

extérieures, ïl

le

potentiel

^du

magnétisme

^{induit :}

292

Les

composantes

^x,

03B2,

03B3 de la force résultante H sont

elles ^sont liées aux

composantes A, B,

^C de l’aimantation par les relations

dans

lesquelles k représente

^le coefficient d’induction

magnétique.

En

posant

Les

équations (16) expriment qu’il y

^{a un}

potentiel

de l’ainzan-

tation,

^et _{que, par}

suite,

l’aimantation est

lamellaire.

D’après l’équation (5),

^la

densité p

^du

magnétisme

^{libre à l’inLé-}

rieur de l’aimant a pour

expression générale

Or

l’équation

^de

Laplace appliquée

^au

potentiel ^U,

^dont

03B1,03B2,03B3

sont les dérivées

premières changées

^de

signe,

^donne

donc

Cette dernière

équation, identique

^à

l’équation (9), exprime

que

293 la distribution du

magnétisme

dans 1/aimantcst solénoidale. Il n’y

a de

magnétisme

^libre

qu’à la

surface de l’aimant.

VII. Soit ’1 la normale menée en un

point

^{de la} surface de l’ai-

mant et

dirigée

^vers l’intérieur. Les

composantes

^{de la densité su-}

perficielle T

suivant les trois ^axes sont

A, B, C,

c’est-à-dire _que.

diaprés

^les

équations (16),

Le

potentiel

^{Q dû à cette} aimantalioii

(équation 6)

^c;L

repré-

sente par

La valeur ^Q est

partout

^{finie et}

continue,

^{et obéit à}

1 équation

^de

Laplace

aussi bien à l’intérieur de l’aiinant

qu’à

l’extérieur.

Distinguons

par ^{un accent} la valeur de fà ^en dehors de

l’aimaii t,

et

désignons

par v’ la normale

dirigée

^vers l’extérieur de

la surface;

on doit avoir à la surface même de l’aimant

et,

d’après

^{un théorème connu,}

d’après

^les

équations (17), (15) et (12),

^{ou encore}

Posons

at supposons,

pour

plus

^de

généralité, que le

^milieu

lui-même

magnétique et

que le coefficient d’induction que cerise

est k’, d’où.

Les

quiantités

^{03BC et 03BC’}

s’appellent capacités inductives magnétiques

294

de 1 aimant et du milieu. Cette dernière est

égale

^{à I}

quand

^{le mai-}

lieu est de l’air.

L’équation (19)

^se transforme par l’introduction des coeffi- cient 03BC ^et

03BC’

^et

peut

^s’écrire

Cette

équation

^ne diffère de

l’équation (19)

que par l’introduc- tion de la somme

dU dv

+

dV dv’, identiquement

^{nulle et} par l’introduc- tion des termes +

4 03C0 k’ dO’ dv’

₊

4 03C0 k’ dV dv’ qui s’annulent quand

^on

fait k’=0

VIII. Pour déterminer le

magnétisme

induit dans ^un corps ho-

mogène

^et

isotrope

limité par ^une surface S et soumis à des forces extérieures dont le

potentiel

^{V est}

^donné,

^{il faut trouver deux}

fonctions Q et 03A9’ satisfaisant ^aux conditions suivantes :

il A l’intérieur de la surface

S,

^la fonction 03A9 doit être

finie,

continue et obéir à

l’équation

^de

Laplace.

2° En dehors de la surface

S,

^la fonction 03A9’ doit être finie et

continue;

^{elle doit s’annuler à une} distance infinie et elle obéit à

l’équation

^de

Laplace.

3° En

chaque point

^{de la surface on} doit avoir Q=

03A9’,

^et

l’équa-

tion

(ip)

^{ou son}

.équivalente, l’équation (21),

^{entre les} dérivées de Q

et de

Qf,

^{doit être} satisfaite.

SUR LE MAGNÉTISME INDUIT D’UN ELLIPSOIDE

CREUX;

PAR M. A.-G. GREENHILL.

Poisson ^a résolu le

problèmes

^de l’induction

magnétique

^d’une

masse de fer doux limitée par ^deux

sphères concentriques

^Sous l’action de forces

magnétiques quelconques,

^et aussi celui de l’in- duction d’un

ellipsoïde plein, placé

^{dans un}

champ magnétique,

uniforme.

Guidés _par ses méthodes

analytiques,

^nous pouvons ^aisément