Exercices : Signaux Périodiques
Pour les exercices 5.01 à 5.03, vérifier les affirmations a , b , c , d .
5.01 On considère le signal ci-contre :
a. La composante continue de u(t) vaut 1,5V.
b. La décomposition en série de Fourier de l’ondulation de u(t) ne renferme que des termes en cos(nωt).
c. Si on double la fréquence de ce signal, la valeur efficace de u(t) double également.
d. On applique u(t) à l’entrée d’un filtre passe-haut, de fréquence de coupure fC << 1/T ; en sortie du filtre, le signal ondule entre +1 V et –2 V.
5.02 On donne la décomposition en série de Fourier du signal triangulaire représenté à droite :
( ) [ ]
∞
= + ω
+
= π
0
n 2 2 sin (2n 1) t 1
n 2 ) 8
t ( u
a. La valeur efficace de u(t) vaut ≈ 0,707 V.
b. Si on ajoute une composante continue à u(t), il apparaît des harmoniques de rang pair.
c. La valeur efficace de l’harmonique 7 de u(t) vaut 1/√7 V.
d. On fait passer u(t) dans un dérivateur, dont la transmittance complexe est H(jω) = 1×10 -4jω . En sortie du dérivateur, nous observons la tension u’(t) . (fréquence : f = 25 kHz)
5.03 On a relevé la figure ci-contre, pour le spectre d’un signal m(t) :
a. Le signal m(t) ne possède pas de symétrie de glissement .
b. la valeur efficace de m(t) est égale à 0,56 V . c. La puissance dissipée par l’harmonique 2 dans une
résistance de 50 Ω vaut +0,15 dBm .
d. Si on ne considère que les harmoniques de rang ≤ 6, le taux de distorsion harmonique de m(t) est de 20%.
+3
0 T/3 2T/3 T t u(V)
0 T/4 T/2 T t -1
+1
u(V)
0 T/2 T t u’(V)
+10
-10
Val. efficaces (V)
0 f 2f 3f 4f 5f 6f (Hz) 0,20
0,15 0,10
0,08
0,02 0,01
5.04 Redressement simple ou double alternance d’une tension sinusoïdale de fréquence 50 Hz.
Nous cherchons à comparer les performances des 2 types de redresseurs.
L’opération de redressement est suivie d’un filtrage passe-bas, afin d’élaborer des signaux à faible taux d’harmoniques.
A partir de la tension u(t) = 12sin100πt, on élabore uR1(t) (mono alternance) ou uR2(t) (bialternance).
On donne ci-dessous les expressions des décompositions en série de Fourier de uR1 et de uR2 :
∞
= π
π − + π π +
=
1
p 2
1
R cos(200p t)
) 1 p 4 ( . 1 ) 24 t 100 sin(
12 6 ) t ( u
∞
= π
π − π −
=
1
p 2
2
R cos(200p t)
) 1 p 4 ( . 1 24 48 ) t ( u
1) Représenter les spectres d’amplitude de uR1 et de uR2 , et ce, jusqu’à l’harmonique de rang 8 . On négligera les harmoniques de rang supérieur dans la suite.
2) Les tensions uR1 et uR2 sont appliquées à un filtre passe-bas de transmittance complexe
25f j 1 ) 1 jf (
T = +
Calculer la valeur du module de T(jf) pour les fréquences 50, 100, 200, 300 et 400 Hz.
3) On appelle u’R1 et u’R2 les tensions de sortie de ce filtre, correspondant réciproquement à son attaque par uR1 ou par uR2 . Calculer et représenter les spectres d’amplitude approchés de u’R1 et u’R2 .
Calculer les taux d’ondulation τ1 et τ2 de ces deux tensions et conclure.
5.05 L’étude d’une tension uE(t), de fréquence fo a montré qu’on pouvait l’assimiler à la somme : uE (t) ≈ 4,725 – 3,475cos(2πfot) – 0,275cos(4πfot) + 0,225cos(6πfot) 1) Tracer (calculatrice) le chronogramme de uE (t), ainsi que son spectre d’amplitude . 2) Calculer le taux de distorsion harmonique (THD) et le taux d’ondulation de uE (t) . 3) uE (t) est appliquée à un filtre actif, de transmittance complexe :
−
= +
ffo fo 2 2f j 2 1 ) 3 jf ( T
Donner les expressions de T = mod(T) et de ϕ = arg(T).
Calculer les valeurs numériques de T et de ϕ pour f valant 0, fo, 2fo et 3fo ; (ϕ en radians)
4) En appliquant le principe de superposition, déduire de ce qui précède, la décomposition en série de Fourier approchée de la tension de sortie uS du filtre .
5) Tracer (calculatrice) le chronogramme de uS (t) et représenter son spectre d’amplitude ; calculer le taux de distorsion harmonique de uS(t) et conclure sur le rôle du filtre .
5.07
1) Soit le courant i1 (t) défini par i1 (t) = 0,5 + sin(100πt) – (1/9).sin(300πt) + (1/25).sin(500πt).
Représenter son spectre d’amplitude. Quelle est la fréquence de ce courant ?
Quelle est la forme de son ondulation ? (tracer i1(t) à l’aide d’une calculatrice graphique ou d’un PC) Que vaut le taux de distorsion harmonique de i1 (t) ?
2) Soit maintenant le courant i2 (t), défini par i2(t) = 2sin(140πt) – (2/9).sin(420πt) + (2/25).sin(700πt).
Répondre aux mêmes questions qu’en 1)
3) Les courants i1 et i2 convergent en un nœud, pour former le courant i(t) = i1 (t) + i2 (t).
Représenter le spectre d’amplitude de i(t) ; quel est l’encombrement spectral de ce courant ?
Représenter i(t) à l’aide d’une calculatrice graphique ou d’un PC ; déterminer graphiquement sa période ; en déduire sa fréquence.
Quelle remarque peut-on faire ?
5.08
On donne à droite l’enregistrement du spectre d’un signal périodique x(t).
Les réglages de l’analyseur de spectre sont les suivants :
- En X : 5kHz / div - En Y : 10dB / div
Déterminer les valeurs efficaces des
principales composantes harmoniques de x(t).
En déduire une valeur approchée du taux de distorsion harmonique totale de x(t).
Annexe : La distorsion est-elle toujours « harmonique » ? 0Hz 0dBV
