Cours 3: Complétude de la logique du premier ordre.
Olivier Bournez Ecole Polytechnique
bournez@lix.polytechnique.fr INF412
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Retour sur l’épisode précédent
On a introduit le calcul des prédicats :
§Syntaxe :
‚Etant fixée une signatureΣ“ pC,F,Rq, oùC,F,Rsont respectivement des symboles de constantes, fonctions et relations.
‚On définit la notion determe,terme clos,formule atomique, formule,formule closesur cette signature.
§Sémantique :
‚Etant donnée unestructure(réalisation)Mde signatureΣde domaineM,
‚et pour une valuationv, on définitl’interprétation d’un terme, d’une formule atomique et d’une formule pour cette valuation.
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Exemples de signatures
Σ“ pt0,1u,ts,`u,tImpair,Premier,“,ăuqavec les symboles de constante 0 et 1, les symboles de fonctionssd’arité 1 et` d’arité 2, les symboles de relationsImpairsetPremierd’arité 1 et“etăd’arité 2.
L2“ ptc,du,tf,g,hu,tRuqavecc,ddeux symboles de constante,fun symbole de fonction d’arité 1,gethdeux symboles de fonctions d’arité 2,Run symbole de relation d’arité 2.
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Exemples de termes
(Convention :x,y,z, . . .désignent des variables, c-à-d des éléments deV).
`px,sp`p1,1qqqest un terme sur la signatureΣprécédente qui n’est pas clos.`p`psp1q,`p1,1qq,spsp0qqqest un terme clos sur cette même signature.
hpc,xq,hpy,zq,gpd,hpy,zqqetfpgpd,hpy,zqqqsont des termes sur la signatureL2.
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Exemples de formules
@xppPremierpxq ^xą1`1q ñImpairpxqqest une formule sur la signatureΣprécédente.
Dxpspxq “1`0_ @y x`yąspxqqaussi.
Exemples de formules sur la signatureL2:
§@x@y@zppRpx,yq ^Rpy,zq ñRpx,zqq
§@xDypgpx,yq “c^gpy,xq “cq
§@x fpxq “c
§@xDy fpxq “c
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Formules closes/non-closes
Les variables libres d’un terme sont les variables qui apparaissent dans ce terme.
L’ensemble`ptqdesvariables libres d’une formuleFse définit inductivement par :
pBq`pRpt1,¨ ¨ ¨,tnqq “`pt1q Y ¨ ¨ ¨ Y`ptnq; pIq`p Gq “`pGq;
pIq`pG_Hq “lpG^Hq “`pGñHq “`pGôHq “`pGqY`pHq;
pIq`p@xFq “`pDxFq “`pFqztxu.
Une formuleFest diteclosesi elle ne possède pas de variables libres.
Exemple :
§La formule@x@zpRpx,zq ñ DypRpy,zq _y“zqqest close.
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Exemples de modèles sur ces signatures
On peut obtenir une réalisation de la signatureΣprécédente en prenant comme ensemble de base les entiers, 0 interprété par l’entier 0, 1 par l’entier 1,spar la fonction qui à l’entierx associex`1,`par la fonction addition,Impairpar les entiers impairs,Premierpar les entiers premiers,“par l’égalité, etă par la relationtpx,yq|xăyu.
§On peut la noterpN,“,ă,Impair,Premier,s,`,0,1q.
On peut obtenir une réalisation de la signatureL2en considérant l’ensemble de baseRdes réels, en interprétantR comme la relation d’ordreďsur les réels, la fonctionfcomme la fonction qui àxassociex`1, les fonctionsgethcomme l’addition et la multiplication, les constantescetdcomme 0 et 1.
§On peut la noterpR,ď,s,`,ˆ,0,1q.
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Termes :
§SoitNla structurepN,ď,s,`,ˆ,0,1qde signature L2“ ptc,du,tf,g,hu,tRuq.
‚l’interprétation du termehpd,xqpour une valuation telle que vpxq “2 est 2.
‚l’interprétation du termefpgpd,hpy,zqqqpour une valuation telle quevpyq “2,vpzq “3 est 8.
Formules :
§Sur cette même structure :
‚@x@y@zppRpx,yq ^Rpy,zq ñRpx,zqqs’interprête en vrai.
‚@xDypgpx,yq “c^gpy,xq “cqs’interprête en faux.
‚@x fpxq “cs’interprête en vrai.
‚@xDy fpxq “cs’interprête en vrai.
§Sur la structurepR,ď,s,`,ˆ,0,1qde même signature ?
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Pour une formule closeF, la satisfaction deFdans la structureMne dépend pas de la valuationv.
On dit alors queMest un modèle deF, lorsqueFest satisfaite surM.
§On le noteM|ùF.
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Théories
UnethéorieTest un ensemble de formules closes sur une signature donnée. Les formules d’une théorie sont appelées des axiomesde cette théorie.
Une structureMest unmodèle de la théorieTsiMest un modèle de chacune des formules de la théorie.
Une théorie est diteconsistantesi elle possède un modèle.
On va supposer dans ces transparents que l’on ne considère que des signatures dénombrables.
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Graphe
Un graphe orienté peut se voir comme un modèle de la théorie sans axiome sur la signaturepH,H,tRuq.
Un graphe non-orienté peut se voir comme un modèle de la théorie sur la même signature avec l’unique axiome
@x@ypRpx,yq ôRpy,xqq. (1)
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Pour la signaturepH,H,t“,Ruq, la formule Dx@yp px“yq ñRpx,yqq est satisfaite sur le premier et pas sur le second.
(Remarque : Sur cette signature comme sur la signature Σ“ pH,H,tRuq, il n’y a aucun terme).
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On considère la signaturepta,b,cu,H,tRuq
est un modèle deRpa,bq ^Rpb,cq ^Rpa,cq.
Attention :
aussi.
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Groupe
Un groupe est un modèle égalitaire1de la théorie constituée des deux formules :
@x@y@z x˚ py˚zq “ px˚yq ˚z (2) De@xpx˚e“e˚x“x^ Dypx˚y“y˚x“eqq (3) sur la signatureΣ“ pH,t˚u,t“uq, où˚et“sont d’arité 2.
1. On impose à l’interprétation de“de correspondre à l’égalité.
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Corps
Uncorps commutatifest un modèle égalitaire de la théorie constituée des formules
@x@y@zpx` py`zq “ px`yq `zq (4)
@x@ypx`y“y`xq (5)
@xpx`0“xq (6)
@xDypx`y“0q (7)
@x@y@z x˚ py`zq “x˚y`x˚z (8)
@x@y@zppx˚yq ˚zq “ px˚ py˚zqq (9)
@x@ypx˚y“y˚xq (10)
@xpx˚1“xq (11)
@xDypx“0_x˚y“1q (12)
1“0 (13)
sur une signature avec deux symboles de constantes 0 et 1, deux symboles de fonctions`et˚d’arité 2, et le symbole de relation“d’arité 2.
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Corps de caractéristiquep:
§On ajoute à la théorie précédente la formuleFpdéfinie par 1` ¨ ¨ ¨ `1“0, où 1 est répétépfois.
Corps de caractéristique 0 :
§On ajoute à la théorie précédente l’union des formules F2,¨ ¨ ¨, Fppourpun nombre premier.
Corps algébriquement clos :
§Pour chaque entierną0, on considère la formuleGn
@x0@x1¨ ¨ ¨ @xn´1Dxpx0`x1˚x`x2˚x2`¨ ¨ ¨`xn´1˚xn´1`xnq “0 oùxkestx˚ ¨ ¨ ¨ ˚xavecxrépétékfois.
§on ajoute à la théorie précédente l’union des formulesGnpour ną0.
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Exercice : corps réel clos
Uncorps réel closest un corps totalement ordonné F tel que tout élément positif soit un carré et que tout polynôme de degré impair à coefficients dans F ait au moins une racine dans F.
§Rest un corps réel clos.
Cela correspond à une théorie du calcul des prédicats.
voir sujet PC de demain.
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Deux formulesFetGsont équivalentes si pour toute structure, et pour toute valuationvles formulesFetG prennent la même valeur de vérité.
§On noteF”Gdans ce cas.
Proposition. SiFune formule alors : @xF” Dx F DxF” @x F
@x@yF” @y@xF DxDyF” DyDxF
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SiFetGsont des formules et la variablexn’est pas libre dansG alors :
@xG ” DxG”G p@xF_Gq ” @xpF_Gq p@xF^Gq ” @xpF^Gq pDxF_Gq ” DxpF_Gq pDxF^Gq ” DxpF^Gq pG^ @xFq ” @xpG^Fq pG_ @xFq ” @xpG_Fq pG^ DxFq ” DxpG^Fq pG_ DxFq ” DxpG_Fq p@xFñGq ” DxpFñGq pDxFñGq ” @xpFñGq pGñ @xFq ” @xpGñFq pGñ DxFq ” DxpGñFq
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Conséquences : formes normales
Toute formuleFest équivalente à une formule prénexeG.
§i.e. de la forme
Q1x1Q2x2¨ ¨ ¨QnxnF1 où chacun desQiest soit un quantificateur@, soit un quantificateurD, etF1est une formule qui ne contient aucun quantificateur.
Toute formuleFest équivalente à une formule prénexe oùG est en forme normale conjonctive.
§i.e.F1est une conjonction de disjonctions de formules atomiques ou leurs négations.
Toute formuleFest équivalente à une formule prénexe oùG est en forme normale disjonctive.
§i.e.F1est une disjonction de conjonctions de formules atomiques ou leurs négations.
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Un système de déduction
Il nous faut définir une notion de démonstration
§c’est-à-direT$F.
Les systèmes de déduction (Hilbert-Fregge, déduction naturelle, résolution, tableaux) du calcul propositionnel se généralisent au calcul des prédicats.
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Règle de généralisation
Par rapport au calcul propositionnel, on n’utilise plus seulement la règle de modus ponens, mais aussi une règle de généralisation:
§siFest une formule etxune variable, la règle de généralisation déduit@xFdeF.
F
@xF
Règle troublante ?
§non, c’est ce que l’on fait dans le raisonnement courant régulièrement :
‚si on arrive à prouverFpxqsans hypothèse particulière surx, alors on saura que@xFpxq.
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Axiomes logiques
Lesaxiomes logiques du calcul des prédicatssont : 1.toutes les instances des tautologies du calcul propositionnel ; 2.les axiomes des quantificateurs, c’est-à-dire
2.1les formules de la formepDxFô @x Fq, oùFest une formule quelconque etxune variable quelconque ; 2.2les formules de la formep@xpFñGq ñ pFñ @xGqqoùFet
Gsont des formules quelconques etxune variable qui n’a pas d’occurrence libre dansF;
2.3les formules de la formep@xFñFpt{xqqoùFest une formule,tun terme et aucune occurrence libre dexdansFne se trouve dans le champ d’un quantificateur liant une variable det, oùFpt{xqdésigne la substitution dexpart.
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Preuve par modus ponens et généralisation
SoitTune théorie etFune formule.
Unepreuve deFà partir deTest une suite finie F1,F2,¨ ¨ ¨,Fnde formules telle que
§Fnest égale àF,
§et pour touti,
‚ou bienFiest dansT,
‚ou bienFiest un axiome logique,
‚ou bienFis’obtient par modus ponens à partir de deux formulesFj,Fkavecjăietkăi,
‚ou bienFis’obtient à partir d’un formuleFjavecjăipar généralisation.
Et on noteT$Fdans ce cas.
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Exemple
Voici une preuve de@v0@v1Fñ @v1@v0F(à partir deT“ H).
F1:@v0@v1Fñ @v1F (axiome des quantificateurs 2.3) ;
F2:@v1FñF (axiome des quantificateur 2.3) ;
F3:p@v0@v1Fñ @v1Fq ñ pp@v1FñFq ñ p@v0@v1FñFqq (instance d’une tautologie) ;
F4:pp@v1FñFq ñ p@v0@v1FñFqq
(modus ponens à partir deF1etF3) ; F5:p@v0@v1FñFq
(modus ponens à partir deF2etF3) ; F6:@v0p@v0@v1FñFq
(par généralisation) ; F7:@v0p@v0@v1FñFq ñ p@v0@v1Fñ @v0Fq
(axiome des quantificateurs 2.2) ; F8:p@v0@v1Fñ @v0Fq
(modus ponens à partir deF6 etF7) ; F9:@v1p@v0@v1Fñ @v0Fq
(par généralisation) ; F10:p@v1p@v0@v1Fñ @v0Fqq ñ p@v0@v1Fñ @v1@v0Fq
(axiome des quantificateurs 2.2) ; F11:p@v0@v1Fñ @v1@v0Fq
(modus ponens à partir deF9etF10) ; 25
Théorème de complétude
Ce système de déduction est valide et complet.
§Rappel :T$Fpour “Fse prouve à partir deT” dans ce système.
§Notons :T|ùFpour “tout modèle deTest un modèle deF.”
C’est-à-dire :
Théorème de Validité : SoitTune théorie. SoitFune formule close.
SiT$FalorsT|ùF.
Théorème de Complétude. SoitTune théorie. SoitFune formule close.
SiT|ùFalorsT$F.
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Déduction naturelle
La notion de démonstration précédente est pénible à utiliser en pratique.
Une alternative : ladéduction naturelle.
Principe :
§On manipule des couples (appelésséquents)Γ$A, oùΓest un ensemble fini de formules (propositionnelles) etAest une formule (propositionnelle).
‚Motivation sous-jacente :Γ$Aexprime le fait que sous les hypothèsesΓ, on aA.
§On utilise les règles de déduction du transparent suivant
‚i.e. : on définit inductivementl’ensemble des séquents dérivablespar les règles du transparent suivant.
‚Ici, on considère que les formules incluent aussiK, interprété par faux, etJinterprété par vrai.
On dit queFest prouvable à partir deT, notéT$Fsi T$Fest un séquent dérivable.Fest diteprouvablesi elle
est prouvable à partir deT“ H. 27
Γ$Aaxiomepour chaqueAPΓ
Γ$ JJ-intro Γ$ K Γ$AK-élim Γ$AΓ$B
Γ$A^B ^-intro Γ$A^B
Γ$A ^-élim Γ$A^B
Γ$B ^-élim Γ$A Γ$A_B_-intro Γ$A
Γ$ @x A@-introxnon libre dansΓ Γ$ @x A Γ$ pt{xqA@-élim
Γ$B Γ$A_B_-intro Γ$A_B Γ,A$C Γ,B$C
Γ$C _-élim Γ,A$B Γ$AñBñ-intro Γ$AñBΓ$A
Γ$B ñ-élim Γ,A$ K Γ$ A -intro Γ$AΓ$ A
Γ$ K -élim Γ$A_ Atiers exclu
Γ$ pt{xqA Γ$ Dx AD-intro Γ$ Dx A Γ,A$B
Γ$B D-élimxnon libre dansΓ,B 28
Exemple
Dx A$A_ Atiers exclu Dx A,A$Aaxiome
Dx A, A$ Dx Aaxiome Dx A, A$ Aaxiome Dx A, A$ Dx AD-intro Dx A, A$ K -élim Dx A, A$AK-élim
Dx A$A _-élim
Dx A$ @x A@-intro
$ Dx Añ @x Añ-intro
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Théorème de complétude
Ce système de déduction est valide et complet.
§Rappel :T$Fpour “Fse prouve à partir deT” dans ce système.
§Notons :T|ùFpour “tout modèle deTest un modèle deF.”
C’est-à-dire :
Théorème de Validité : SoitTune théorie. SoitFune formule close.
SiT$FalorsT|ùF.
Théorème de Complétude. SoitTune théorie. SoitFune formule close.
SiT|ùFalorsT$F.
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Enoncé
On peut construire un (des) système(s) de preuve valide(s) et complet(s) :
§Notons :T$Fpour “Fse prouve à partir deT” dans ce système.
§Notons :T|ùFpour “tout modèle deTest un modèle deF.”
C’est-à-dire :
Théorème de Validité : SoitTune théorie. SoitFune formule close.
SiT$FalorsT|ùF.
Théorème de Complétude. SoitTune théorie. SoitFune formule close.
SiT|ùFalorsT$F.
31
Autre façon de comprendre ce qu’on obtient : prouvabilité et conséquence sémantique sont les mêmes notions.
T$Fsi et seulement siT|ùF.
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Une remarque sur les systèmes de preuve
Une théorieTest ditecohérentes’il n’existe pas de formule Ftelle queT$FetT$ F.
SiTn’est pas cohérente, alorsTprouve toute formule.
Autrement dit : s’il y a une formuleFtelle queT$Fet T$ Falors pour toute formuleG, on aT$GetT$ G
§(pour les preuves à la Hilbert, concaténer une preuve deF, une preuve de F, ajouter la tautologiepFñ p FñGqqet un modus ponens).
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Autres formulations équivalentes du théorème de complétude
3 formulations équivalentes du théorème de Complétude.
1.Pour toute formuleF,T|ùFimpliqueT$F.
2.Pour toute formuleF,Fn’est pas prouvable à partir deT implique queTY t Fupossède un modèle.
3.SiTest cohérente, alorsTpossède un modèle.
Démonstration
Equivalences :
§Entre 1.et 2.trivial (contraposé).
§2.implique 3.: facile (considérer une formuleFcomme p^ ptoujours fausse).
§3.implique 2.:
‚soitFnon prouvable dansT.
‚TY t Fuest cohérente en utilisant l’observation du transparent précédent.
‚TY t Fupossède donc un modèleM.
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Effet de bord
2Théorème de Löwenheim-Skolem.
§SiTune théorie sur une signature dénombrable possède un modèle, alors elle possède un modèle dont l’ensemble de base est dénombrable.
2. De la preuve du théorème de complétude.
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Effet de bord
3Théorème de Compacité.
§SoitTune théorie.
§Tpossède un modèle si et seulement si toute partie finie deT possède un modèle.
3. De la nature de ce que l’on appelle une preuve : du fait qu’une preuve fait intervenir un nombre fini de formules.
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Corps réels clos
Application du théorème de Löwenheim-Skolem :
§il existe des corps réels clos dénombrables.
‚(exemple : les réels algébriquesQXR).
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Corps
Application du théorème de compacité :
§SoitFune formule qui est satisfaite dans tous les corps de caractéristique 0 (sur la signature correspondante).
§Alors il existe un entierPtel queFest satisfaite dans tous les corps de caractéristiquepěP.
38
Démonstration :
§Fdoit être une conséquence deTY t F2,¨ ¨ ¨, Fp,¨ ¨ ¨ u.
§Fdoit être une conséquence d’une partie finie de TY t F2,¨ ¨ ¨, FPupour un certainP.
§Elle doit donc être vraie pour toutpěP.
39
Aujourd’hui : le monde est beau . . .
On peut construire un (des) système(s) de preuve valide(s) et complet(s) :
§Notons :T$Fpour “Fse prouve à partir deT” dans ce système.
§Notons :T|ùFpour “tout modèle deTest un modèle deF.”
C’est-à-dire :
Théorème de Validité : SoitTune théorie. SoitFune formule close.
SiT$FalorsT|ùF.
Théorème de Complétude. SoitTune théorie. SoitFune formule close.
SiT|ùFalorsT$F.
40
Le prochain épisode : . . .mais très subtil
Théorème d’incomplétude :
§Il y a cependant des formules closes qui sont vraies surNmais qui ne sont pas prouvables.
41
Exprimez vous.
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sur les cours et les PCs.
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moodle.polytechnique.fr/course/view.php?id=9656.
Commentaires, avis sur les cours et les PCs.
www.enseignement.polytechnique.fr/informatique/INF412/AVIS.
42
ANNEXES
Substitutions
Début d’une parenthèse : que signifie exactementFpt{xq?
§Fp4{xqpourF“ @xPpxq:
‚@x Pp4q
‚@x Ppxq?
Règle 1 : ne substituer que les variables libres.
Mais cela ne suffit pas :
§Fpx{yqpourF“ @x Ppx`yq?
‚si on écrit@x Ppx`xq, l’occurence libre dexa été capturée.
Règle 2 : éviter les captures de variables
§Fpx{yqpourF“ @x Ppx`yqest@w Ppw`xq.
§besoin de renommer.... équivalence alphabétique.
Plus formellement : étape 1.
Renommage de variables
Etape 1 : définir ce qu’est le renommage d’une variable liée, appeléα-conversion.
§on définit pour cela l’échange de deux variables surF.
§Notation :pxyqF:
‚partout où l’on a écritxlié ou non-lié, on metyet vice-versa.
‚Dx Fest identifié avecDypxyqFsiyR`pFq.
‚@x Fest identifié avec@ypxyqFsiyR`pFq.
Plus formellement : étape 2.
Substitutions
Etape 2 : définirFpt{xqinductivement.
§sur les termes : trivial.
§sur les formules qui ne sont pas de la formeDyGou@yG: inductif.
§pDy Gqpt{xqestDy Gpt{xqsix‰yetyR`ptq.
§p@y Gqpt{xqest@y Gpt{xqsix‰yetyR`ptq.
§sinon, renommery
‚remplacerpDy GqparpDzpzyqGqoup@y Gqparp@zpzyqGq oùzest une variable fraiche (qui n’apparaît nul par ailleurs).
‚et réappliquer ces règles.
Fin de cette parenthèse.
Théorème de validité
Théorème de Validité : SoitTune théorie. SoitFune formule.
SiT$F, alors tout modèle deTest un modèle de la clôture universelle deF.
Rappel : laclôture universelledeFest la formule
@x1@x2¨ ¨ ¨ @xnFpx1,¨ ¨ ¨,xnq, oùx1,¨ ¨ ¨,xnsont les variables libres deF.
Théorème de complétude : comment le prouver ?
Théorème de Complétude. SoitTune théorie cohérente. Alors Tpossède un modèle.
On se donne une signatureΣ, une théorieTcohérente.
On veut construire un modèleMdeT. Comment faire ?
§Pas grand-chose à se mettre sous la dent. . .
§Idée 1 : considérer les termes clos sur la signatureΣcomme ensemble de base.
§Idée 2 : arriver à obtenir que pour toute formule closeF, Mest un modèle deFssiT$F
Idée 1
Son ensemble de base (le domaine) est l’ensembleMdes termes clos sur la signatureΣde la théorie.
Interprétations ?
1.sicest une constante, l’interprétationcMdecest la constantecelle-même.
2.sifest un symbole de fonction d’aritén, son interprétation fMest la fonction qui aux termes clost1,¨ ¨ ¨,tnassocie le terme closfpt1,¨ ¨ ¨,tnq.
3.siRest un symbole de relation d’aritén, son interprétation RMest le sous-ensemble deMnconstitué despt1,¨ ¨ ¨,tnqtels queT$Rpt1,¨ ¨ ¨,tnq.
Trop naïf sans hypothèses sur T
Cela ne suffit pas.
Illustration d’un premier problème : un seul axiome Ppcq _Qpcq.
§Les formulesPpcq, Ppcq,Qpcq, Qpcqsont non-démontrables.
§Il faut forcer à avoirPpcqou Ppcq.
§Remarque : si l’on fixe le choix Ppcq, alorsQpcqsera prouvable, et donc on aura fixéQpcq.
Illustration du second problème : deux axiomes Ppcqet DxPpxq.
§Idée : construire un “témoin” de l’existence d’un objet vérifiant P.
Comment y arriver ?
On dit qu’une théorieTestcomplètesi pour toute formule closeFon aT$FouT$ F.
On dit qu’une théorieTadmet des témoins de Henkinsi pour toute formuleFpxqavec une variable librex, il existe un symbole de constantecdans la signature tel que pDxFpxq ñFpcqqsoit une formule de la théorieT.
Proposition. SiTest cohérente, complète, et avec des témoins de Henkin, alors on a la propriété
Mest un modèle deFssiT$F,
§et doncTpossède un modèle.
Démonstration de la proposition : par induction (pas très difficile).
Complétion d’une théorie
Proposition. Toute théorie cohérenteTsur une signatureΣ possède une extensionT1sur une signatureΣ1(avecΣ1qui contientΣ) qui est cohérente, complète et avec des témoins de Henkin.
La signatureΣ1est obtenue en ajoutant un nombre dénombrable de nouvelles constantes à la signatureΣ.
La signatureΣ1obtenue reste dénombrable et on peut énumérer les formules closespFnqnPNdeΣ1.
La théorieT1est obtenue comme l’union d’une suite croissante de théoriesTn, définie par récurrence, en partant deT0“T.
§SupposonsTncohérente construite.
‚Pour construireTn`1on considère la formuleFn`1dans l’énumération des formules closes deΣ1.
‚SiTnYFn`1est cohérente, alors on poseGn“Fn`1, sinon on poseGn“ Fn`1.
‚Dans les deux casTnY tGnuest cohérente.
La théorieTn`1est définie par :
1.Tn`1“TnY tGnusiGnn’est pas de la formeDxH.
2.Tn`1“TnY tGn,Hpc{xqusinon
‚oùcest un nouveau symbole de constante qui n’apparaît dans aucune formule deTnY tGnu;
‚il y a toujours un tel symbole, car il y a un nombre fini de symboles de constantes dansTnY tGnu.
on montre que par construction la théorieTn`1est cohérente.
La théorie
T1“ď nPNTn est cohérente,
§puisque tout sous-ensemble fini de celle-ci est contenu dans l’une des théoriesTn, et donc est cohérent.
La théorieT1est aussi complète :
§siFest une formule close deΣ1, elle apparaît à un moment dans l’énumération des formulesFn, et par construction, soit FnPTnsoit FnPTn.
Enfin la théorieT1a des témoins de Henkin :
§siHpxqest une formule avec la variable librex, alors la formule DxHapparaît comme une formule dans l’énumération des formulesFn.
§Il y a alors deux cas, soit FnPTn`1ou il y a une constantec telle queHpc{xq PTn`1.
§Dans les deux cas, on obtient facilement Tn`1$ DxHpxq ñHpc{xq,
§ce qui prouve quepDxHpxq ñHpc{xqqest dansT1
‚(sinon, puisqueT1est complète, sa négation y serait, etT1ne serait pas cohérente).
Et donc on a prouvé le théorème de complétude.
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