29 Champs magnétiques & forces de Laplace
29.1 Avant-propos
Le champ magnétique... C’est, pour le grand public, un terme qui résonne avec science-fiction, « bou- cliers de force invisible » . . . . Et, pour une fois, on n’est pas si loin que ça d’une réalité expérimentale, si on considère le rôle protecteur du champ magnétique terrestre vis-à-vis du vent solaire. C’est également grâce au champ magnétique terrestre que l’homme a pu commencer à explorer les mers et océans hors de la rassurante présence des côtes, grâce à l’invention de la boussole.
Dans ce chapitre, nous tâcherons de définir la notion de champ, d’expliquer l’origine du magnétisme et de poser un modèle descriptif sur l’action d’un champ magnétique sur une boucle de courant.
29.2 Le champ magnétique
29.2.1 Sources du champ magnétique
La notion de champ est à la fois complexe et très intuitive. L’une des forces principale de la mécanique du point en fait usage : le champ de gravité#”g. Même si on le suppose généralement uniforme, il est présent en tout point de l’espace, et induit sur chaque corps de masse m qui se déplace dedans la force poids F#”=m#”g.
Notion de champ
On appellechampla donnée en tout point de l’espace, et au cours du temps, de la valeur d’une gran- deur physique qui peut être scalaire (température, pression...), vectorielle (vitesse des particules d’un fluide, champ électrique et magnétique...) ou tensorielle (comme le tenseur des contraintes).
Un champ magnétique c’est donc une distribution en tout point de l’espace étudié du vecteur champ magnétique B.#”
Ce champ peut être :
– stationnaire : sa valeur ne dépend pas du temps ; – uniforme:sa valeur ne dépend pas de l’espace.
Nous limiterons notre étude (en première année) aux champs stationnaires.
La source d’un champ magnétique, ce qui lui donne naissance, c’est avant tout un déplacement de charges électriques, c’est-à-dire un courant électrique. Même les aimants que l’on tous un jour manipulés
29. Champs magnétiques & forces de Laplace 29.2. Le champ magnétique
doivent leurs propriétés magnétiques a une forme élémentaire de courant électrique. On verra en deuxième qu’une variation temporelle de champ électrique #”
E peut également donner naissance à un champ magné- tique.
https://www.youtube.com/watch?time_continue=1&v=hFAOXdXZ5TM&feature=emb_logo
Source de champ magnétique
La source d’un champ magnétique peut-être :
– un déplacement de charge électrique, ou courant électrique ;
– un aimant, en tant que « collection organisée » de courants électriques microscopiques ; – une variation temporelle de champ électrique #”
E, vu en deuxième année.
29.2.2 Représentations du champ magnétique
Le champ magnétique est donc un vecteur, présent en tout point de l’espace, dont la valeur en un point M dépend, a priori, des coordonnées du point M, voire du temps t. Sa représentation visuelle est donc complexe.
Commençons par sa valeur. Son unité dans le système international d’unité est le tesla, notée : T. La dimension associée au tesla n’est pas une des 7 dimensions fondamentales.
Unité du champ magnétique
Le champ magnétique s’exprime, dans le système international, en tesla, noté T, de dimension [1 T] = 1 kg·A−1·s−2.
On peut citer quelques ordres de grandeur de champ magnétique : – aimant néodyme : 1 T ;
– IRM : 10 T ;
– champ magnétique terrestre : 1×10−5T.
Comme tout champ de vecteur, il est difficilement représentable en 3D. On donne souvent des cartes colorées donnant la norme de #”
B ou des lignes de champ sur un plan de coupe.
Lignes de champ
On appelle ligne de champ une courbe tangente au champ en chacun de ses points, et orientée dans le sens du champ.
29. Champs magnétiques & forces de Laplace 29.2. Le champ magnétique
Fig. 29.1– Représentations de champ magnétique,les lignes de champ sont au centre - Geek3, CC BY-SA 4.0.
Fig. 29.2 – Contours de champ magnétique produit par 12 fils parallèles - Inductiveload, Domaine public
On peut remarquer que les lignes de champs qui sont représentées ci-dessus ont tendance à s’enrouler autour des sources (fils parcourus par un courant ou aimant). On verra en deuxième année que le lien entre les sources de champ magnétique et le champ magnétique lui-même se fait à travers un opérateur vectoriel appelé « rotationnel » capable de décrire ce comportement.
https://www.youtube.com/watch?v=rB83DpBJQsE.
Les figures ci-dessous reproduisent quelques lignes de champ qui permettent de vérifier que le champ magnétique vérifiela règle de la main droite. En effet, le pouce de la main droite est aligné avec le sens du courant qui génère le champ, alors les autres doigts donnent l’orientation des lignes de courant du champ #”
B.
Ii J
I J
I B#”
Fig. 29.3 – Courant et champ magnétique
Ii I I I I i #”
B
Fig. 29.4 – Champ magnétique et courant
29.2.3 Moment magnétique
À grande distance, les champs magnétiques produits par des spires de courant, des solénoïdes ou des aimants ont des allures et donc des actions très similaires. On les modélise donc parfois en utilisant la notion de moment magnétique.
Moment magnétique
On appelle moment magnétique, le vecteur m, exprimé en A#” ·m−2, permettant de modéliser sim- plement l’action magnétique d’un courant circulant dans une boucle plane fermée. Ce vecteur vérifie :
m#”=iS#”n
oùiest le courant circulant dans la boucle fermée,S la surface plane définie par la boucle fermée, et #”n est le vecteur unitaire normal à S et orienté selon la règle de la main droite appliquée à i.
29. Champs magnétiques & forces de Laplace 29.3. Actions du champ magnétique
Ii iJ m#”
#”n S
Fig. 29.5– Moment magnétique d’une spire plane
29.3 Actions du champ magnétique
29.3.1 Force de Laplace exercée sur une tige
On suppose donc que l’on a une portion de fil conducteur, parcourue par un courant i. La force qu’exerce le champ magnétique sur ce fil dérive de la force de Lorentz rencontrée en mécanique des particules chargées. Cette force est appelée force deLaplace.
Force de Laplace exercée sur une tige
La force de Laplace, exercée par un champ magnétique #”
B donné, sur une tigeABparcourue par un courantis’écrit :
F#”L= ˆ B
A
d#”
FL= ˆ B
A
i#”
d`∧ #”
B où #”
d` est le vecteur déplacement élémentaire, ile courant électrique parcourant la tige, et où les bornesAetB de l’intégrale sont placées conformément au sens de parcours du courant électrique.
Ii J
B#”
| | d`#”
# ” dFL
×A
×B
F#”L
Fig. 29.6 – Force de Laplace exercée sur un fil rectiligne
Le calcul de la force de Laplace est l’occasion de nombreuses erreurs, qui sont généralement dues à une mauvaise prise en compte du sens de parcours de i.
Ji J B#”
×A
×B
O x
y Jz
Avec le schéma ci-dessus, le calcul doit être mené de la manière suivante : – Le vecteur unitaire #”
d` est le vecteur déplacement élémentaire, dont l’expression ne dépend que de la base de projection choisie : #”
d`= dxe#”x+ dye#”y+ dze#”z en coordonnées
29. Champs magnétiques & forces de Laplace 29.3. Actions du champ magnétique
cartésiennes par exemple. Il faut donc commencer par préciser cette base, pour en déduire l’expression correcte de #”
d` qui est, dans cet exemple #”
d`=dxe#”x; – #”
B est un vecteur qui doit être exprimé dans la même base de projection que #”
d`. Ici B#”=Be#”z;
– i est un courant électrique, de valeur algébrique, auquel est associé un sens de circulation supposé. Ce sens de circulation doit se retrouver dans le calcul de l’intégrale de la force de Laplace. Ainsi, on peut écrire ici, en respectant le sens de circulation de i, #”
FL =´A
B idxe#”x∧#”
B ou encore, en respectant la base de projection qui définit le sens positif de circulation : #”
FL=´B
A(−i)dxe#”x∧ #”
B. Le résultat est dans tous les cas #”
FL=iB`u# ”y, et le sens de la force est conforme à la règle de la main droite appliquée à iet #”
B.
29.3.2 Couple de Laplace exercée sur une boucle rigide
Le calcul de la résultante des forces sur le solide boucle rigide, représentée ci-dessous :
A×
×B Ii
×C D×
J B#”
O x
y Jz
`
h
Fig. 29.7 – Cadre rigide plongé dans un champ magnétique On a donc :
F#”L=i# ” AB∧#”
B +i# ” BC∧ #”
B+i# ” CD∧#”
B+i# ” DA∧ #”
B =i# ” AA∧ #”
B = #”0
La résultante des forces de Laplace est donc nulle et le cadre peut donc sembler immobile.
Il ne faut cependant pas perdre de vue qu’un cadre est un solide et non un objet ponctuel. Il peut donc tourner sur lui-même, s’il est soumis à un moment de forces ou à un couple. En effet, si l’axe Oy du schéma précédent est un axe de rotation possible pour la spire, le même schéma en vue de dessus pourrait être :
α
A×
×B
iI B#”
O x
z J y
F#”BC
F#”DA
Fig. 29.8 – Couple de Laplace
Les forces de Laplace exercées sur les parties verticalesBCetDAse compensent toujours, mais les mo- ments sont alors :M# ”BC = # ”
OB∧#”
FBC = h2sinα×i`B#”uyet de mêmeM# ”DA =OA∧# ” #”
FDA= h2sinα×i`B#”uy.
29. Champs magnétiques & forces de Laplace 29.3. Actions du champ magnétique
On en déduit que le couple exercé par les forces de Laplace sur la spire rigide est :
#”ΓL=M# ”DA+M# ”BC = 2×h
2 sinα×i`B#”uy =iSBsinα#”uy oùS =h` est la surface de la spire.
On peut également écrire cette relation sous une forme différente :
#”ΓL=m#”∧#”
B oùm#”est le moment magnétique de la spire et généraliser :
Couple de Laplace exercé sur un cadre rigide
Lecouple de Laplace, exercé par un champ magnétique #”
B sur un cadre rigide plan parcouru par un couranti, s’exprime par :
Γ# ”L=m#”∧#”
B
où m#”=iS#”n est le moment magnétique de la spire associé au cadre de surface S et de normale #”n orientée par le sens de circulation dei.
