Programme des exercices

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Lycée Berthollet MPSI1 2021-22 Programme de colle de la semaine 3 (du 27 septembre au 1er octobre 2021)

Cette semaine, je rajoute au programme des exercices les notions d’argument et de forme trigonométrique, pour permettre plus d’exercices.

Nota Bene : Les colleurs peuvent continuer à donner des exercices sur les fonctions en s’ap- puyant sur le programme de terminale.

Programme des exercices

Chapitre 1 : Langage mathématique (fin)

Raisonnement par récurrence : Exemples introductifs mettant en valeur l’importance de l’hérédité dès le rang d’initialisation. Démonstration du fait que∀n∈N,

n

∑

k=1

k³=

n(n+1) 2

2

, par récurrence. Rédaction précise d’une récurrence.

Démonstration du principe de récurrence en admettant que toute partie non vide deNadmet un plus petit élément. Récurrence double et récurrence forte.

Chapitre 2 : Nombres complexes et trigonométrie 1 “Définition” de C

Les constructions sont maintenant hors programme.

Un nombre complexe est un objet de la forme “a+ib”, aveca,b∈Ret i²=−1. On utilise les opérations avec les règles “usuelles”. On admet que l’ensembleCdes nombres complexes, muni de l’addition et de la multiplication, est un “corps”,i.e.:

1. L’addition est associative et commutative, elle admet 0 pour élément neutre et tout nombre complexe admet un opposé ;

2. La multiplication est associative et commutative, elle admet 1(6=0)pour élément neutre et tout nombre complexe non nul admet un inverse ;

3. La multiplication est distributive par rapport à l’addition.

2 Parties réelle et imaginaire

Définition de Re(z)et Im(z), elles préservent la somme et la multiplication par un réel, effet sur les produits.

Conjugaison,z=z, caractérisation des réels et des imaginaires purs à l’aide de la conjugaison, la conjugaison préserve sommes, produits et quotients.

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Lien entre conjugaison et parties réelle et imaginaire :

∀z∈C,

z+z = 2 Re(z)

z−z = 2i Im(z) i.e.







Re(z) = z+z 2 Im(z) = z−z

2i .

Représentation géométrique des nombres complexes, notion d’affixe d’un point ou d’un vecteur, interprétation géométrique de la conjugaison.

3 Module

Définition et interprétation géométrique. Premières propriétés : coïncidence avec la valeur absolue sur l’axe réel ; module de l’opposé, du conjugué ; expression du carré du module à l’aide du conjugué. Application au calcul pratique des quotients. Autres propriétés : comparaison du module à la valeur absolue de la partie réelle (resp. imaginaire), cas d’égalité ; module d’un produit, d’un inverse, d’un quotient ; le module d’un complexe est nul ssi ce complexe est nul ; inégalité triangulaire, seconde inégalité triangulaire, cas d’égalité dans l’inégalité triangulaire en termes algébriques (zz⁰∈R⁺).

Cas d’égalité dans l’inégalité triangulaire en termes vectoriels (nombres complexes “positi- vement liés”). Représentation complexe des cercles et disques.

Notion d’argument et forme trigonométrique, pour pouvoir faire des exercices.

Programme des questions de cours

4 Nombres complexes de module 1 et trigonométrie

4.1 Cercle trigonométrique

Cercle trigonométrique et ensemble U des nombres complexes de module 1. Savoir retrouver les périodicités et symétries des fonctions trigonométriques, résoudre les équations et inéquations trigonométriques de base (cosx=a, sinx≤b, etc.) à l’aide du cercle trigonomé- trique. Valeurs remarquables des fonctions trigonométriques.

4.2 Formules trigonométriques

Les formules d’addition sont admises pour cos et sin et on en déduit alors les symétries déjà vues sur le cercle, les formules de soustraction, celle de l’arc double, les formules pour les produits cosacosb, etc., celles pour les sommes cosp+cosq, etc. (ces dernières ne sont pas exigibles par cœur mais l’étudiant doit savoir les retrouver), la formule d’addition pour la tangente.

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5 Exponentielle d’un imaginaire pur

Définition, formule d’addition, notation e^iθ, formules d’Euler (aussi expression de la tangente), formule de Moivre.

Linéarisation. Application de la formule de la tangente en fonction de l’exponentielle complexe (laissée en exercice) : expression des fonctions trigonométriques en x comme fractions rationnelles en tan^x₂. Calcul des expressions de cos(nt), sin(nt)et tan(nt)en fonction de cost et sint. Factorisation de 1±eⁱ^θ,eⁱ^a±e^ib, application : retrouver les formules des cosinus et si- nus de l’arc double et les expressions factorisées de cosp+cosq. Calculs des sommes

n k=0

∑

eⁱ^kt,

n

∑

k=0

cos(kt),

n

∑

k=0

sin(kt).

6 Forme trigonométrique d’un nombre complexe

Pourz6=0, l’ensemble des θtels quez=|z|e^iθ est de la formeθ0+2πZ; Arg(z) désigne l’un des éléments de cet ensemble, qu’on ne connaît donc que modulo 2π. À cette occasion introduction de la définition de la congruence de deux réels modulo 2π. Tous les calculs sur les arguments se feront donc modulo 2π. Propriétés : caractérisation deR^?+, R^?−, iR^?+ et iR^?−; argument de l’opposé, du conjugué, de l’inverse, d’un produit, d’un quotient ; CNS d’égalité de deux complexes en fonction de leurs modules et arguments.

Calcul pratique de l’argument d’un nombre complexe sous forme algébrique, module et argument d’une somme (ou différence) de nombres complexes de module 1 sous forme tri- gonométrique. Interprétation géométrique dans le cas 1±e^iθ (cas particulier du théorème de l’angle au centre).

Application à la physique : une somme de signaux sinusoïdaux de même fréquence est encore un signal sinusoïdal (expression de acos(ωt) +bsin(ωt)sous la forme Acos(ωt+ϕ), calcul deAetϕpar la trigonométrie ou les exponentielles complexes).

7 Équations du second degré

Cas particulier de l’extraction de racine carrée : preuve de l’existence sous la forme trigono- métrique, calcul pratique quand le nombre est sous forme algébrique, cas général des équations du second degré : théorème, résolution pratique. Somme et produit des racines en fonction des coefficients, savoir trouver deux complexes connaissant leur somme et leur produit.

8 Racines n-ièmes

Proposition décrivant les racinesn-ièmes de 1 puis d’un complexe quelconque. Résultat sur la somme des racinesn-ièmes de 1.

Toutes les définitions et tous les énoncés sontexigibles.

Les démonstrations exigibles sont sur la page suivante.

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Démonstrations de cours exigibles

— Les trois formules pour les produits cosacosb, etc., puis une des 4 formules du type cosp+cosq,etc., méthode au choix de l’élève ;

— Calculs des sommes

n

∑

k=0

e^ikt,

n

∑

k=0

cos(kt),

n

∑

k=0

sin(kt);

— Démonstration du théorème de résolution des équations du second degré ;

— Résolution complète explicite de l’équation iz²+ (1+i)z+5=0.

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