Coût marginal et coût moyen

____________________________________________________________________________

1 – Coût marginal Définition :

Lorsqu’on envisage de produire q unités de notre produit, le coût marginal est le coût de production de l’unité supplémentaire. C’est donc la différence entre le coût de production de q+1 unités et celui de q unités. Par définition, le coût marginal Cm(q) est donc :

C

m

( ) q = C q ( + − ¹ ) ( ) C q

. marginal est le taux de variation de la fonction C entre un point A d’abscisse q et un point B d’abscisse q+1, autrement dit : Cm

( )

q est la pente de la droite (AB).

a. Saisir la fonction C sur votre calculatrice, établir un tableau de valeurs afin de confirmer la justesse de la courbe donnée au graphique 1 ; vous donnerez en particulier C(0), C(50) et C(150).

150 151 150 35656,02 35000 656,02 150 0,06 150 6 150 200 650

m

En effet, coût marginal, Cm, et nombre dérivé du coût total, C’, sont très proches.

********** A partir de ce point, le coût marginal sera calculé par ^{C q′}

( )

.**********

d. En lisant le graphique 1, où trouve-t-on approximativement les valeurs du coût marginal ? Le coût marginal est, d’après ce qu’on nous dit deux lignes plus haut, la pente de la tangente à la courbe de C. Dans le graphique 1, une fois une quantité q choisie, on peut donc tracer la tangente à la courbe puis mesurer sa pente (en prenant deux points de cette droite).

e. Saisir la fonction C ’ sur votre calculatrice et établir un tableau de valeurs de C ’, puis tracer la courbe de cette fonction sur le graphique 2 donné en fin de document (vous la légenderez en la nommant Cm : il s’agit du coût marginal).

Quelques valeurs :

q 0 20 40 50 60 80 100 120 140 160

C’(q) 200 104 56 50 56 104 200 344 536 776

f. Commenter les variations du coût marginal en fonction de q. Donner en particulier les conditions d’un coût marginal minimal (par le calcul, puis en confirmation visuelle avec les graphiques 1 et 2).

( )

^{0,06 2 6 200}

Cm q = q − q+

Ce polynôme du second degré montre des valeurs décroissantes puis croissantes, atteignant un minimum pour q =

2 b a

− = 50, ce qui se confirme visuellement sur le graphique 2.

Sur le graphique 1, il faut se représenter l’évolution de la tangente à la courbe de C lorsqu’on fait évoluer q : la pente de la tangente diminue lorsque q augmente de 0 à 50, puis augmente lorsque q dépasse 50 et continue d’augmenter (deux tangentes ont été tracées sur le graphique 1, en vert : pour q = 50 et pour q = 150).

2 – Coût moyen Définition :

Lorsqu’on envisage de produire q unités de notre produit, le coût moyen est le coût de production total rapporté au nombre d’unités produites. Par définition, le coût moyen CM(q) est donc :

( ) ( )

M

C q C q

= q . Conséquence :

Considérons l’origine O du repère et un point A(q, C(q)) sur la courbe de la fonction C.

Le coût moyen, tel que défini, est ainsi la pente du segment [OA].

Travail à faire :

a. Saisir la fonction CM sur votre calculatrice, établir un tableau de valeurs puis tracer la courbe de cette fonction sur le graphique 2 (utiliser une couleur différente de celle de la courbe de Cm et légender).

Quelques valeurs :

q 0 20 40 60 80 90 100 120 140 160

CM(q) *** 398 237 175,3 150,5 147,6 150 169,7 207,7 263,3 b. Pour q = 30, tracer sur le graphique 1 le segment « [OA] » dont CM est la pente.

Faire de même pour q = 150. D’après ce graphique, justifier que pour q = 30, CM > Cm et qu'avec q = 150 on a le contraire : CM < Cm.

Voir les deux segments en pointillés sur le graphique 1. En effet, pour q = 30, la pente du segment est plus forte que la pente de la tangente, alors que pour q = 150, on constate le contraire.

c. D’après ce même graphique 1, déterminer approximativement l’endroit où CM est minimal. Tracer le segment [OA] correspondant, tracer la tangente en ce point A particulier.

Confirmer visuellement l’abscisse de ce point A en vous reportant sur le graphique 2.

Sur le graphique 1 : le point A de la courbe de C pour lequel la pente du segment [OA] est la plus faible est déterminé de manière empirique et ce segment est représenté en rouge. Il semble que la droite (OA) soit aussi la tangente en A à la courbe, ce qui est un cas particulier.

Sur le graphique 2, on peut remarquer que lorsque CM atteint son minimum, les deux courbes se croisent ; cela correspond approximativement à q = 90.

d. Vérifier les affirmations suivantes, à l’aide des deux graphiques simultanément :

* « le coût moyen baisse tant que le coût marginal est inférieur au coût moyen »

Graphique 1 : en faisant augmenter q sans dépasser 90, on voit baisser la pente de [OA] tout en constatant qu’elle est supérieure à la pente de la tangente en A.

Graphique 2 : en faisant augmenter q sans dépasser 90, on voit baisser CM tout en constatant qu’il est supérieur à Cm.

* « lorsque le coût moyen est minimal, il est égal au coût marginal »

Graphique 1 : Pour q = 90, [OA] a la pente la plus faible possible ; de plus, (OA) et la tangente en A sont confondues (donc de pentes égales).

Graphique 2 : Pour q = 90, CM est minimal ; de plus, les deux courbes se croisent, donc CM = Cm. graphique 2

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Ci-contre se trouvent sur le même

graphique les courbes de deux fonctions f (trait plein) et g (pointillés). La droite tracée est la tangente à la courbe de g au point A d’abscisse 1.

1. Donner les valeurs ^f

( )

^{0 et g}

( )

^{1 .}

f (0) = 1 (courbe de f : point (0 ; 1)) g(1) = 3 (courbe de g : point A(1 ; 3)) 2. Donner le domaine de la variable x tel

que ^{g x}

( )

^{≥ f x}

( )

La courbe de g est au-dessus de celle de f lorsque x ∈ [0,32 ; 2,58] environ.

3. Donner les valeurs ^g′

( )

^{2 et g′}

( )

^{1 .}

g’(2) = 0 car lorsque x = 2, la courbe

de g atteint son sommet avec un aplatissement donnant visiblement une tangente horizontale.

g’(1) = 2 : pente de la tangente en A, déjà tracée, pente calculée par y x

∆

∆ entre les points A et (0 ; 1).

4. Donner l’équation de la tangente à la courbe de g au point A d’abscisse 1.

La pente de cette tangente vaut 2 et son ordonnée à l’origine est 1. y = 2x + 1.

n) g(x) = x

Fonctions avec exponentielles et logarithmes p) g(x) = ln(1 – 2x) ^{g x}

( )

1. Créer un tableau de valeurs pour chaque fonction, puis réaliser leur représentation graphique sur l’intervalle [20 ; 120] (prendre un pas de 10).

fonctions représentées : en rouge : f ; en bleu : g ; en vert : h

Exercice 70.

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2. Pour quelle valeur de a-t-on ^{f x}

( )

^{=g x}

( )

^?

3267 2

0,75x 72 0,75x 72x 3267 0

x = − ⇔ − − = , dont la seule solution positive vaut environ 129,6.

3. Créer la représentation graphique de la fonction h= +f g. voir ci-dessus 4. Déterminer le minimum de cette fonction h.

( )

( )

2

( )

^{2 2 [20 ; 120]}

3267 0,75 72

3267 3267

0,75 ; 0 4356 66

0,75

x

h x x

x

h x h x x x x

x

∈

= + −

′ = − + ′ > ⇔ > ⇔ > ⇔ >

Cette fonction est donc strictement décroissante sur [20 ; 66[ et strictement croissante sur ]66 ; 120].

Elle admet un minimum en x = 66 et cette valeur minimale est 3267

0,75 66 72 27

66 + × − = .

Étudier les variations, tracer la courbe des fonctions des points f, h, r et w de l’exercice 69.

f) f (x) = 4 – x² f ’(x) = –2x, strictement positif ssi x < 0

f est strictement croissante sur ] –∞ ; 0[ et strictement décroissante sur ]0 ; +∞[ ; f ’(0) = 0.

h) g(x) = x x+

3

2

( )

( )

g x x

′ =

+ ² 6

2 > 0 pour tout réel x (son dénominateur est positif car c’est un carré).

La fonction g est strictement croissante sur chaque intervalle où elle est définie : sur ] –∞ ; –2[ et sur ] –2 ; +∞[ .

Exercice 71.

r) g(x) = ln(x² – 1) ^g′

( )

^{x =} _x2₋^x

2

1 signe de ^{g x′}

( )

^:

La dérivée est une fraction, donc on décompose l’étude sur chaque facteur. Le numérateur est du signe de x ; le dénominateur est positif puisque x² – 1 se trouve à l’intérieur d’un logarithme dans g(x). Donc la dérivée est ici du signe de x.

Variations : On remarquera que g est définie pour tout x tel que x² – 1 > 0, ce qui exclut pour x l’intervalle [-1 ; 1]. g est décroissante sur ]-∞ ; -1[ et croissante sur ]1 ; +∞ [.

Tableau de variations : Représentation graphique :

w) f (x) = _{− x}

− ² 2

1 e

( )

( )

x

x

f x

−

−

′ = −

−

2 2 2

4e

1 e signe de ^f′

( )

^{x :}

La dérivée est une fraction, donc on décompose l’étude sur chaque facteur. Le numérateur est négatif (produit de –4 par une exponentielle) ; le dénominateur est positif car c’est un carré. Donc la dérivée est ici négative pour tout x de Df.

Variations : f est décroissante sur ] –∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[.

Tableau de variations : Représentation graphique :

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Pour un constructeur immobilier, le coût de production C de n immeubles construits (0 ≤ n ≤ 30) est donné en millions d’euros par : C(n) = 0,5n + 2 – 1,5ln(n + 1). Chaque immeuble est vendu 400000 €.

Pour quel nombre d’immeubles le bénéfice réalisé est-il maximal ?

Le CA de la vente d’un immeuble est 0,4 M€. Donc celui de la vente de n immeubles est 0,4n (M€).

Le bénéfice, qu’on notera B(n), est la différence entre le chiffre d’affaires et le coût de production.

B(n) = 0,4n – (0,5n + 2 – 1,5ln(n + 1)). B(n) = -0,1n – 2 + 1,5ln(n + 1).

Le dénominateur de la dérivée est positif car n est positif.

Son numérateur est positif ssi –0,1n + 1,4 > 0 ssi 1,4 > 0,1n ssi 14 > n.

Le bénéfice est donc croissant lorsque n ≤ 14 et décroissant lorsque n ≥ 14.

Il est ainsi maximal pour n = 14, et B(14) = -1,4 – 2 + ln(15) = 0,662075 M€.

Il faut construire et vendre 14 immeubles, pour un bénéfice maximal de 662 075 €.

On a effectué une série d’analyses statistiques à deux variables X et Y qui ont montré que le lien entre les valeurs y et les valeurs x pouvait être modélisé par l’expression ln ² 1

3,75 4

y x 

=  + 

 . Etudier cette fonction et donner la valeur exacte de x correspondant à y = 0.

2 2

+ + ; dénominateur strictement positif et numérateur du signe de x.

Cette fonction est donc décroissante sur ]-∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[.

Un produit polluant est présent dans un sol et sa quantité détectée se note Q(t), en grammes, dépendant du temps t. La vitesse d’élimination de ce produit est proportionnelle à Q(t), si bien que Q’(t) = –0,3Q(t).

Sachant que Q(t) est de la forme ke^at et qu’à t = 0 on a mesuré une quantité de 150 grammes de ce produit, trouver les coefficients k et a.

( ) ( )

(les questions 1. et 2. sont indépendantes)

Notre entreprise fabrique un produit chimique. Les coûts sont exprimés en milliers d’euros et les quantités en tonnes. Le coût total de production de x tonnes est donné par la fonction f définie par :

f (x) = 30(1,2 – e^−0,05x) pour x dans l’intervalle [0 ; 40].

1. Coût marginal

Le coût marginal Cm relatif à une production de x tonnes est le coût de production d’une tonne supplémentaire. On a donc ^Cm

( )

^{x = f x}

(

^{+ −1}

) ( )

^{f x .}

a. Montrer que Cm(x) = 30e^−0,05x(1 – e^{−0 ,05}).

( ) ( ) ( ) (

^{( )}

) ^{( )} (

^{( )}

)

( ) ( ) ( )

0,05 1 0,05 0,05 0,05 1

0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05

1 30 1,2 e 30 1,2 e 30 e e

30 e e 30 e e e 30e 1 e

x x x x

m

x x x x x

C x f x f x ^{− + − − − +}

− − − − − − − −

= + − = − − − = −

= − = − × = −

b. Dériver la fonction Cm puis justifier le signe de cette dérivée. Donner alors le sens de variation de la fonction Cm.

( )

^30e0,05x

(

^{1 e 0,05}

)

^.

^{( )}

³⁰

⁽

^{0,05 e}

⁾

^0,05x

(

^{1 e0,05}

)

^{1,5e 0,05x}

(

^{1 e 0,05}

)

m m

C x = ⁻ − ⁻ C′ x = × − ⁻ − ⁻ = − ⁻ − ⁻

La dérivée est le produit de trois facteurs :

(

^{1 e− −0,05}

)

est strictement positif, -1,5 est strictement négatif, et e^−0,05x est strictement positif ; cette dérivée est donc strictement négative pour tout x et la fonction Cm est strictement décroissante sur ℝ^.

c. Représenter graphiquement la fonction Cm sur l’intervalle [0 ; 40]. (1 cm pour 4 tonnes en abscisses et 5 cm pour 1 millier d’euros en ordonnées).

2. Coût moyen

a. Quel est le coût moyen par tonne quand l’usine produit 15 tonnes ?

Coût total pour 15 tonnes produites : ^f

( )

^{15 =30 1,2 e}

(

^{− −0,05 15×}

)

^{≈21,829 k€}

Donc, en moyenne par tonne : 21,829

1,455

15 ≈ k€

Exercice 75.

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b. On considère la fonction g définie par g(x) = ^{f x}

( )

x . Tracer sa courbe, sur l’intervalle [10 ; 40], sur le graphique précédent, en utilisant l’échelle donnée en 1.c. Il s’agit du coût moyen d’une tonne produite lorsque x tonnes sont produites.

c. Répondez graphiquement (marques sur le graphique + réponse écrite) :

* Pour pouvoir aligner nos prix de vente sur ceux de nos concurrents, nous devons limiter le coût moyen de production d’une tonne produite à 1200 €. Quelle quantité faut-il produire pour que cet impératif soit respecté ?

Voir graphique : on doit produire environ 21,4 tonnes.

* Si on produit la quantité que vous venez d’indiquer, quel serait le coût de production d’une tonne supplémentaire ?

Voir graphique : pour 21,4 tonnes, le coût marginal vaut environ 500 €/tonne.

Soit la fonction f d’expression ^{f x}

( )

^=ln

(

^{5 2− x}

)

^.

1. Donner le domaine de définition de la fonction f. (hors programme) 5 – 2x doit être strictement positif, soit : x < 2,5.

2. A partir de cette question, on étudiera cette fonction sur [0 ; 2].

a. Dériver la fonction f. ^f

( )

^x _{5 2}²

x

′ = −

− b. Etudier le signe de ^f′

( )

^{x .}

Son numérateur est strictement négatif et son dénominateur est strictement positif puisque x est inférieur à 2. Donc, f ’(x) est strictement négative sur [0 ; 2].

c. Dresser le tableau de variation de f.

3. Questions diverses

a. Calculer les valeurs extrêmes de f et les reporter dans le tableau de variation.

f (0) = ln(5) et f (2) = ln(1) = 0

b. Donner (justifier) le signe de ^{f x}

( )

lorsque x parcourt [0 ; 2].

f (x) diminue et sa valeur minimale est 0. f (x) est donc positive sur [0 ; 2].

c. Quelle valeur de x a pour image la valeur 1 ?

( )

ln 5 e

5 2 1 5 2 e

x x x 2−

− = ⇔ − = ⇔ =

Une usine produit du cacao en poudre en quantité journalière variable, quantité que nous noterons x, positive, exprimée en kg. L’expression ^{f x}

( )

^=150×ln

(

^{0,05x+ −1}

)

^0,1x+300 donne, en €, le coût total de production lorsque l’on produit x kg de cacao.

1. a. Dériver la fonction f.

( )

¹⁵⁰ _0,05^0,05 ₁ ^0,1 _0,05^7,5 ₁ ^{0,1 7,4 0,005}_{0,05 1}^x

f x

x x x

′ = × − = − = −

+ + +

b. Montrer que le fait de poser cette dérivée positive équivaut à la condition 7,4 – 0,005x > 0 ; résoudre cette inéquation et conclure sur le signe de ^f′

( )

^{x pour x∈}

[

^{0 1000;}

]

^.

x étant positif, le dénominateur de la dérivée est positif.

Exercice 76.

Exercice 77.

ln(5)

0

Cette dérivée est donc du signe de son numérateur.

7,4 – 0,005x > 0 ssi 0,005x < 7,4 ssi x < 1480 Ainsi, sur [0 ; 1000], f ’(x) est strictement positif.

2. On définit ^Cm

( )

^x , coût marginal, par la différence entre le coût de production de x+1 kg et le coût de production de x kg, soit : ^Cm

( )

^{x = f x}

(

^{+ −1}

) ( )

^{f x} : coût que représente la production d’un kilogramme supplémentaire lorsqu’on en a déjà produit x kg.

a. Calculer le coût marginal lorsque 50 kg de cacao ont été produits.

( )

⁵⁰

( ) ( )

^{51 50} 484,9421 482,9144 2,0277

Cm = f − f ≈ − ≈ €

b. Calculer le coût marginal lorsque 500 kg de cacao ont été produits.

( )

⁵⁰⁰

( ) ( )

^{501 500} 738,9027 738,7145 0,1882

Cm = f − f ≈ − ≈ €

c. On admet en général que les valeurs de ^Cm

( )

^x sont proches de celles de ^f′

( )

^{x .}

Vérifier cette affirmation sur les deux productions citées dans les deux questions précédentes (on admettra ici que ^f

( )

^{x x}

x

′ = −

+ 7,4 0,005

0,05 1 ).

( )

7,4 0 005 50^,

50 2,04286

0,05 50 1

f′ = − × ≈

× + et

( )

7,4 0,005 500

500 0,1885

0,05 500 1

f′ = − × ≈

× + .

En effet, ces valeurs sont proches des précédentes.

d. Montrer, en dérivant ^f′

( )

^x , que le coût marginal diminue lorsque x augmente.

( ) ( ) ( )

( )

²

( )

²

0,005 0,05 1 7,4 0,005 0,05 0,385

0,05 1 0,05 1

x x

f x

x x

− + − − −

′′ = =

+ +

Le dénominateur est strictement positif et le numérateur strictement négatif.

La fonction f ’ est strictement décroissante sur [0 ; 1000], ce qui est donc le cas, par approximation, du coût marginal de production.

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