1 Pourcentages et indices

1 Pourcentages et indices

On donne ci-dessous un diagramme montrant l’évolution de l’indice boursier Français « CAC40 », depuis sa date de création, le 31 décembre 1987, jusqu’à 2012. Cet indice de « Cotation Assistée en Continu » témoigne de l’évolution des valeurs boursières des 40 actions les mieux cotées parmi les 100 entreprises françaises ayant le plus gros volume d’échanges européens.

Quelques faits marquants :

* Le CAC 40 a atteint son record maximum le 4 septembre 2000 à 6 944,77 points, puis s'est effondré jusqu'à 2 401,15 points le 12 mars 2003.

* A la suite de cela, pendant une période d’environ 4 ans, l’indice a bénéficié d’une hausse d’environ 150 %, pour franchir à nouveau la barre des 6 000 points le 2 mai 2007.

* Mi-juillet 2007, l'indice représentait environ 70 % de la capitalisation totale de la Place de Paris, soit 1 300 milliards d'euros. Au début 2008, la capitalisation est d'un peu moins de 1 000 milliards d'euros.

* A partir de 2008, une crise boursière a fait chuter à nouveau le CAC 40, cédant plus de 43,5% entre le 21 janvier et le 10 octobre (date à laquelle il passe sous les 3 200 points), dont près de 22% dans la seule semaine du 6 au 10 octobre !

* Le lundi 13 octobre 2008, l'indice progressait de 11,18 % à 3 531,50 points, la plus forte progression quotidienne depuis sa création ! Ce record survenait peu après le record inverse de la plus forte chute : le lundi 6 octobre 2008, le CAC 40 clôturait en baisse de 9,04 % à 3 711,98 points.

1. Quel a été le pourcentage de chute de l’indice entre le 4 septembre 2000 et le 12 mars 2003 ? (2401,15 – 6944,77) / 6944,77 = -65,425 %

2. Vérifions que la hausse annoncée entre 2003 et 2007 est bien de 150 %.

2401,15 × (1 + 150/100) = 6002,875

3. Mi-juillet 2007, quelle valeur en euros représentait l’indice ? 1300 Md€

4. Entre mi-juillet 2007 et début janvier 2008, quel a été le pourcentage de baisse de la capitalisation boursière de la Place de Paris ?

Capitalisation boursière mi-juillet 2007 : 1300 / 0,7 = 1857,14 Md€

(1000 – 1857,14) / 1857,14 = -46,15 %

5. Si le 10 octobre 2008 on donne à l’indice une valeur de 3200 points, combien de points valait-il le 21 janvier 2008 ? 3200 / (1 – 43,5 %) = 3200 / 0,565 = 5663,7

6. Combien valait l’indice au début et à la fin du 6 octobre 2008 ? du 13 octobre 2008 ? 6 octobre : fin : 3711,98 ; début : 3711,98 / 0,9096 = 4080,89

13 octobre : fin : 3531,5 ; début : 3531,5 / 1,1118 = 3176,38

Exercice 1. TD

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Coût d’achat moyen du coton : 1,84 €/kg année N ; 2,12 €/kg année N+1 ; 1,53 €/kg année N+2. En fixant l’indice initial du cours du coton à 1000 pour l’année N, calculer les indices du cours en N+1 et N+2.

Il suffit d’organiser ces données dans un tableau et d’appliquer la règle de trois :

coût 1,84 2,12 1,53

indice 1000 1152,17 831,52

1000 × 2,12 / 1,84 = 1152,17 1000 × 1,53 / 1,84 = 831,52 Taux de 20 par rapport à 25 : 20/25 = 0,8 = 80%

Taux de 50 par rapport à 48 : 50/48 = 1,042 = 104,2%

Taux de 8 par rapport à 32 : 8/32 = 0,25 = 25%

Taux de 56 par rapport à 28 : 56/28 = 2 = 200%

Taux de variation de 20 vers 25 : +5/20 = +0,25 = +25%

Taux de variation de 50 vers 48 : -2/50 = -0,04 = -4%

Taux de variation de 28 vers 56 : +28/28 = +1 = +100%

Taux de variation de 56 vers 28 : -28/56 = -0,5 = -50%

Un article est vendu 35€. Puis il est soldé : "-40%". À combien se vend-il, soldé ? remise : 40% de 35€ = 40% × 35 = 0,4 × 35 = 14€

nouveau prix : 35 – 14 = 21€

plus directement : une remise de 40% signifie qu’on paiera 60% du prix initial. 60% × 35 = 21€

1. Une facture fait état d'un montant hors taxes (HT) de 248,5 € sur lequel devra être appliquée une TVA à 20%. Quel sera le montant TTC de la facture ?

Augmenter de 20%, c’est multiplier par 1,2. 248,5 × 1,2 = 298,2

2. Une autre facture affiche un prix à payer de 71,25 € après remise de 15%. Quel était le prix normal sans la remise ?

Diminuer de 15%, c’est multiplier par 0,85. prix × 0,85 = 71,25. prix = 71,25 / 0,85 = 83,82

Le prix du baril de pétrole valait 32 $ à une date 1, puis il est monté à 96 $ à une date 2, 140 $ à une date 3, et enfin est redescendu à 40 $ à une date 4.

1. Donner le détail des taux d'augmentation ou de baisse entre chaque date.

de 32 à 96 : +64/32 = +2 = +200% de 96 à 140 : +44/96 = +0,4583 = +45,83%

de 140 à 40 : -100/140 = -0,7143 = -71,43%

2. Donner le taux global de variation entre les dates 1 et 4. de 32 à 40 : +8/32 = +0,25 = +25%

3. Quel a été le taux moyen de variation d'une date à l'autre ?

Il faut envisager que trois augmentations successives d’un même pourcentage permettent de passer de 32 à 40. Autrement dit, multiplier 32 trois fois de suite par un même coefficient « c » doit donner 40 : 32 × c × c × c = 40, soit 32 × c³ = 40 et donc c³ = 1,25. Ainsi, c = 1,25^1/3 = 1,07722.

Il faudrait appliquer trois fois une augmentation de 7,722% pour passer de 32 à 40.

Compléter le tableau suivant, sachant que les listes sont proportionnelles :

Liste 1 5 6 12 14,8 28

Liste 2 12,5 15 30 37 70

Liste2 = 2,5×Liste1

Exercice 2.

Exercice 3.

Exercice 4.

Exercice 5.

Exercice 6.

Exercice 7.

Exercice 8.

Cours de la bourse et consommation des ménages : proportionnalité ?

date janv-09 févr-09 mars-09 avr-09

CAC 40 3588 3825 3644 3860

indice conso 115 122,6 116,8 123,7

3588/115 = 31,2 et les autres rapports ont la même valeur, à très peu de choses près.

On pourra dire dans la pratique qu’il y a bien une relation de proportionnalité.

On relève, dans un groupe, les évolutions comparées du CA annuel et du nombre moyen d'employés de la même année :

date 2016 2017 2018 2019

A : CA (M€) 250 300 320 280

B : nb employés 1500 1800 1920 1680

1. Quelle formule pourrait-on établir pour calculer directement B en fonction de A ? On remarque que B = 6×A

2. Donner une estimation du nombre d'employés pour que le CA monte à 350 M€ en 2020.

B = 6×350 = 2100 employés

3. Si en 2020 on compte 1560 employés en moyenne, donner une estimation du CA.

A = 1560 / 6 = 260 M€

Un lot de 15 articles est vendu 87 €, mais ils peuvent être vendus à l'unité. Combien coûtent 6 articles ?

1 2

nb 15 6

coût 87 P

P = 6×87 / 15 = 34,8 €

Si 100 g d’un aliment donné fournissent 300 kJ, combien une portion de 30 g fournit-elle ?

1 2

masse (g) 100 30

énergie (kJ) 300 E E = 30×300 / 100 = 90 kJ

Compléter le tableau suivant, sachant que les deux listes sont inversement proportionnelles :

février mars avril mai juin

28 15,08 12 8 5 Jours de pluie dans le mois

70 130 163,3 245 392 Nombre de visiteurs

28×70 = 1960. Chacun des autres produits doit avoir cette valeur.

Une bouteille d’une capacité de 1,5L est partiellement remplie de jus d’orange.

Calculer le volume restant, sachant qu’on a réalisé les mesures suivantes : à l’endroit, on remarque que jus d’orange remplit un cylindre de 18 cm de hauteur ; à l’envers, le cylindre d’air mesure 12 cm de hauteur.

Si la bouteille était totalement cylindrique, sa hauteur serait donc 30 cm, dont

18 cm de jus d’orange. La proportion de jus d’orange est dans tous les cas 18/30^e du volume total de la bouteille. 18/30 × 1,5L = 0,9L.

Exercice 9.

Exercice 10.

Exercice 11.

Exercice 12.

Exercice 13.

Exercice 14.

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Trouver les valeurs manquantes, en considérant un taux (1ère ligne) d'une valeur donnée (1ère colonne).

1% 5% …25…% 50% 150%

40 …0,4… …2… …10… …20… …60…

80 …0,8… 4 20 …40… …120…

100 …1… …5… …25… …50… …150…

…300… …3… 15 75 …150… …450…

800 …8… …40… …200… …400… …1200…

Il s’agit d’un tableau de proportion. On peut donc partir du principe que chaque ligne est multiple d’une autre, idem de chaque colonne. On peut aussi raisonner en « parts » :

1% = un centième ; par exemple : 1% de 80 = 0,8 5% = un vingtième ; par exemple : 5% de 40 = 2 25% = un quart ; par exemple : 25% de 800 = 200 50% = la moitié ; par exemple : 50% de 80 = 40

150% = une fois et demie, ou trois moitiés ; par exemple : 150% de 80 = 120

M. D. est représentant pour sa société. Sur le montant de chaque vente qu'il réalise, il touche cette année une commission de 15 %.

Deux façons de procéder : calcul général : COM = t × CA tableau de proportions €/% :

€ %

COM

A 100

1. Ce mois-ci, il a fait un chiffre d'affaires de 14 000 €. Combien a-t-il gagné en commissions ?

COM = 15% × 14000 = 2100 € € %

COM 15

CA 14000 100

2. Le mois dernier, il a touché 850 € de commissions. Quel a été son chiffre d'affaires ? 850 = 15% × CA, donc CA = 850/15% = 5667 € € %

COM 850 15

CA 100

3. Au même mois de l'an dernier, il avait touché 1032 € pour un CA de 8600 €. Quel pourcentage de commission touchait-il sur ses ventes ?

1032 = t × 8600, donc t = 1032/8600 = 0,12 = 12% € % COM 1032

CA 8600 100

Un hebdomadaire qui publie chaque année une étude intitulée "Quel est le meilleur Lycée ???" a réalisé une de ses enquêtes auprès d'une classe de terminale, afin de connaitre l'évolution du taux de réussite dans ce lycée :

Bac année 2018 année 2019

inscrits reçus inscrits reçus

non redoublants 22 12 15 8

redoublants 3 3 10 9

Voici, à la suite de ce tableau, le commentaire du proviseur et celui d'un élève :

Le proviseur : « L'année 2019 marque une progression de plus de 13% de la réussite au bac dans cette classe - Je félicite les professeurs ! » Un élève : « Que l'on soit redoublant ou pas, cette année cela a moins bien marché. Je ne félicite pas les profs ! »

Ces avis sont pour le moins contradictoires... Et pourtant ils sont tous les deux justifiés ! Justifiez-les à votre tour et faites-vous une opinion sur les progrès de ce lycée.

Exercice 15.

Exercice 16.

Exercice 17.

Le proviseur raisonne globalement :

En 2018, 15 reçus sur 25 inscrits, 15/25 = 0,60 donc 60% de réussite au bac.

En 2019, 17 reçus sur 25 inscrits, 17/25 = 0,68 donc 68% de réussite au bac.

Passer de 60 à 68 (en %), comme de 15 à 17 (élèves reçus) représente une augmentation de 13% : 68 60 17 15 %

0,1333 13,33

60 15

− = − ≈ = .

En effet, le taux de réussite au bac a augmenté de 13% environ.

On dira aussi que ce taux a augmenté de 8 points (puisqu’il est passé de 60% à 68%).

L’élève raisonne sur des parties de la population :

En 2018, pour les non redoublants : 12 reçus sur 22 inscrits, soit 54,55% de réussite au bac.

En 2019, pour les non redoublants : 8 reçus sur 15 inscrits, soit 53,33% de réussite au bac.

Le taux de réussite a baissé pour les non redoublants.

En 2018, pour les redoublants : 3 reçus sur 3 inscrits, soit 100% de réussite au bac.

En 2019, pour les redoublants : 9 reçus sur 10 inscrits, soit 90% de réussite au bac.

Le taux de réussite a baissé pour les redoublants.

Ces résultats sont paradoxaux (« paradoxe de Simpson ») : comment une tendance globale peut-elle être contraire à la tendance de chaque partie ?

La réponse se trouve dans les barycentres (donc dans le cas de valeurs coefficientées) :

le poids de chaque partie n’est pas le même en 2018 et en 2019. En effet, les redoublants représentent 12% de l’effectif en 2018 et 40% de l’effectif en 2019. Leur taux de 90% de réussite en 2013 pèse pour 40% dans le taux de réussite global de 2019, alors que leur taux de 100% en 2012 ne pèse que pour 12%

dans le taux de réussite global de 2018, ce qui est suffisant pour que ce dernier soit plus faible qu’en 2019.

Plus simplement : imaginons deux notes de mathématiques par semestre, sur deux semestres successifs.

Semestre 1 : note 1 : 12 (coef 4) et note 2 : 16 (coef 1) – moyenne : 12,8 Semestre 2 : note 1 : 11 (coef 2) et note 2 : 15 (coef 3) – moyenne : 13,4

Du semestre 1 vers le semestre 2, les notes ont baissé, mais la moyenne a augmenté !

On peut cependant dire que les résultats ont été moins bons au semestre 2… je vous laisse donc vous faire un avis pour le lycée dont les résultats 2018 et 2019 sont donnés plus haut.

Voici un tableau donnant, en millions de tonnes, la production mondiale de quatre céréales pour cinq années. Utilisez ces données pour répondre aux questions ci-dessous :

1. Quelle est la céréale dont la production a le plus augmenté entre 1962 et 2000 ?

augmentations : blé : 333 ; riz : 371 ; orge : 45 ; maïs : 390. C’est le maïs.

2. Cette augmentation est-elle aussi la plus forte en pourcentage ? taux d’augmentations : blé : 333 %

1,332 133,2

250= = ; riz : 371 %

1,634 163,4

227≈ = ;

orge : 45 %

0,51 51

88≈ = ; maïs : 390 %

1,912 191,2

204≈ = . C’est toujours le maïs.

3. Par rapport à la production totale de ces quatre céréales, quelle est l’évolution dans le temps de la production de blé ?

1962 : 250 %

0,3251 32,51

769 = = ; 1972 : 343 %

0,3141 31,41

1092= = ;

1982 : 476 %

0,3156 31,56

1508= = ; 1992 : 565 %

0,3155 31,55

1791= = ;

2000 : 583 %

0,3056 30,56

1908= = . La part du blé dans la production globale est très stable et montre une faible tendance à la baisse.

Exercice 18.

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Lors d’une élection, 44 551 212 personnes étaient inscrites. Il y a eu 22% d’abstention. A l’issue du vote, un candidat a reçu 19 856 077 voix. Quel a été le pourcentage réalisé par ce candidat parmi les votants ?

Cela dépend si on prend pour base le nombre d’inscrits ou le nombre de votants.

Inscrits : 19856077 / 44551212 = 0,4457 = 44,57%

Votants : 78% de 44551212 personnes ont voté, soit 34749945 personnes.

19856077 / 34749945 = 0,5714 = 57,14%

Les experts disent que 25% des accidents graves de bicyclette entraînent des blessures à la tête et que, parmi toutes ces blessures à la tête, 80% sont fatales. Quel pourcentage des accidents graves de bicyclette entraînent des blessures mortelles à la tête ?

80% de 25% = 80%×25% = 80/100×25/100 = 0,20 = 20%

En France, en dix ans, le nombre de jeunes de moins de vingt ans a été multiplié par 0,955. Traduire cette information par un pourcentage de variation.

Le coefficient multiplicateur vaut 0,955, soit (1 – 0,045) = (1 – 4,5%).

Le nombre de jeunes de moins de vingt ans a diminué de 4,5%.

Un magasin de vêtements propose des « soldes -40% ».

1. Le prix normal d’un jean est 48 € ; quel sera son prix soldé ? 48×0,6 = 28,8 €

2. Un t-shirt de prix normal 25 € est soldé à 15 €. Est-ce conforme ? taux de variation : -10/25 = -40% ; ok

3. Une veste est soldée à 108 €. Quel était son prix normal ? 108/0,6 = 180 €

En septembre, le prix du fuel a augmenté de 4,5%. On prévoit une baisse de 2% entre début et fin octobre.

Au 30 septembre, il coûtait en moyenne 1,088€.

1. Combien coûtait-il le 1er septembre ?

Notons P1 son prix au 1^er septembre. P1×1,045 = 1,088 ; donc P1 = 1,04115 € 2. Combien coûtera-t-il le 31 octobre ?

Notons P3 son prix au 31 octobre. 1,088×0,98 = P3 ; donc P3 = 1,06624 € 3. Quel aura été le pourcentage global de variation sur ces deux mois ?

(1,06624 – 1,04115)/1,04115 = 0,0241 = +2,41 %.

Un article vaut 79 € TTC. Le taux de TVA s’élève à 20 %. Quel est le montant HT ? HT × 1,20 = 79 ; donc HT = 79/1,20 = 65,83 €.

Dans un article de presse, on peut lire que le prix du gasoil à la pompe a augmenté successivement de 5%, 8% et 10%, puis a baissé de 15%. Entre les instants initial et final, quelle a été le taux de variation du prix du gasoil ?

Entre les instants initial et final, le prix a été multiplié par 1,05 × 1,08 × 1,10 × 0,85 = 1,06029.

Le prix a donc augmenté de 6,029 %.

Exercice 19.

Exercice 20.

Exercice 21.

Exercice 22.

Exercice 23.

Exercice 24.

Exercice 25.

2 Mathématiques financières

(les intérêts sont composés, sauf mention contraire)

Plaçons 1000 € à 5% sur 8 ans. Quel taux serait équivalent sur 6 ans ?

Le but est de rechercher à quel taux nos 1000€ rapporteraient la même somme d’argent (valeur acquise) en six ans que placés à 5% en huit ans.

À 5% en huit ans : à terme : C8 = 1000×1,05⁸ = 1477,46 A t = p% en six ans : à terme : C6 = 1000×(1 + t)⁶ … = 1477,46

Il faut donc que (1 + t)⁶ = 1,47746 et donc que 1 + t = 1,47746^1/6 = 1,06722 Le taux équivalent en six ans est donc 6,722%.

Soit trois capitaux initiaux placés à 8% : 1000€ sur 2 ans, 500€ sur 4 ans, 1500€ sur 5 ans.

Quelle est l’échéance n d’un capital équivalent de 3200€ initiaux placés au même taux en intérêts composés ?

Le but est de rechercher la durée pendant laquelle nos 3200€ doivent être placés, pour aboutir à terme à la même valeur acquise globale que ce que donnent les autres placements cumulés.

Valeur acquise globale : 1000.1,08² + 500.1,08⁴ + 1500.1,08⁵ = 4050,64 Valeur acquise des 3200€ pendant n années : Cn = 3200.1,08ⁿ … = 4050,64 donc 1,08ⁿ = 1,2658, soit n = ln(1,2658)/ln(1,08) = 3,0629 ans = 36,75 mois

L’entreprise Alpha emprunte le 01/01/N 100000€ sur 5 ans, remboursables par amortissements constants, au taux de 5% l’an. Dresser puis compléter le tableau d’amortissement de cet emprunt.

On calcule d’abord l’amortissement annuel, puis les capitaux restants dus, sur la base desquels le taux d’intérêts est appliqué. Exemple : intérêt de l’année N = 5% de 100000 = 5000€ ; intérêt de l’année N+1

= 5% de 80000 = 4000€, et ainsi de suite.

Années Capital restant dû (début de

période)

Amortissement Intérêts Annuités de remboursement

Capital restant dû (fin de

période) N

N + 1 N + 2 N + 3 N + 4

100000 80000 60000 40000 20000

20000 20000 20000 20000 20000

5000 4000 3000 2000 1000

25000 24000 23000 22000 21000

80000 60000 40000 20000

0

100000 15000 115000

L’entreprise Alpha emprunte le 01/01/N 100000€ sur 5 ans, remboursables par annuités constantes, au taux de 5% l’an. Dresser puis compléter le tableau d’amortissement de cet emprunt.

On calcule d’abord l’annuité par la formule ci-dessus, puis le premier intérêt (égal au taux appliqué au capital de départ) qui nous permet d’en déduire le premier amortissement, d’où le capital restant dû en fin de première année, et ainsi de suite.

Années Capital restant dû (début de

période)

Amortissement Intérêts Annuités de remboursement

Capital restant dû (fin de période)

N 100000,00 18097,48 5000,00 23097,48 81902,52

N + 1 81902,52 19002,35 4095,13 23097,48 62900,17

N + 2 62900,17 19952,47 3145,01 23097,48 42947,69

N + 3 42947,69 20950,10 2147,38 23097,48 21997,60

N + 4 21997,60 21997,60 1099,88 23097,48 0,00

100000,00 15487,40 115487,40

Exercice 26. Taux équivalents – TD cours page 10

Exercice 27. Capitaux équivalents – TD cours page 10

Exercice 28. Emprunt à amortissements constants – TD cours page 11

Exercice 29. Emprunt à annuités constantes – TD cours page 12

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1. calcul de l’annuité :

( )

,

0 5

100000 0 05 23097,48 1 1,05

1 1 ^{− −}

= = =

− + ⁿ − a C t

t

puis on reporte cette valeur sur chaque ligne du tableau (colonne « annuités ») 2. calcul du montant des intérêts : premier intérêt = 5% de 100000 = 5000.

3. calcul du capital remboursé cette année : = annuité – intérêts = 18097,48 (année N)

4. calcul du capital restant dû : = ancien capital restant dû – amortissement = 81902,52 (début N+1) puis on repart du point 2. pour compléter la deuxième ligne (montant des intérêts année N+1 = 5% de 81902,52 = 4095,13), et ainsi de suite.

On place un capital C0 = 15000 € à intérêts composés au taux annuel t = 5%. Exprimer Cn+1 en fonction de Cn

et de t, calculer le capital possédé au bout de 10 ans et dire au bout de combien de temps on obtiendra le double du capital de départ.

Cn+1 = (1 + t) × Cn (= 1,05 × Cn) C10 = C0 × 1,05¹⁰ = 24433,42 € Cn = 2C0 ⇔ 1,05ⁿ = 2 ⇔ n = ln2 / ln1,05 ≈ 14,2.

On aura doublé le capital de départ au bout de 14 ans et 3 mois.

Une personne souhaite obtenir une somme de 37000 € au 1^er octobre 2018. Quelle somme doit-elle placer, au taux annuel de 5%, le 1^er janvier 2014 ?

Entre ces deux dates, il s’écoulera 4 ans et 9 mois. 9 mois / 12 = 0,75 ; donc n = 4,75.

au 1^er octobre 2018, on devra avoir C0 × 1,05^4,75 = 37000 €, soit : C0 = 37000 / 1,05^4,75≈ 29346,25 €.

Un capital de 5000 € est déposé à intérêts composés pendant 7 ans.

Déterminer le taux d’intérêt annuel sachant que ce capital a produit 3569 € d’intérêts.

C7 = 8569 et C0 = 5000, donc (1 + t)⁷ = 8569 / 5000 = 1,7138, soit : 1 + t = 1,7138^1/7≈ 1,08. Le taux annuel vaut 8 %.

Vous placez 1000 € le 1^er janvier, au taux annuel de 6%, mais vous désirez retirer votre argent au bout de 6 mois. Combien retirerez-vous ?

6 mois = 0,5 année : n = 0,5. On retirera : C0,5 = C0 × 1,06^0,5≈ 1029,56 €

Une personne place 75000 € du 15 mai N au 15 septembre N sur un compte rapportant 9,5% l’an en intérêts simples. Quelle est la valeur acquise à l’issue du placement ?

Entre ces deux dates, il se passe 4 mois. Valeur acquise : C = 75000 × (1 + 9,5%×4/12) = 77375 € Quelle somme doit-on placer sur un compte rapportant à intérêts simples 7,5% l’an pour obtenir 50000 € dans onze mois ?

Sur une période de 11 mois, n = 11/12.

On a : C0 × (1 + 7,5%×11/12) = 50000 €, soit : C0 = 50000 / 1,06875 ≈ 46783,63 €.

Le 1^er mars N, 10000 € sont placés au taux annuel de 6%. Quel serait le taux équivalent pour que la même somme placée le 1^er juillet N rapporte autant que la première au 31 décembre N ? (on comptera une année de 12 mois de 30 jours chacun)

Du 1^er mars au 31 décembre, la durée en années est n = 10/12.

La valeur acquise sera donc C = 10000 × 1,06^10/12 ≈ 10497,56 €.

Du 1^er juillet au 31 décembre, la durée en années est n = 6/12 = 0,5.

On doit trouver t tel que (1 + t)^0,5 = 1,049756, soit 1 + t = 1,049756² ≈ 1,1020.

Le taux équivalent est 10,2 %.

Exercice 30.

Exercice 31.

Exercice 32.

Exercice 33.

Exercice 34.

Exercice 35.

Exercice 36.

Une société est débitrice de trois capitaux, au taux d’intérêts simples annuel de 7% : 15000 € à échéance d’un mois, 40000 € à échéance de 2 mois et 55000 € dans 3 mois.

1. Elle souhaite remplacer ces dettes par un capital unique à échéance de 5 mois. Quel doit être le montant de ce nouveau capital ?

Valeur actuelle de l’ensemble des dettes (aujourd’hui) :

15000 / (1+7%×1/12) + 40000 / (1+7%×2/12) + 55000 / (1+7%×3/12) = 108505,78 €.

Montant équivalent à rembourser dans 5 mois : 108505,78×(1+7%×5/12) = 111670,53 €

2. Elle souhaite remplacer ces dettes par le remboursement d’un capital de 110000 €. Déterminer la date d’échéance de ce dernier.

Il faut que 110000 / (1+7%×n/12) = 108505,78. Donc : 1+7%×n/12 = 110000 / 108505,78 = 1,013771, soit 7%×n/12 = 0,013771, soit n = 2,36 (2 mois et 11 jours)

1. Calculer le taux annuel équivalent au taux mensuel de 1%.

Coefficient mensuel : 1,01. Coefficient annuel : 1,01¹² = 1,1268 : 12,68 % annuels 2. Calculer le taux mensuel équivalent au taux annuel de 8%.

Coefficient annuel : 1,08. Coefficient mensuel : 1,08^1/12 = 1,006434 : 0,6434 % mensuels

On propose à l’acquéreur d’un appareil valant 4000 € de régler 1600 € au comptant, puis 24 mensualités égales dont la somme est le capital restant dû majoré de 20%.

Quel est le taux d’intérêts simples auquel est accordé ce crédit ?

Le montant de l’intérêt, en intérêts simples, vaut i = C0×t×n (n en années, pour t taux annuel).

Ici, n = 2 (ans) ; C0 = 4000 – 1600 = 2400 ; i = 20%×2400 = 480.

Donc le taux annuel est t = 10% (en intérêts simples, l’intérêt est proportionnel à la durée).

Sur un compte rémunéré à 3% d’intérêts annuels, on dépose 2000 € le 01/01/2014, puis 500 € tous les six mois. Le 01/01/2016, on retire 3000 €. De quelle somme dispose-t-on fin 2018 ?

On peut réfléchir séparément aux différents ajouts ou retraits.

* Les 2000 € de départ auront été placés pendant 5 ans. Ils auront donné fin 2018 : 2000×1,03⁵ = 2318,55

* 500 € sont versés tous les 6 mois, à partir du 01/07/2014. Le premier versement rapporte des intérêts pendant neuf périodes de 6 mois, le second pendant huit périodes, et ainsi de suite jusqu’à celui du 01/07/2018 qui rapporte des intérêts pendant une période (et comptons aussi celui du 01/01/2019 : 500 €, qui ne rapporte pas d’intérêts).

Le coefficient multiplicateur sur 6 mois est 1,03^0,5 = 1,014889.

Au total, nous aurons au 01/01/09 : 500×1,014889⁹ + 500×1,014889⁸ + … + 500×1,014889¹ + 500, que l’on peut calculer tel quel ou en utilisant ses connaissances sur les suites géométriques (somme des 10 premiers termes u0 à u9, avec u0 = 500 et q = 1,014889) : 5348,66 €.

* enfin, les 3000 € retirés font perdre non seulement cette somme, mais aussi les intérêts qu’on aurait pu récolter en 3 ans (du 1^er janvier 2016 au 1^er janvier 2019), soit 3278,18 €.

Globalement : 2318,55 + 5348,66 - 3278,18 = 4389,03 : somme possédée le 01/01/2019.

On peut aussi calculer ce que l’on possède tout au long du placement, tous les six mois :

solde : ajouts/retraits : solde : ajouts/retraits début 2014 2000

mi 2014 2529,77831 500 début 2017 2209,36445 500

début 2015 3067,44458 500 mi 2017 2742,26002 500

mi 2015 3613,11624 500 début 2018 3283,08996 500

début 2016 1166,91249 -2500 mi 2018 3831,9724 500

mi 2016 1684,28684 500 début 2019 4389,02724 500

À partir de mi-2014, le solde de la fin du semestre S est le produit du solde précédent par le coefficient semestriel (1,014889), plus la somme déposée en fin de semestre S.

Exercice 37.

Exercice 38.

Exercice 39.

Exercice 40.

____________________________________________________________________________

Une société emprunte 200000 € le 1^er mai N pour financer un investissement, au taux annuel net de 8%.

Présenter le tableau d’amortissement de l’emprunt, en amortissements annuels constants, sur 4 ans.

On peut dresser un tableau d’amortissement « de principe », découpant la période de 4 ans en quatre périodes de remboursement équivalentes :

Années

Capital restant dû (début de

période)

Amortissement Intérêts Annuités de remboursement

Capital restant dû (fin de

période) N

N+1 N+2 N+3

200000 150000 100000 50000

50000 50000 50000 50000

16000 12000 8000 4000

66000 62000 58000 54000

150000 100000 50000

0

200000 40000 240000

Remarque importante, non exigible en devoir de mathématiques :

Cependant, le tableau d’amortissement tel qu’il sera réellement fourni par une banque ne sera pas aussi simple : il prendra en compte le fait que l’année N n’est pas à compter comme une année complète (de mai à décembre : 2/3 d’année), ce qui implique que l’emprunteur n’a pas à rembourser la totalité d’un amortissement, la première année, mais seulement les deux tiers. La durée de remboursement étant prévue sur quatre ans, l’intervalle correspondant va du 1er mai N au 1er mai N+4, ce qui rajoutera un cinquième paiement au 31 décembre de l’année N+4 pour le tiers d’un amortissement (celui qui n’avait pas été compté en année N) – idem pour les intérêts :

Années

Capital restant dû (début de

période)

Amortissement Intérêts Annuités de remboursement

Capital restant dû (fin de

période) N

N+1 N+2 N+3 N+4

200000 166666,67 116666,67 66666,67 16666,67

33333,33 50000 50000 50000 16666,67

10666,67 13333,33 9333,33 5333,33 1333,34

44000 63333,33 59333,33 55333,33 18000,00

166666,67 116666,67 66666,67 16666,67

0 200000 40000,00 240000,00

Le remboursement se fait sur 4 ans, mais débute un 1^er mai. Il touche donc cinq années civiles, cinq exercices comptables.

En amortissements constants sur 4 ans, l’amortissement d’une année est le quart du capital emprunté : 50000 €, ce qui se retrouve dans le tableau pour les lignes correspondant aux années complètes de remboursement. Les années N et N+4 doivent cumuler 50000 € d’amortissement, au prorata de la durée de remboursement qu’elles représentent : le remboursement couvre les deux tiers de l’année N et le tiers de l’année N+4, soit un capital de 33333,33 € amorti en N et de 16666,67 € amorti en N+4.

Les intérêts, quant à eux, représentent 8% du capital restant dû en début de période, mis à par pour l’année N où la somme a été prêtée le 1^er mai et où le premier intérêt est à verser le 31 décembre.

Exercice 41.

Une société emprunte 150000 € le 1^er mai N pour financer un investissement, au taux annuel net de 8%.

1. Présenter le tableau d’amortissement de l’emprunt, en annuités constantes, sur 5 ans.

On peut dresser un tableau d’amortissement « de principe », découpant la période de 5 ans en cinq périodes de remboursement équivalentes :

Années Capital restant dû

(début de période) Amortissement Intérêts Annuités de remboursement

Capital restant dû (fin de période)

N 150000 25568,47 12000 37568,47 124431,53

N+1 124431,53 27613,95 9954,52 37568,47 96817,58

N+2 96817,58 29823,06 7745,41 37568,47 66994,52

N+3 66994,52 32208,91 5359,56 37568,47 34785,61

N+4 34785,61 34785,62 2782,85 37568,47 0

150000,01 37842,34 187842,35 Remarque importante, non exigible en devoir de mathématiques :

Cependant, le tableau d’amortissement tel qu’il sera réellement fourni par une banque ne sera pas aussi simple : il prendra en compte le fait que N n’est pas à compter comme une année complète (de mai à décembre : 2/3 d’année), ce qui implique que l’emprunteur n’a pas à rembourser en N la totalité d’un amortissement, mais seulement les deux tiers. La durée de remboursement étant prévue sur cinq ans, l’intervalle correspondant va du 1er mai N au 1er mai N+5, ce qui rajoutera un sixième paiement en N+5 pour le tiers d’un amortissement (non compté en N).

Deuxième difficulté : les années N et N+5 étant incomplètes, il est difficile d’interpréter la formule de calcul d’une annuité constante, qui n’est définie que pour une année entière. Nous pouvons

envisager de passer par le calcul de mensualités constantes, qui donnerait ici un tableau trop long à réaliser ; nous pouvons aussi envisager de calculer l’annuité par la formule du cours (37568,47 €) et de n’en compter que deux tiers pour N (25045,65 €) et un tiers pour N+5. Ce second choix

s’accompagne d’un calcul des intérêts à rembourser qui tient compte de cette durée de deux tiers d’une année, intérêts que 150000 € auraient rapportés à la banque dans cette période si elle n’avait pas prêté cette somme : i(N) = 150000×1,08^2/3 – 150000 = 7896,96.

Enfin, pour N+5, nous ajusterons le dernier amortissement à 11455,01 € afin que le capital final restant dû soit bien nul.

Années Capital restant dû

(début de période) Amortissement Intérêts Annuités de remboursement

Capital restant dû (fin de

période)

N 150000,00 17148,69 7896,96 25045,65 132851,31

N+1 132851,31 26940,37 10628,10 37568,47 105910,95

N+2 105910,95 29095,59 8472,88 37568,47 76815,35

N+3 76815,35 31423,24 6145,23 37568,47 45392,11

N+4 45392,11 33937,10 3631,37 37568,47 11455,01

N+5 11455,01 11455,01 916,40 12371,41 0,00

150000,00 37690,94 187690,94

2. Si le remboursement s’effectuait en mensualités constantes sur 5 ans (60 mois), à combien se monterait une mensualité ? Quel serait le capital restant dû au bout d’un an ?

Coefficient mensuel : 1,08^1/12 = 1,006434 Mensualité :

( )

0 60

0,006434

150000 3021,46

1 1,006434

1 1 ⁿ

m C t

t ^{− −}

= = ≈

− + −

Exercice 42.

____________________________________________________________________________

Dans le document de cours, en fin de page 12, on donne une formule permettant de calculer la somme des amortissements réalisés pendant k périodes depuis le début du remboursement :

( )

1

1 ^k 1

k

A A t t + −

=

Il nous faut calculer le capital A1 amorti le premier mois : différence entre la première mensualité et le premier intérêt. A1 = 3021,46 – 0,006434×150000 = 2056,36.

Ici, le capital amorti la première année vaut

12 12

1,006434 1

2056,36 25568,54

0,006434

A = × − ≈ .

Le capital restant dû est donc 150000 – 25568,54 = 124431,46 €.

Un groupement d’agriculteurs décide de la construction d’un silo. Pour cela, 60000 € sont nécessaires. Ce groupement va en financer 20% mais doit emprunter le reste, au taux de 7% sur 8 ans, remboursable par annuités constantes.

Calculer l’annuité de remboursement et le coût de l’emprunt (montant total des intérêts).

Le groupement emprunte 80% de 60000 €, soit 48000 €.

n = 8 ans et t = 7% (annuel). L’annuité est :

( )

, €

0 8

48000 0 07 8038,45 1 1,07

1 1 ⁿ

a C t

t ^{− −}

= = ≈

− + − Coût total du prêt : a×n – C0 = 16307,60 €.

A l’occasion de l’achat d’un véhicule, un de vos clients envisage de vous emprunter une somme de 8000 €, à rembourser par mensualités constantes. Vous pouvez lui proposer de vous rembourser en 3 ans au taux annuel net (TEG + assurance) de 6,55 %.

1. Calculer le montant de la mensualité correspondante, en déduire le coût total du prêt.

Le cours nous donne la formule de calcul d’une annuité, dans le cas des annuités constantes :

( )

01 1 ⁿ

a C t

t ⁻

= − + , où n est le nombre d’années et t le taux d’intérêts annuel.

Nous devons l’utiliser, mais s’agissant d’une mensualité, nous devrons obtenir le taux mensuel t et exprimer n en mois.

Taux annuel : 6,55 %. Coefficient annuel : 1,0655.

Coefficient mensuel : 1,0655^1/12 = 1,005301015. Taux mensuel : 0,005301015.

Mensualité :

( )

0 36

0,005301015

8000 244,69

1 1,005301015

1 1 ⁿ

m C t

t ^{− −}

= = ≈

− + −

Le coût total du prêt est la différence entre ce que l’on emprunte et ce que l’on rembourse : Coût = 36 × 244,69 – 8000 = 808,84 €.

2. Dresser et compléter les deux premières lignes du tableau d’amortissement du prêt.

mois Capital restant dû

(début de période) Amortissement Intérêt Mensualité Capital restant dû (fin de période)

M 8000 202,28 42,41 244,69 7797,72

M+1 7797,72 203,35 41,34 244,69 7594,37

Dans l’ordre :

Ligne « mois M » : On place le capital emprunté : 8000 ; on place les mensualités : 244,69.

On calcule le premier intérêt : taux mensuel × 8000 = 42,41 On calcule le capital amorti : mensualité – intérêts = 202,28

On en déduit le capital restant dû : 8000 – 202,28 = 7797,72 qui est ainsi le capital restant dû en début de mois M+1.

Ligne « mois M+1 » : On calcule l’intérêt : taux mensuel × 7797,72 = 41,34 On calcule le capital amorti : mensualité – intérêts = 203,35 On en déduit le capital restant dû : 7797,72 – 203,35 = 7594,37

Exercice 43.

Exercice 44.

3. Quel est le taux équivalent pour une durée de remboursement de 4 ans ? Quelle serait la nouvelle mensualité ?

Il s’agit, en 4 ans, d’atteindre la même valeur acquise que celle qu’on aurait pu calculer précédemment : 8000 € × 1,0655³ = 9677,21 €.

En 4 ans : 8000×(1+v)⁴ = 9677,21 ⇔ (1+v)⁴ = 1,20965, soit v = 1,20965^1/4 – 1 = 0,048733 = 4,8733 %.

Coefficient mensuel : 1,048733^1/12 = 1,0039731. Taux mensuel : 0,0039731.

Nouvelle mensualité :

( )

= = ≈

− + −

0 48

0,0039731

8000 183,39

1 1,0039731

1 1 ⁿ

m C t

t

4. Votre client trouve les mensualités (question a.) trop élevées et souhaite les voir abaissées en- dessous de 200 €. Vous lui proposez un remboursement sur 4 ans, mais en élevant de deux points le taux d’intérêts annuel. Est-ce que cela répond à ses attentes ?

On propose donc un remboursement sur 48 mois au taux annuel de 8,55 %.

Le taux mensuel t correspondant doit être calculé : Taux annuel : 8,55 %. Coefficient annuel : 1,0855.

Coefficient mensuel : 1,0855^1/12 = 1,00686. Taux mensuel : 0,00686.

Nouvelle mensualité :

( )

0 48

0,00686

8000 196,18

1 1,00686

1 1 ⁿ

m C t

t ^{− −}

= = ≈

− + − Cela répond aux attentes du client.

3 Méthodes du premier degré

Un groupement de commerçants planifie ses dépenses promotionnelles au jour le jour, sur une période d’un an. Il sait qu’au début de l’année, une dépense de 180 € par semaine suffit, mais qu’à la fin de l’année il faudra dépenser 400 € par semaine. Pour l’année, il dispose d’un budget de 14000 €. Pour des raisons simplificatrices, nous considérerons des dépenses régulières : 180 € par semaine pendant une certaine période, puis 400 € par semaine pour le reste de l’année.

Notre objectif est de déterminer à quel moment il faut passer à une dépense de 400 €.

1) Résolution par une équation unique

La mise en équation d’un problème débute par la définition de sa ou de ses variables.

Plutôt que risquer de se ″perdre″ dans l’énoncé, on s’orientera vers la question posée :

« …à quel moment… ».

Nommons x la durée pendant laquelle le groupement dépensera 180 €, en semaines.

Ensuite, nous devons écrire, en fonction de cette (ou de ces) variable, toute grandeur ou contrainte apparaissant dans l’énoncé.

a. Ecrire en fonction de x la dépense totale sur la première partie de l’année.

1ère partie de l’année : dépense totale = d1 = 180x

b. Ecrire en fonction de x la dépense totale sur la deuxième partie de l’année.

2^ème partie de l’année : dépense totale = d2 = 400(52 – x)

c. Ecrire alors en fonction de x la contrainte liée au budget de 14000 €. 180x + 400(52 – x) = 14000 d. L’équation vient d’être posée, il suffit de la résoudre puis de conclure.

180x + 20800 – 400x = 14000 ⇔ -220x = -6800 ⇔ 220x = 6800 x = 6800/220 = 30,91 semaines

2) Résolution par un système – représentation graphique

On peut voir dans un énoncé deux quantités évoluant conjointement.

Ici, la dépense totale (notons-la y) augmente avec le nombre de semaines écoulées (notons-le x).

Nous pouvons essayer d’exprimer l’une en fonction de l’autre et pourquoi pas visualiser graphiquement cette relation.

Attention : ce qu’on nomme x ici n’est pas ce qu’on nommait x dans les questions précédentes !

Exercice 45.

____________________________________________________________________________

a. Ecrire en fonction de x la dépense totale y1 lorsqu’on dépense 180 € par semaine, sachant qu’au début de l’année cette dépense est nulle. y1 = 180x

b. Ecrire en fonction de x la dépense totale y2 lorsqu’on dépense 400 € par semaine, sachant qu’à la fin de l’année cette dépense atteint 14000 €. y2 = 400x + b et 14000 = 400×52 + b, donc b = -6800 c. Déterminer la valeur de x qui rend y1 et y2 égales.

( )

( )

180 400 6800

 =



= −



y x E

y x E 180x = 400x – 6800 x = 6800/220 = 30,91 semaines

d. Représenter graphiquement (page suivante) les droites D1 et D2 dont les équations expriment y1 et y2, puis repérer sur ce graphique la solution du système que vous venez de résoudre.

Développer, réduire et ordonner les expressions ci-dessous, puis dire (pour les points a. et e.) pour quelle valeur de x elles s’annulent et donner leur sens de variation.

a. 4(1 - x) + 5(2 + 3x) = 4 – 4x + 10 + 15x = 11x + 14, s’annule pour x = -14/11.

Le coefficient de x vaut 11 ; il est positif, donc 11x + 14 augmente avec x.

b. -(b - a) - (c - b) - (a - c) = -b + a – c + b – a + c = 0

c. (x + y)z + 2(y + z)x + 3(z + x)y = xz + yz + 2xy + 2xz + 3yz + 3xy = 5xy + 4yz + 3xz d. 3(a - b + 3) - (b - 3)(a - 3) = 3a – 3b + 9 – ab + 3a + 3b – 9 = 6a – ab = a(6 – b) e. -2(3 - 5x) + 6(-2x + 1) = -6 + 10x – 12x + 6 = -2x, s’annule pour x = 0.

Le coefficient de x vaut -2 ; il est négatif, donc -2x diminue lorsque x augmente.

f. -(m - 2 + 3p) + 2m - 5 - 6p - (-1 + 4 - 10p) = -m + 2 – 3p + 2m – 5 – 6p + 1 – 4 + 10p = m + p – 6 Compléter le tableau ci-dessous en traçant, dans chacune des neuf cases, une droite d’équation y = ax + b qui convienne.

Exercice 46.

Exercice 47.

Un club scolaire a projeté une excursion en bus dans un parc naturel. La location d’un bus pouvant

transporter au maximum 45 personnes coûtera 600 € et les billets d’entrée coûtent 30 € chacun. Si le club facture l’excursion 50 € à chaque participant, combien de personnes, au moins, doivent s’inscrire à l’excursion pour que tous les frais soient couverts ?

Soit x le nombre de personnes inscrites. Frais : 30x + 600 ; recettes : 50x.

50x ≥ 30x + 600 ⇔ 20x ≥ 600 ⇔ x ≥ 30 Il faut qu’au moins 30 personnes s’inscrivent.

Les deux annonces suivantes ont été publiées : IMMEUBLE A

espace disponible pour des bureaux 60 - 70 mètres carrés : 420 €/mois 100 - 120 mètres carrés : 800 €/mois

IMMEUBLE B

espace disponible pour des bureaux 40 - 130 mètres carrés : 90 €/m²/an Pour quelles surfaces l’immeuble A revient-il plus cher que l’immeuble B ? (résolution par le calcul et illustration graphique)

Entre 60 et 70 m², le coût « A » est à l’année 12×420 = 5040€ et le coût « B » annuel minimal est 60×90 = 5400€. B est donc plus cher que A.

Entre 100 et 120 m², les choses sont différentes. Le coût « A » annuel est 12×800 = 9600€, tandis que le coût « B » pour une surface x m² est 90x. 90x < 9600 ⇔ x < 106,7 environ.

A revient plus cher que B uniquement pour des espaces de 100 à 106,7 m².

Ci-dessous : représentation graphique des coûts mensuels en fonction de la surface pour les immeubles A (en bleu) et B (en rouge). L’équation de la droite rouge est y = 7,5x, car 90€/m²/an correspondent à 7,5€/m²/mois.

Une entreprise vend un article au prix de 8€ et à ce tarif elle en vend 25 par jour. Le premier jour, elle a un stock de 10000 articles à écouler ; au bout d’un certain nombre de jours, elle organise une promotion sur cet article, afin d’accélérer les ventes : au prix de 5€, elle en vend 40 par jour. Le 300^e jour, tout le stock de départ a été vendu.

Déterminer graphiquement, puis par le calcul, à quel jour la promotion a débuté. Calculer alors le chiffre d’affaires total réalisé.

On mettra en abscisses le nombre de jours de ventes depuis le début et en ordonnées le nombre total d’articles vendus.

Exercice 48.

Exercice 49.

Exercice 50.

____________________________________________________________________________

Soit x le jour considéré, entre 1 et 300, et y le nombre total d’articles vendus depuis le début jusqu’au jour x. Le début de la vente se fait à un rythme constant de 25 articles par jour, dont la représentation graphique est donc une droite (contenant l’origine puisque pour x = 0, y = 0) ; équation de cette droite : y = 25x. La fin de la vente se fait aussi à un rythme constant, donc à la manière d’une droite (y = ax + b avec a = 40), et l’information chiffrée est ici : pour x = 300, y = 10000. Utilisant ces valeur de a, x et y, on trouve celle de b : -2000. Équation de cette droite : y = 40x – 2000.

a. ^{x y x}

(

)

x y y x y x y

− =  − − = = =

  

⇔ ⇔ ⇔

   

+ = = − = − =

   

2 8 2 7 8 3 15 5

7 7 7 2 (substitution)

4 2 4 2 4 2 4 2 4

b. 6 13 6 13 6 13 4 2 10 15 1,5

x y y x y x y x y

x y y x x x x x

+ = = − + = − + = − + = −

    

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

    

− = = − − = − + = =

     (ident.)

c. ( )^{2 2} ( ) ( )^{1 2}

2 7 14 2 7 14 2 7 14 7

3 7 6 2 14 13 0 0

x y x y x y x

y x × y x + y y

+ = + = + = =

   

⇔ ⇔ ⇔

   

− = − − = − = =

    (combinaison linéaire)

d. 2 8 ^{( )1 3} 6 3 24

6 3 20 6 3 20

x y x y

impossible

x y x y

− = × − =

 

⇔

 

− = − =

 

Un particulier a fait intervenir chez lui un tapissier et un carreleur, sur deux jours. Le premier jour, le carreleur a posé 10 m² et le tapissier 36 m². Le deuxième jour, le carreleur a posé 30 m² et le tapissier 52 m². Le montant des factures additionnées est 2520 € et le deuxième jour a coûté deux fois plus cher que le premier. Quels sont les tarifs au m² du carreleur et du tapissier ?

Soit x le prix au m² du carreleur et y celui du tapissier. Les indications séparées sur les deux jours donnent le système de deux équations suivant :

2 1 2

10 36 840 10 36 840 30

30 52 1680 3 56 840 15

x y x y x

L L L

x y y y

+ = + = =

  

⇔ ⇔

  

← −

+ =  =  =



.

x y z x y z x y z x

x y z L L L y z y z y

x y z L L L y z L L L z z

+ + = + + = + + = =

   

   

+ − = − ← − ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ = −

   

 − + = ← −  − + = ← +  − = −  =

   

2 2 1

3 3 1 3 3 2

2 4 5 2 4 5 2 4 5 1,5

a 6 2 6 2 8 5 17 8 5 17 0,25

2 5 2 8 5 4 12 3

(Gauss)

Exercice 51. Résoudre

Exercice 52.

Exercice 53. Résoudre

( )

.

2 2 2 2 2 2

b 2 4 4 2 4 2 2 2

2 8 2 8 2 8

2 2 2 0,5

3 3 4,5 (substitution)

2 8 2 6 8 1,5

x y z y x z y x z

x y z z x y z x x z

x y z x y z x y z

y x z y x y

z x z x z

x y z x x x x

+ + = = − − = − −

  

  

+ + = ⇔ = − − ⇔ = − − − −

  

 + + =  + + =  + + =

  

= − − = + =

  

  

⇔ = − ⇔ = − ⇔ =

 + + =  + + − =  = −

  

. _{2 2 1}

3 3 1 3 2 3

4 5 4 5 4 5 2

c 2 5 3 18 2 13 5 28 13 5 28 1

3 10 3 13 4 25 3 3

x y z x y z x y z x

x y z L L L y z y z y

x y z L L L y z L L L z z

+ − = − + − = − + − = − =

   

   

− + = ← − ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ = −

   

 − + = ← − − + = ← −  =  =

   

(Gauss)

4 Programmation linéaire

Exemple développé progressivement dans les exercices 54, 55 et 56.

Une société met en bouteille de l'eau minérale, suivant deux conditionnements :

* par bouteilles d'un litre et demi, vendues 800 € le lot de 1000 bouteilles,

* par bouteilles d'un demi litre, vendues 300 € le lot de 1000 bouteilles.

Pour être produite, chaque bouteille doit passer par 3 ateliers :

atelier 1 : remplissage ; durée maximale de travail hebdomadaire : 68 h,

atelier 2 : sertissage, étiquetage ; durée maximale de travail hebdomadaire : 88 h, atelier 3 : emballage, conditionnement ; durée maximale de travail hebdomadaire : 76 h.

Le tableau ci-dessous indique les temps nécessaires, en heures, à prévoir dans chaque atelier pour chaque lot de 1000 bouteilles à produire :

atelier 1 atelier 2 atelier 3

1,5 L 3 h 3 h 1 h

0,5 L 1 h 2 h 2 h

Combien doit-on produire (et vendre) de chaque type de lot pour optimiser le chiffre d'affaires ?

a. Que sont ici les variables ?

x : nombre de lots de bouteilles d’1,5 litre ; y : nombre de lots de bouteilles de 0,5 litre b. Sur quelles grandeurs l’énoncé pose-t-il des contraintes ?

Temps maximal passé dans chaque atelier

c. Pour ces quantités produites variables x et y, comment exprimer le temps passé dans l'atelier 1 ? x fois 3h + y fois 1h = 3x + y

d. Faire de même pour les ateliers 2 et 3 atelier 2 : 3x + 2y ; atelier 3 : x + 2y

e. Récapituler l'ensemble des contraintes imposées aux quantités x et y dans un système unique, où chaque inéquation sera écrite sous sa forme réduite.

, ,

3 68 3 68 3 68

3 2 88 2 3 88 1 5 44

2 76 2 76 0 5 38

x y y x y x

x y y x y x

x y y x y x

+ ≤ ≤ − + ≤ − +

  

  

+ ≤ ⇔ ≤ − + ⇔ ≤ − +

  

 + ≤  ≤ − +  ≤ − +

  

Exercice 54. TD4.1 : Système de contraintes

____________________________________________________________________________

a. Représenter ci-dessous, dans un repère orthogonal, les droites issues des inéquations du système de contraintes obtenu au TD4.1 : on légendera correctement les axes du repère ainsi que les droites tracées

b. Donner les coordonnées des sommets de ce polygone.

c. L'entreprise peut-elle produire 5 lots de 100 bouteilles de 1,5 L et 15 lots de 0,5 L ?

Voir le point E de la figure. Ce dernier se trouvant dans la zone solution du système de contraintes, la production proposée respecte les contraintes. Réponse : oui

d. L'entreprise peut-elle produire 20 lots de 100 bouteilles de 1,5 L et 20 lots de 0,5 L ?

Voir le point F de la figure. Ce dernier se trouvant hors de la zone solution du système de contraintes, la production proposée ne respecte pas les contraintes. Réponse : non

On appelle C(x, y) le chiffre d'affaires réalisé par la vente de x lots de 100 bouteilles de 1,5 L et de y lots de 100 bouteilles de 0,5 L. C sera à optimiser : c'est notre fonction objectif.

a. Calculer C(5, 15) puis C(20, 20).

C(5, 15) = 5×80 + 15×30 = 850 € ; C(20, 20) = 20×80 + 20×30 = 2200

€

b. Pour en simplifier l'écriture, on notera C le chiffre d'affaires défini ci- dessus. Exprimer C en fonction de x et y. C = 80x + 30y

Mettre cette expression sous la forme de l'équation réduite d'une droite DC. En divisant par 30 : y = -8/3.x + C/30

c. Tracer sur le graphique du TD4.2, les droites D1200 et D2400. D1200 : y = -8/3.x + 40 ; D2400 : y = -8/3.x + 80 (voir graphique) d. Répondre graphiquement aux questions suivantes :

Existe-t-il des productions réalisables - couples (x, y) - donnant un chiffre d'affaires de 1200 € ?

Certains points de cette droite sont à l’intérieur de la zone solution, donc : oui.

Existe-t-il des productions réalisables - couples (x, y) - donnant un chiffre d'affaires de 2400 € ? Tous les points de cette droite sont à l’extérieur de la zone solution, donc : non.

e. La droite d'iso-profit maximisant le chiffre d'affaires est celle qui, tout en possédant au moins un point commun avec l'intérieur du polygone des contraintes ou avec le polygone lui-même, possède la plus grande ordonnée à l'origine possible. Trouver cette droite, graphiquement.

Toutes les droites d’iso-profit sont parallèles (même pente : -8/3) ; C maxi ⇔ C/30 maxi (ordonnée à l’origine) ⇔ DC la plus haute

On recherche la droite DC la plus haute encore en contact avec la zone solution : c’est celle qui contient le point C(16 ; 20) de cette zone.

f. Récapituler :

Il faut produire 16 lots de bouteilles d’1,5 L et 20 lots de bouteilles de 0,5 L.

Chiffre d’affaires maximal correspondant : C = 16×80€ + 20×30€ = 1880 €

Exercice 55. TD4.2 : Polygone des contraintes

Exercice 56. TD4.3 : Fonction objectif, droites d'iso-profit

Une entreprise fabrique deux produits A et B. Le produit A nécessite 2 heures de travail sur la machine M, 3 heures de main d'œuvre et 3 kg de matière première. Le produit B nécessite 1 heure de travail sur la machine M, 1 heure de main d'œuvre et 3 kg de matière première. Le produit A rapporte un bénéfice de 80 euros, le produit B de 40 euros.

Sachant que l'entreprise ne dispose que de 800 heures de la machine M par mois, 900 heures de main d'œuvre et 1500 kg de matière première, déterminer les quantités des produits A et B qu'elle doit fabriquer par mois afin de réaliser un bénéfice mensuel maximum. Quel est alors ce bénéfice ?

Résumons l’énoncé :

machine main d’œuvre mat. première bénéfice

par produit A : 2 h 3 h 3 kg 80 €

par produit B : 1 h 1 h 3 kg 40 €

contrainte par mois : ≤ 800 h ≤ 900 h ≤ 1500 kg

* Les variables sont (question posée) : x = quantité de produit A ; y = quantité de produit B

* Pour produire x produits A PLUS y produits B, les contraintes sont :

x y y x y x

x y y x y x

x y y x y x

+ ≤ ≤ − + ≤ − +

  

  

+ ≤ ⇔ ≤ − + ⇔ ≤ − +

  

 + ≤  ≤ − +  ≤ − +

  

2 800 2 800 2 800

3 900 3 900 3 900

3 3 1500 3 3 1500 500

On trouve page suivante les trois droites correspondantes (en vert), ainsi que la zone solution du système, hachurée, répondant aux trois inégalités imposées dans le système.

* La fonction objectif, à optimiser, est ici le bénéfice, qu’on note F.

Pour la vente de x produits A PLUS y produits B, le bénéfice vaut : F = 80x + 40y.

La forme réduite de cette expression est : y = -2x + F/40.

Elle représente une famille d’une infinité de droites (F est a priori un réel quelconque), toutes parallèles entre elles (pente = -2).

Chaque droite est associée à un bénéfice F donné. Dans cette famille, plus la droite est haute, plus le bénéfice est important (« F est plus haut » équivaut à « l’ordonnée à l’origine est plus grande »). Il faudra donc trouver la plus haute droite possible.

Prenons par exemple F = 20000 €, donnant y = -2x + 500 (voir droite D5 en rouge).

Cette droite possède des points à l’intérieur de la zone solution ; on voit que l’on peut trouver une droite plus haute qui en possède encore.

À partir de D5, remontons parallèlement jusqu’à ne plus être en contact avec la zone solution : on se retrouve en D7, dont le seul point intéressant est le point d’intersection de D2 et D3.

Coordonnées de ce point : -3x + 900 = -x + 500 ssi 2x = 400 ssi x = 200 ; y = -x + 500 = 300 Il faut vendre 200 produits A et 300 produits B pour avoir le meilleur bénéfice possible.

Ce dernier vaut : F = 80x + 40y = 28000 €

Exercice 57.

____________________________________________________________________________

Pour fleurir un parc, il faut au minimum : 1200 jacinthes, 3200 tulipes et 3000 narcisses.

Deux pépiniéristes proposent : * l'un le lot A : 30 jacinthes, 40 tulipes et 30 narcisses, pour 75 €

* l'autre le lot B : 10 jacinthes, 40 tulipes et 50 narcisses, pour 60 € Combien de lots A et de lots B doit-on acheter pour que la dépense soit minimale ?

Quelle est alors cette dépense ?

La société DevS1 commercialise deux types de coffres métalliques, qu'elle doit faire transporter par camion de son site de production vers son site de vente. Un coffre de type A a un volume de 0,2 m³ et pèse 80kg ; un coffre de type B a un volume de 0,5 m³ et pèse 120kg. Un camion du transporteur a une capacité de 20 m³ et de 6,24 tonnes. Ce transporteur facture à DevS1 10€ par coffre A et 15€ par coffre B transporté, alors qu'un coffre A vendu rapporte 35€ à DevS1 et qu'un coffre B lui rapporte 55€.

L'objectif est ici de connaître les nombres de coffres A et B à charger dans un camion pour que le bénéfice réalisé par DevS1 soit optimisé.

1) Contraintes

a. Exprimer en fonction des nombres de coffres x et y la contrainte de volume d'un camion.

b. Exprimer en fonction des nombres de coffres x et y la contrainte de charge d'un camion.

c. Montrer que ces deux contraintes peuvent se résumer au système suivant : d. Que sait-on de plus sur la nature des nombres x et y ?

Exercice 58.

Exercice 59.

0 4, 40 2 52 3

y x

y x

≤ − +



 < − +



e. Représenter graphiquement les solutions (zone hachurée) de ce système.

échelles : 1 cm pour 10 coffres A, 1 cm pour 5 coffres B.

2) Fonction objectif : le bénéfice

a. Exprimer le bénéfice B réalisé par DevS1 lors du transport de x coffres A et y coffres B.

b. Montrer que, sous forme réduite, l'expression devient : , B y= −0 625x+

40 c. Tracer sur votre graphique la droite correspondant à un bénéfice de 800€.

d. La droite de bénéfice optimale est-elle la plus haute ou la plus basse possible ? Pourquoi ? e. Tracer cette droite, donnant le meilleur bénéfice possible. Expliquer.

f. Combien de coffres de chaque type faut-il placer dans un camion pour optimiser le bénéfice ? g. Que vaut alors ce bénéfice ?

h. Vérifier que cette valeur concorde avec l'ordonnée à l'origine de votre droite.