4) En d´eduire le tableau de variation de la fonctionf surR

Question 1

On consid`ere la fonction f d´efinie et d´erivable sur l’ensemble R des nombres r´eels par : f(x) =x+ 1 + x

e^x

On note C sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e.

1) Soit g la fonction d´efinie et d´erivable sur l’ensemble R par : g(x) = 1−x+e^x

Dresser, en le justifiant, le tableau donnant les variations de la fonctiong sur R (les limites de g aux bornes de son ensemble de d´efinition ne sont pas attendues).

En d´eduire le signe deg(x).

2) D´eterminer la limite def en −∞puis la limite def en +∞.

3) On appellef⁰ la d´eriv´ee de la fonctionf sur R.

D´emontrer que, pour tout r´eelx

f⁰(x) =e^−xg(x) .

4) En d´eduire le tableau de variation de la fonctionf surR.

5) D´emontrer que l’´equation f(x) = 0 admet une unique solution r´eelle α surR.

D´emontrer que−1< α <0.

Question 1 (suite)

Question 1 (suite)

Question2

— Calculer l’int´egrale d´efinie :

Z 9 1

e

√ t

√tdt.

— Quelle est la d´eriv´ee de la fonction :

f(x) = 2 + 3 Z x

4

f(t)dt.

— D´eterminer l’intervalle de croissance de la fonction : f(x) =xexp√

−x.

Question 2 (suite)

Question 2 (suite)

Question 3

Lors d’une soir´ee entre ´etudiant.e.s ing´enieur.e.s, la question suivante est pos´ee : quelle est l’angle d’ouverture 2θoptimal pour un cornet de frites ? Il ne s’agit pas de discuter de la facilit´e d’attraper les frites dans le fonds du sachet, mais bien de minimiser la surface de carton utilis´ee pour r´ealiser un cornet de volume V. A cette heure tardive, il n’est pas question de faire le calcul num´erique exact, mais bien de trouver l’expression analytique qui permettra de calculer l’angle optimal. Chaque fois que n´ecessaire, vous pouvez d’ailleurs supposerπ = 3.

Le barman, qui est un as en g´eom´etrie et en trigonom´etrie, vous donne les ´el´ements suivants : Un cornet pouvant ˆetre assimil´e `a un cˆone non tronqu´e, son volume est donn´e par l’expression :

V = π 3hR²

o`u h=Lcosθ est la hauteur du cˆone (ou profondeur du sachet), etR=Lsinθle rayon de sa base (ou rayon de l’ouverture du sachet). Lest la longueur de l’arˆete du cˆone (distance entre la pointe et le bord du sachet). La surface d´evelopp´ee du cˆone (ou surface de carton n´ecessaire pour r´ealiser le cornet) est donn´ee par l’expression :

S=πRL.

Question 3 (suite)

Question 3 (suite)

Question 1

On consid`ere la fonction f d´efinie sur l’intervalle ]0; +∞[ par : f(x) =e^x+1

x.

1) Soit g la fonction d´erivable d´efinie sur l’intervalle [0; +∞[ par : g(x) =x²e^x−1

Etudier le sens de variation de la fonctiong.

2) D´emontrer qu’il existe un unique r´eel aappartenant `a [0; +∞[ tel queg(a) = 0.

3) D´eterminer le signe de g(x) sur [0; +∞[.

4) D´eterminer les limites de la fonctionf en 0 et en +∞.

5) On note f⁰ la fonction d´eriv´ee def sur l’intervalle ]0; +∞[.

D´emontrer que pour tout r´eel strictement positif x,f⁰(x) =g(x)/x².

6) En d´eduire le sens de variation def et dresser son tableau de variation sur l’intervalle ]0; +∞[.

7) D´emontrer que la fonctionf admet pour minimum le nombre r´eel m= 1

a² +1 a.

Question 1 (suite)

Question 1 (suite)

Question2

— Repr´esenter, dans le planOxy l’ensemble de tous les points v´erifiant les in´egalit´es suivantes : y+ 2x−2≥0; 2y+x≤4; 4y≥4x−8

Quel est le point (x, y) v´erifiant ces trois in´egalit´es et d’ordonn´ee minimale ?

— Calculer la valeur de l’int´egrale suivante : I =

Z 2 0

xp

5 +x²dx.

— Soit la fonction :

f(x) = ln(2 +e^x−3).

a) Justifier que f admet une r´eciproque

b) Soit g la fonction r´eciproque de f ci-dessus. Calculer le nombre d´eriv´eg⁰(ln 3)

Question 2 (suite)

Question 2 (suite)

Question 3

Vous faites partie d’un groupe d’´etudiant.e.s ing´enieur.e.s qui participe `a un projet solaire en Afrique. Un village situ´e proche de l’´equateur sera ´equip´e de panneaux photovolta¨ıques pour assurer le fonctionnement d’un petit dispensaire. Vous avez choisi de calculer le nombre de panneaux n´ecessaires pour alimenter un r´efrig´erateur qui permet de conserver de nombreux m´edicaments.

Voici les donn´ees du probl`eme :

— Le r´efrig´erateur a besoin d’une ´energie de 2000 [watt.heure] par 24 heures. Un.e autre coll`egue s’occupe de dimensionner les batteries qui stockeront l’exc`es d’´energie photo- volta¨ıque le jour pour la restituer pendant la nuit.

— Les panneaux photovolta¨ıques - de 1,5 [m²] chacun - seront pos´es horizontalement sur le toit du dispensaire. Entre 6h et 18h, la perpendiculaire aux panneaux forme donc un angle θ compris respectivement entre−π/2 et π/2 avec les rayons du soleil.

— Hors saison des pluies - o`u un groupe ´electrog`ene prendra le relais - le rayonnement solaire est de 1000 [W/m²] lorsque le soleil est au z´enith.

— Seule la composante du rayonnement solaire perpendiculaire aux panneaux est convertie en

´

energie ´electrique.

— L’installation compl`ete (panneaux, onduleur, batteries) a un rendement ´energ´etique de 20%.

Dans un premier temps, faites vos calculs sans tenir compte de l’effet de l’atmosph`ere qui att´enue le rayonnement surtout `a l’aurore et au cr´epuscule.

L’effet d’att´enuation du rayonnement solaire dˆu `a l’´epaisseur de l’atmosph`ere peut ˆetre approxim´e par un facteur suppl´ementaire de la forme cos(θ). Votre conclusion est-elle modifi´ee par cet effet suppl´ementaire ?

Question 3 (suite)

Question 3 (suite)

Question 1

On consid`ere la fonction g d´efinie sur l’intervalle [0; +∞[ par : g(x) =e^x−x−1.

1) Etudier les variations de la fonction g.

2) D´eterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x.

3) En d´eduire que pour tout x sur l’intervalle [0; +∞[, e^x−x >0.

On consid`ere la fonction f d´efinie sur [0,1] par :

f(x) = e^x−1 e^x−x.

4) Prouver que f est strictement croissante sur [0,1].

Soit Dla droite d’´equation y=x etC la courbe repr´esentant la fonctionf.

5) Montrer que pour tout xde [0,1],

f(x)−x= (1−x)g(x) e^x−x .

6) Etudier la position relative de la droite Det de la courbeC sur [0,1].

7) D´eterminer une primitive de f sur [0,1].

8) Calculer l’aire, en unit´e d’aire, du domaine du plan d´elimit´e par la courbe C, la droite Det les droites d’´equationsx= 0 etx= 1.

Question 1 (suite)

Question 1 (suite)

Question2

— Soit la fonction :

f(x) =x+x⁵ Cette fonction est-elle bijective ?

— Calculer l’int´egrale d´efinie :

Z e

1

1 + lnx x dx.

— Chercher les valeurs extrˆemes de la fonction :

f : [−1,2]→R;f(x) =x³−3x+ 8 et pr´eciser en quels points ces valeurs sont atteintes.

Question 2 (suite)

Question 2 (suite)

Question 3

Vous travaillez pour l’agence spatiale europ´eenne qui souhaite envoyer une mission vers mars. Les astronautes voyageront dans une navette, mais il est toutefois n´ecessaire de pr´evoir une solution de secours si l’atterissage sur terre devait se passer de la navette. La solution d’une capsule d’atterissage est choisie, comme pour la mission Appolo.

Lors de sa rentr´ee dans l’atmosph`ere, la capsule est frein´ee par le frottement de l’air qui stabilise la vitesse de la capsule |v| `a 100 [m/s]. Cette vitesse est bien sˆur trop ´elev´ee pour envisager un atterissage. La vitesse au moment de l’impact au sol doit ˆetre au maximum de 10 [m/s]. Les capsules Appolo utilisaient un parachute pour ralentir la capsule avant de toucher le sol. Pour valider cette solution, vous ˆetes en charge de v´erifier que la d´ec´el´eration ressentie par les astronautes ne d´epassera pas 10 g pendant quelques secondes (g ´etant l’acc´el´eration de la gravit´e terrestre qui est ici approxim´ee `a 10 [m/s<sup>2</sup>]) au moment de l’ouverture des parachutes, et d´ecider de quand commander leur ouverture. Voici les donn´ees du probl`eme :

— La masse (m) de la capsule est de 1000 [Kg] et l’acc´el´eration est bien sˆur donn´ee par la formule bien connue :

v⁰=F/m[m/s²].

— La force de la gravit´e terrestre est donn´ee par : F g=gm[N].

— La force exerc´ee par l’air sur la capsule seule, ou bien ´equip´ee de parachutes, est proportion- nelle `a la vitesse (v) suivant la formule :

F f =αv[N],

la valeur deα´etant bien sˆur diff´erente avec ou sans parachute. Que vautαlorsque la capsule a atteint sa vitesse d’´equilibre sans parachute (v= - 100[m/s]) ? Le vecteur force ´etant dirig´e vers le haut, et le vecteur vitesse vers le bas, α est forc´ement n´egatif.

— Apr`es l’ouverture du parachute ent= 0, la vitesse suit une ´evolution due `a l’int´egration des

´

equations pr´ec´edentes :

v(t) =v(t= 0) + Z t

0

dtv⁰ =A+Bexp(−t

τ)[m/s].

Vous aurez `a d´eterminer A, B et τ pour t > 0. Vous aurez aussi besoin de l’´equation qui donne l’altitude en fonction du temps :x(t) que vous obtiendrez en int´egrantv(t).

Calculez dans un premier temps la d´ec´el´eration maximale subie par les astronautes `a l’ouverture des parachutes. La d´ec´elaration dure-t-elle plus que quelques secondes ?

La capsule est ´equip´ee d’un altim`etre GPS. Vous devez ensuite proposer une altitude d’ouverture du parachute qui permettra `a la capsule d’avoir atteint la vitesse ad´equate au moment de toucher le sol. L’altitude du sol est suppos´ee ´egale `a z´ero (niveau de la mer). Un coll`egue vous souffle `a l’oreille qu’en attendant 5 fois le temps τ, la vitesse sera stabilis´ee car on peut supposer exp(−5)h0,01.

Question 3 (suite)

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