Sur le magnétisme induit d'un ellipsoide creux

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Submitted on 1 Jan 1881

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Sur le magnétisme induit d’un ellipsoide creux

A.-G. Greenhill

To cite this version:

A.-G. Greenhill. Sur le magnétisme induit d’un ellipsoide creux. J. Phys. Theor. Appl., 1881, 10 (1),

pp.294-303. �10.1051/jphystap:0188100100029401�. �jpa-00237791�

294

de 1 aimant et du milieu. Cette dernière est

égale

^{à I}

quand

^{le mai-}

lieu est de l’air.

L’équation (19)

^se transforme par l’introduction des coeffi- cient 03BC ^et

03BC’

^et

peut

^s’écrire

Cette

équation

^ne diffère de

l’équation (19)

que par l’introduc- tion de la somme

dU dv

+

dV dv’, identiquement

^{nulle et} par l’introduc-

tion des termes +

4 03C0 k’ dO’ dv’

₊

4 03C0 k’ dV dv’ qui s’annulent quand

^on

fait k’=0

VIII. Pour déterminer le

magnétisme

induit dans ^un corps ho-

mogène

^et

isotrope

limité par ^une surface S et soumis à des forces extérieures dont le

potentiel

^{V est}

^donné,

^{il faut trouver deux}

fonctions Q et 03A9’ satisfaisant ^aux conditions suivantes :

il A l’intérieur de la surface

S,

^la fonction 03A9 doit être

finie,

continue et obéir à

l’équation

^de

Laplace.

2° En dehors de la surface

S,

^la fonction 03A9’ doit être finie et

continue;

^{elle doit s’annuler à une} distance infinie et elle obéit à

l’équation

^de

Laplace.

3° En

chaque point

^{de la surface on} doit avoir Q=

03A9’,

^et

l’équa-

tion

(ip)

^{ou son}

.équivalente, l’équation (21),

^{entre les} dérivées de Q

et de

Qf,

^{doit être} satisfaite.

SUR LE MAGNÉTISME INDUIT D’UN ELLIPSOIDE

CREUX;

PAR M. A.-G. GREENHILL.

Poisson ^a résolu le

problèmes

^de l’induction

magnétique

^d’une

masse de fer doux limitée par ^deux

sphères concentriques

^Sous l’action de forces

magnétiques quelconques,

^et aussi celui de l’in- duction d’un

ellipsoïde plein, placé

^{dans un}

champ magnétique,

uniforme.

Guidés _par ses méthodes

analytiques,

^nous pouvons ^aisément

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:0188100100029401

295.

étendre la solution au cas d’une ^masse de fer doux limitée _par deux

ellipsoïdes

homofocaux.

Soient

l’équation

de la surface

interne,

celle de la surface externe, ^et posons

où

par

suite,

Pour

exprimer ^{A, B,}

^{C au} moyen des fonctions

elliptiques

^de-

Jacobi,

^{nous devons}

(en supposant a > b

>

c)

poser

(1)

le module des fonctions

elliptiques

^étant l’excentricité de

l’ellipse

(’) Les notations employées ^sont celles de J3.cohi, si ce n’est qu’on ^a écrit, ^coii- formement à l’usage le plus repandu aujourd’hui, sn x. cn z, dn x cii 7, ^au lieu de sin am x cos aIn 2, .1 ^{am x.}

296

et par suite

égal

^{eu alors}

Pour ^un

ellipsoïde

^de révolution

aplati, a

⁼

^{b , K}

^{= 0, et, par}

suite,

Si

l,

m, ⁿ

désignent

les cosinus de direction ^Ùl’ la normale ^au

297

point (x,y, z) de 1"ellipsoïde

alors

et

Par

suite,

^en

désignant

par (Iv un élément

pris

^{sur la direction}

extérieure de la normale à

l’ellipsoide,

ou

et, par

suite,

et

de

n1ènle,

Oii peut aussi montrer aisément, que

A x By,

^{Cz et même}

satisfont à

l’éduation

^de

Laptacc.

Représentons

^le

potentiel

des forces

magnétiques

extérieures

par

V=Xx + Yy+ Zz,

on

X, Y, Z

^{sont des} constantes, ^et considérons

d’abord,

pour

plus

298

de

simplicité

^{une seule}

composante,

^soit

Xx;

^l’effet

général

^s’ob-

tiendra par la

superposition

des effets

séparés

^des

composantes X x, 1-)’,

^Zz.

Désignons

par ^03A9 le

potentiel

^du

magnétisme

^{induit dù à la}

composante

^{Xx de V.}

Alors,

^{dans le cas de}

l’ellipsoïde plein,

^{Poisson trouve} que ^les conditions

requises peuvent

^être satisfaites en

posant

dans l’intérieur de

l’ellipsoïde

^et

dans

l’espace extérieur, A,

^{étant la} valeur de A à la surface de

l’ellipsoïde

^{et L une constante à} déterminer par la condition

qu’à

la surface

avec

dU dv

^se

^rapporte

^{à la} direction intérieure de la normale à

l’ellip- soïde, u, est

^le coefficient

d’induction,

^{et les}

quantités

^accentuées

désignent

les mêmes

quantités

pour

l’espace

^extérieur

(1).

Alors

ou

eut de même

(1) ^MAXWELL, Electricitr and magnetism, t. ^{II, p. 50.}

299

My

^et

M B B y

^{étant les}

potentiels

^interne et externe de l’aiman-

tation induite par la

composante Yy

^de

^V,

^{et Nz et}

N C C1

^z par la

composante

^{Zz de V.}

Dans le cas de

l’ellipsoïde

^{creux, si}

^QI désigne

^le

potentiel

^du

magnétisme

induit dans la

cavité, 03A92

^dans

l’espace ^extérieur,

dans

la substance du

fer,

^{dus tous trois à la}

composante

^X.r de

V, alors,

^comme

précédemment,

^nous pouvons satisfaire ^aux conditions du

problème

^en

^posant

et par suite

A la surface

interne, puisque u -

ⁱ pour

l’air,

cette

équation ^donne, après

division par le facteur ^{commun /.}

ou

A la surface

extérieure,

et cette

équation

^donne

300

ou

Les

équations (i)

^et

(2)

déterminent L et L’ en fonction de X et

donnent,

par

division,

ou

et, par

soustraction,

ou

ou

Par

suite,

On détcnmine de la même manière les coefficients dus ^aux autres

composantes de la force

magnétisante.

Les

composantes

^{de la force}

magnétique

^à l’intérieur de la cavité

sont

301

Ces calculs

pourraient

^{servir à fournir une} modification du

galya-

nomètre marin de Thomson. L’aimant

pourrait

osciller dans une

cavité ^en forme

d’ellipsoïde

de révolution très

aplati

^{dont l’axe}

serait

vertical,

^et, par ^un choix convenable de la

grandeur

^{de la}

surface confocale externe du fer

doux,

^les

composantes

^horizon- tales de la force

magnétique

dans la cavité

pourraient

^{être suffi-}

samment réduites pour les besoins de la

pratique.

Nous pouvons alors faire

C1 =

^{ce et} _{par suite}

et cette y ale ur est d’autant

plus

faible que u =x cot x cossée203B1 -cot203B1 est

plus grand.

On reconnaît aisément que

du dx

^est

^négatif

^{et ne}

^peut

^s’annuler

que pour Y. ⁼ 0 ;

quand

^{on fait croître a de o à}

^it

^décroiu

de ’=à

^0,

mais la diminution est très lente

jusqu’au yoisinage

^de

03C0 2 ;

^ainsi pour

03B1=03C0 6

on

^{a u=}

^{0, 6268.}

Il suffira donc de donner à ^03B1 la valeur

03C0 6

^pour

rendre X+L X très voisin de son minimum.

En

désignant

par ^r le rayon de la

cavité,

et les demi-axes de

l’ellipsoïde

^{extérieur seront 1 cosécx et r cota.,}

c’est-à-dire,

pour x

=03C0 6,

^{2 r et}

~3r ;

^{et alors}

Pour le fer

doux,

^{03BC =} I +

403C0k

^{et k varie de 20 à}

30 (1).

^Prenant

(1) MANWELL, Electricity and magnetism.1 t.II p. 58

302

de sorte que la force

magnétique

^à l’intérieur de la cavité serait environ la centième

partie

^{de sa valeur à} l’extérieur

(1).

Si le

potentiel

des forces

magnétisants

extérieures contient ^un

terme de la forme

P03B3z,

pour déterminer le

magnétisme

^{induit t}

correspondant,

^nous poserons

et par suite

et

et par sui te

Conséquemment,

^à la surface

intérieure,

la condition

conduit après

division par le facteur pyz, ^à

l’équation

(’) En déterminant les axes de la cavité intérieure par la valeur

89°=89 90 03C0 2 =x,

ceux de l’ellipsoide extérieure par

at-- 6 ’r ,

^et effeectuant le calcul complet d’après ^les

furmutes générales, ^{on retrouve tin} nombre extrêmement voisin du précèdent.

303

00

et, ^à la surface

extérieures, l’équation

conduit à

l’équauion

ou bien

les

équations (3)

^et

(4)

déterminent

Q

^et

Q’

^en fonction de

P,

et de même pour les ^termes

comprenant

^{zx et} xv dans le

poten-

tiel V.

On traiterait d’une manière

analogue

^{le cas où le}

potentiel

^con-

tiendrait un terme de la forme Mxvz.

MACHINES ÉLÉVATOIRES ET APPAREILS PNEUMATIQUES;

PAR M. FÉLIX DE ROMILLY.

1. MACHINES ÉLÉVATOIRES. ^- On obtient

depuis longtemps

^l’élé-

ation de 1 eau par ^des machines

rotatives ;

^toutes consistent en un