La théorie de Kummer et le $K_2$ des corps de nombres

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

J

EAN

-F

RANÇOIS

J

AULENT

La théorie de Kummer et le K

2

des corps de nombres

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

2, n

o

_{2 (1990),}

p. 377-411

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1990__2_2_377_0>

© Université Bordeaux 1, 1990, tous droits réservés.

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La

théorie

de Kummer

et

le K2 des

corps

de nombres

par

JEAN-FRANÇOIS

JAULENT

Résumé : Nous associons à _chaque corps de nombres K un _groupe

uni-versel

_{K2 (K)}

_analogue au _{groupe symbolique K2}

_(K),

et deux _sous-groupes canoniques finis

_{R2 (K)}

et

_{H2 (K),}

_{qui correspondent} aux _{noyaux réguliers}

et hilbertien de la _K-théorie, et permettent d’expliciter les _{correspondances}

remarquables entre divers modules _galoisiens classiques faisant intervenir les

conjectures de Leopoldt et de Gross.

SOMNIAIRE

INTRODUCTION

CONVENTIONS

&#x26;

NOTATIONS

1. - LE RADICAL UNIVERSEL ~.

a.- Définition des groupes

b.- Introduction des _groupes d’unités

_{logarithmiques.}

c.-

Application

aux _groupes de Brauer.

d.- Restriction au radical modéré

(ou régulier)

9J1.

2. - LE RADICAL

HILBERTIEN jj

a.-

Interprétation symbolique :

les groupes b.-

_{Interprétation}

kummérienne : _{les groupes}

c.-

Application

aux unités

logarithmiques.

d.-

_{Isomorphismes}

de fausse dualité.

APPENDICE : LES CONJECTURES DE LEOPOLDT ET DE GROSS

INDEX DES NOTATIONS

RÉFÉRENCES

INTRODUCTION

Nous

_développons

dans cet article un

parallèle

entre la théorie de Tate sur le

l12

des _corps de nombres et la

description

kummérienne des genres dans une tour

cyclotomique.

Nous sommes

_amenés,

_pour

cela,

à associer à

_chaque

_corps de nombres 7~ un _{groupe universel}

7~2 (~)?

analogue

au groupe

symbolique

et deux sous-groupes

canoniques finis,

et

_{qui correspondent respectivement}

aux _noyaux

réguliers

R2(K)

et hilbertien

_{H2 (Ii)}

de la K-théorie. Ces deux _groupes sont

_remarquables

à

_plus

d’un titre :

-

D’abord,

comme le montrent les résultats de fausse dualité énoncés dans la dernière

_section,

ils constituent une bonne

approximation

des _noyaux de la K-théorie : en

_particulier,

ils ont les mêmes dès _que le _corps li contient les racines .~~’~-ièmes de l’unité.

-

Ensuite, puisque

définis

_{kummériennement,}

ils relèvent par dualité des méthodes de la théorie du _corps de

_classes,

et se

présentent

en fin de

_compte

comme les duaux de

_Pontrjagin

de modules

galoisiens

classiques

conve-nablement

_tordus,

dont

_{l’arithmétique}

est bien connue.

-

Enfin,

il se trouve

_qu’ils

interviennent de

_façon

naturelle dans un cer-tain nombre de

_questions

mettant en

jeu

les

conjectures

de

Leopoldt

et de

Gross,

pour

lesquelles

ils fournissent un cadre

conceptuel particulièrement

commode.

Une

_première

rédaction de cette étude

_figure

dans le

_chapitre

1 de

_[13].

La

présente version, plus complète, intègre

nombre de résultats

_récents,

et met

plus particulièrement

l’accent sur le rôle

joué

dans les

problèmes

étudiés

par le

£-groupe

des classes

logarithmiques

introduit dans

[14]

mais

déjà

rencontré dans

_[13]

sous une forme

légèrement

différente

(c’est

le groupe des classes de valeurs

_absolues).

Un court

_{appendice présente}

dans ce contexte une condition suffisante

_classique

des

_conjectures

de

_Leopoldt

et de Gross.

CONVENTIONS &#x26; NOTATIONS

Dans tout ce

qui suit, £

désigne

un nombre

premier

(éventuellement 2),

et 7~ un _corps de nombres contenant les racines 2.~-ièmes de l’unité. Nous écrivons

!(0Cl =

_U

la £-tour

_cyclotomique

construite sur

_li,

~E~

racines .~~’~-ièmes de l’unité dans C. Nous notons =

U

_pin. la limite

inductive des _pin,

_puis

T.~

= m

Mfn le module de Tate

(qui

s’identifie à

11

comme _groupe

_abstrait,

via

_{l’exponentielle complexe}

n et

Te

n,

le module

_opposé

_(c’est

_{à dire le même groupe}

_équipé

de l’action

_opposée

des groupes de

Galois),

qui

s’identifie

_{canoniquement}

au dual de

Pontrjagin

= du groupe

Le caractère w de l’action _{du groupe de} Galois sur le mod-ule de Tate

Te

est,

par

définition,

le caractère

cyclotomique

du groupe

son

_opposé

_é3,

défini _par

est le caractère

_{anticyclotomique ;}

c’est aussi le caractère du module

Te.

Si no est le

plus grand

entier

qui

vérifie = 7~

(de

sorte que K contient

1À,r.o mais non _{Illno+1 ,} nous _supposerons

_{implicitement}

dans tout ce

qui

suit n &#x3E; no, et donc

_Knl

= .~. En

particulier,

_{par ln} nous entendons

l’unique générateur topologique

du _groupe

_procyclique

_{Fn, =}

_Gal(K"lKn)

défini _par l’identité

c’est à dire _par la condition

_{r~(~y" ) =}

1 + ln.

Convention : Pour tout module

_{multiplicatif ~,}

nous disons

qu’un

élé-ment x de X est :

_i)

de hauteur m,

lorsque

c’est une

_puissance

dans

_~,

i.e.

_lorsqu’il

s’écrit x =

pour un _zm,

de X ;

ii)

de hauteur oo,

lorsqu’il

est de hauteur m _{pour tout m,} i.e.

lorsque

pour tout

m 6 N,

il existe un zm,

qui

vérifie x =

x~,~ ;

iii)

divisible, lorsqu’il

peut

être indéfiniment

_divisé,

i.e.

_lorsqu’il

existe une suite

3~

avec x =

= x2, etc...

Nous notons

_3C,,

=

nmen

3C’-’ le

sous-module de X formé des éléments de hauteur

_infinie,

et

_3Ci.,

le sous-module de

_3C,,

constituté des éléments divisibles de X.

Le module coïndide avec

Xoo,

lorsque X

est de

_cotype

fini

_(i.e.

lorsque

le

_{sous-module IX}

annulé

_par

est

_fini),

mais ce résultat est

évidem-ment faux en

_général.

Enfin,

suivant

_l’usage,

nous

_appelons

codimension d’un module divi-.

sible de torsion X la dimension sur

Zi

de son dual de

Pontrjagin i =

Lorsque X

est de

_cotype

fini et stable _pour l’action d’un groupe

d’automorphismes

A,

nous disons de même _que le caractère du

1. - LE RADICAL UNIVERSEL 91

DÉFINITION

1.1. Par £-radical universel d’un _corps de nombres

li,

nous entendons le tensorisé _par

_Qi/Zj

de son _groupe

multiplicatif,

_que nous notons :

Le groupe

~. j~-

est,

par

construction,

un

Zf-module

divisible de

torsion,

dont tout élément admet une

_{représentation}

de la forme .~-’~ ® ~ avec

La condition .~-r" ® ~ = 1

signifie

alors

que l’élément

est le

_produit

x =

(y,m

d’une racine de l’unité et d’une

_puissance

.em,-ième dans 7. On

_prendra

_garde,

en

effet,

_que le

produit

tensoriel _par le groupe divisible

Qf Il,

a _pour

conséquence

la

disparition

du sous-groupe de torsion de 7~~. Dans le cas

qui

nous

intéresse,

la tour

_cyclotomique

étant la réunion des sous-corps

Ii n,

le radical

universel,

disons

~.T~ ~, ,

qui

lui

_correspond

s’obtient naturellement comme limite inductive des radicaux

=

(Qt/Zt)

_07L

Kx.

Le

point

essentiel ici est que les groupes

9ÎK,

vérifient la théorie de Galois :

PROPOSITION 1.2.

_{L’application}

naturelle dans

_9l¡,-00

est un

mor-phisme

injectif

Plus

_{précisément,}

_pour

_chaque

naturel _n, le radical

uni-associé au _corps

7~

s’identifie

canoniquement

au sous-module des

_points

fixes dans

_~j,-~

du _groupe de Galois

r n

= ce

que nous écrivons tout

simplement :

.’

Démonstration

_(cf.

_[7],

section

_II,

_pour un cas

particulier) :

Soit xn un élément de La relation

£-1

0 X11, = 1

dans 91 ilB

entraîne _C

=

donc,

_par la théorie de Kummer : -

pour

un (11,

de c’est à

dire,

en fin de

_compte,

£-1

_{0 X11,} = 1 dans Autrement

_dit,

tout élément d’ordre .~ de s’envoie sur un élément

d’ordre £

_{de 91,,-_,}

et

_{l’application}

naturelle est bien

injective.

Soit maintenant £-P un élément fixé _par

r n,

_pour un n _p. Dans ce _cas, .~-~’ 0 est

_égal

à

_1,

ce

_qui

_signifie

(puisque

les racines de l’unité sont divisibles dans

₁₎

_que

_x;n.-1

est une

_puissa.nce

£P-ième

00 p

dans

Écrivons

donc

_{x -}

_pour de

_{K x,}

avec

_{q &#x3E;}

_{n ; et} considérons l’êlément donné _par la norme

arithmétique

_{N~,~~, _}

Nous avons =

lV (xyn - ) =

x - =

1,

ce

qui

Bf}/ (n . ous avons _{q/11, Yq} -

q/n

p

-

Xp -, ce qUI

norme d’une racine de

_{l’unité (’1}

de Il suit : =

1,

puis,

en vertu du théorème 90 de Hilbert

_appliqué

à l’extension

_cyclique

z ,

pour un zq de En

p articulier,

l’élément

(rz’n- _ (;p

est une racine de

_l’unité,

de sorte _que nous _pouvons [crire - -

? - n, ’Yn -1

ce

qui

nous _{prouve que zp} est 1

_produit

écrire .

=

(

" " ce

qui

nous _{prouve que :Cp} est le

_produit

d’un

élément Xn

de

_{li; ,}

d’une racine de

_l’unité,

et d’une

puis-sance

£P-ième ;

autrement dit _que nous avons .~-~’ _ .~-~’ 0 Xn E

% 1,-~ ,

comme attendu.

COROLLAIRE 1.3.

_{LorsqUe 1 est impair,}

l’intersection des sous-modules

respectifs

de

_{Tf 01,}

_9{¡,C’)Q

et

_{T~ 071.,}

_~.j,-~,

fixés par

r n

est le sous-groupe de de

_{~t. F~-~ :}

Pour =

2,

en

_revanche,

on a seulement

Démonstration : Les modules et

Tj

étant

_identiques

en tant que groupes

abstraits,

les groupes

®a~

et

_{Ti ®g~}

ne diffèrent _{que par} l’action de Galois. Soit donc .~-~’ un élément de l’intersection

_(T,

_(T~

_~a,

L’identité .~-~’ @

1 =

~-~0~ ’"~~~

nous _{montre que}

qui

est annulé

par ;11. -

7~B

est fixé par donc contenu dans

~~t~~

d’après

la propo-sition 1 ci-dessous dès lors

_{que I!}

est

_impair.

Nous pouvons ainsi supposer

x~, E

_{~f~; ,}

auquel

cas nous obtenons immédiatement :

1.e. l~P ©

_xp

_~.j~-~

ce

_qui

achève la démonstration dans ce cas. Le cas e = 2 est immédiat.

a. - D éfinition des _groupes

Le groupe universel pour les

symboles

sur un _{corps 7~}

_peut

être défini comme le

_quotient

du carré tensoriel _0s du Z-module

mul-tiplicatif

par l’idéal

engendré

par les éléments de la forme x o

(1- x,

pour e

~f, ~ 0,1 ~ .

Dans le cas des _corps de

nombres,

on sait

depuis

les

résultats de Tate et

_Bass,

et le théorème de finitude de Garland

_(cf.~2~~

que

K2(K)

est un _{groupe de}

torsion,

donc le

produit

direct de ses _sous-groupes de

_Sylow.

En

_fait,

seul le

_{.~-sous-groupe}

de

_Sylow

nous

_{importe ici,}

de sorte que nous continuerons _par abus à le noter _pour ne _pas alourdir inu-tilement les notations. Cela

_posé,

le résultat fondamental de Tate

_{(cf. [2 4]}

et

_[26])

est alors _que les éléments d’ordre

_.~-primaire

de

_{K2(K) (c’est-à-dire}

ceux de

~~’2(h’~,

avec la convention d’écriture

ci-dessus)

s’obtiennent _par montée dans la £-tour

_cyclotomique

THÉORÈME

1.4. Pour

_chaque

naturel n, le

.~-sous-groupe

de

Sylow

K2 (If~, ~

du groupe universel pour les

symboles

sur le _corps est déterminé _par la suite exacte

_canonique

de

_Z/-modules

_{galoisiens :}

Dans

_celle-ci,

le terme médian

_désigne

_{le sous-groupe des}

_points

fixes _par

= du

produit

tensoriel

TI

9B100 ~

_®a

h’~,

et le

terme de

_gauche

son _sous-groupe divisible maximal.

Le calcul de la codimension du _sous-groupe divisible est

l’un des théorèmes essentiels de Tate sur le

₁₁₂

des _corps de nombres

(cf.

[26], §5).

Comme nous allons le voir

plus loin,

ce résultat est

l’analogue

pour la K-théorie des corps de

nombres,

de la

conjecture

de

Leopoldt

pour la £-ramification,. Avant de

_développer

ce

point

de _vue, disons brièvement

comment le résultat de Tate

_peut

s’énoncer de

_façon

sensiblement

_plus

précise

én termes de

_{représentations :}

Donnons nous un _groupe

(fini),

disons

A,

d’automorphismes

de et notons F son _corps des invariants :

puis

_pour

chaque

entier naturel n, écrivons le relèvement naturel de A dans

et son sous _corps des

points

fixes. Pour

chaque place

à l’infini

.p~, du _corps

_désignons

_par

_Ap,,

un _{sous-groupe de}

décomposition

dans

l’extension

_lequel

ne

dépend

en fait _que de la

place

_Po de

Fn

= F

au dessous de notons _xp =

Indn

1.,

l’induit à A du caractère de la

_{représentation}

unité de

_{Ap~ = Ap~ ;}

et formons la somme

D’après

les résultats de Tate

_{(cf. [26]),}

le caractère obtenu est celui du noyau universel

UT," n

défini par l’identité :

SCOLIE 1.5. Le _sous-groupe divisible maximal

_(T/

_groupe

0z/

est

un

Zi-moduIe

divisible de codimension

finie,

égale

au

nombre de

_places

_complexes

_{ci,-n du corps}

_{Kn :}

Plus

_{précisément,}

pour tout groupe

(fini)

An,

d’automorphismes

de

K,,,

le caractère de

_An,

associé au

ZI-module

divisible

U¡{"n

défini _par l’identité

est la des induits à

_An,

des caractères unités des sous groupes de

décomposition

des

places

à I’infini dans l’extension relative

at-tachée à

An, .

THÉORÈME

ET

DÉFINITION

1.6. Par

~i2(h?,,~

nous entendons le

_quotient

du groupe

)Î71 =

par son sous-module divisible

maximal,

c’est-à-dire le

_£-groupe

de torsion défini par l’exactitude de la suite courte :

Le groupe

~~2~Ii"~

ainsi obtenu

_décrit,

via la théorie de

_Kummer,

l’ensem-ble des £-extensions de

Iim

qui proviennen t

par

composi tion

avec d’une extension abélienne de

Iin, modulp

celles

_{qui proviennent}

des

_{l,-extensions}

de

Démonstration :

_Désignons

_{par le groupe de} Galois de la £-extension abélienne maximale de

_{f( 00, puis}

_par son

quotient

des genres relatif à l’extension

_procyclique

i.e le

_plus

_grand

_quotient

de

_X,,

sur

_lequel

r 11.

opère trivialement,

autrement dit

~x~ ~ ~ :

_{c’est aussi le groupe} de Galois attaché à la

_plus

_grande

.~-extension de

qui

est abélienne sur

lin.

Cela

posé,

nous avons immédiatement :

Et _{le groupe}

_(Tt

_{®~~ ~ j~-~ ~rn}

est donc le dual de

_Pontrjagin

de

c’est-à-dire le tensorisé

_Tf

_®~,

du radical kummérien

lui,

au radical sur de la

composée

Zn

des

Zî-extensions

de Il vient

donc finalement :

ce

_qui

est

_{précisément}

le résultat annoncé.

La

_conjecture

de

_Leopoldt

_pour le _corps

_(et

le nombre

_premier

_~)

af-firme l’existence d’exactement

_{(ci,-,,,+ 1)}

ZI-extensions

linéairement

indépen-dantes sur

_hn,

autrement dit

_{l’égalité}

entre la codimension du _groupe di-visible

_(Tf

_@71.,

_{911 il - ,}

et celle du _groupe

_(Te

_(donnée

par le scolie

5).

On

sait,

de

façon

générale,

que la codimension du radical

9{¡,~oo)~

n’éxède _{de eî,-,,, que} d’une

_quantité

finie

~ j, ~ ,

qui

mesure donc le défaut de la

conjecture

de

Leopoldt

pour et

qui

reste d’ailleurs bornée

_lorsqu’on

monte la tour

_cyclotomique

_(cf.

[7], §1).

Comme

_{précédemment,}

ces résultats

s’expriment

en outre de

_façon

plus précise

en termes de

_{représentations,}

la

_{quantité b j; ~, s’interprétant}

comme

degré

du caractère de défaut _pour la

conjecture

de

Leopoldt

dans le corps

Iin,

(cf. [13]

IV.2,

3§b),

le

point remarquable

étant que, sous la con-dition

_{8 T’no}

= 0 les groupes

9~’~)~ ~

9{¡B~oo )~tv

définissent le même caractère.

SCOLIE 1.7. Le _sous-groupe divisible maximal

_(Te

du radical

(Tt

071.,

est un module de torsion de codimension finie

égale

au

nombre de

_{places complexes}

du _corps

_Iin,

_augmenté

du défaut de la

_conjecture

de

_Leopoldt

dans

Plus

_{précisément, lorsque}

celle-ci est

_vérifiée,

le _noyau des

_symboles

universels et le des

_{Z i-extensions}

définis

_{respectivement}

_par

ont même

_caractère,

_pour tout _groupe

_(fini)

A

_{d’automorphismes}

de

b. - Introduction des _groupes d’unités

_{logarithmiques}

Le nombre

_{premier £}

étant

_{toujours supposé fixé, rappelons qu’à chaque}

place

non

complexe p

d’un _corps de nombres K est attachée une valeur

Zp)

définie sur le sous _groupe

multiplicatif

du

complété p-adique

de Ii par la formule :

étant la fonction

_signe

attachée à la

_place

réelle _{p, vp la valuation} associée à la

_place

modérée _p, et

_Np

la norme absolue de l’idéal

p) :

c’est la valuation

_£-adique

de Tate

_{(cf. [27],}

ch.

_VI,§1).

Par

_composition

avec la

projection

naturelle . &#x3E; de

Zx

sur son _sous-groupe

principal

1 +

_2£Zl,

on obtient la valeur absolue

_{£-adique principale}

définie dans

_{[13] (cf.}

_1.1,

_l~c),

qui

se

_prolonge,

elle,

au

complété profini :

Dans les deux _{cas, par}

_composition

avec le

_logarithme

_{£-adique Log}

de

Zx

dans

Zi,

ces deux valeurs absolues nous donnent un même

morphisme

Log)

qui

se factorise _par le

complété profini

et

_prend

ses valeurs dans _{le groupe additif}

_Zr.

DÉFINITION 1.8. Nous

_appelons

_{groupe des diviseurs}

_{logarithmiques}

d’un

corps de nombres

7~,

et nous notons

canonique

du £-adifié

du groupe des idèles de Ii

(défini

comme

_produit

restreint des

_complétés

profinis

_{~~~ ~}

par la famille des

applications

hp

=

Logl ip

lorsque p

par-court l’ensemble des

_places

finies de Par

_convention,

le

_degré

_degd

d’un

diviseur

_{logarithmique}

est la somme dans

1,

de ses

_composantes.

D’après

[13]

(cf.

prop.

1.1.8),

le sous-groupe de

image

par h =

(hp)p

du sous-groupe

principal

7~~ =

1,

_@71. de

~1¡,~

est formé de diviseurs de

_degré

nul. Plus

_{précisément :}

SCOLIE 1.9. Le sous-groupe

principal PR¡(

de est contenu dans le sous-groupe VR des diviseurs

logarithmiques

de

degré

0. Le

quotient

est,

par

définition,

le groupe des classes

Iogarithmiques

de ..La

conjecture

de Gross

_{généralisée}

_(pour

le _corps 11 e t le affirme que c’es t un

£-groupe

fini.

Cela

posé,

introduisons le tensorisé

_£-adique

=

1,

_®~

DT-(

du groupe

des diviseurs de 7~.

_{L’application}

naturelle div

_qui

a un idèle

principal

x E

Ri,-

associe le diviseur

_principal

_div(x)

=

Il p"P(")

conduit à la suite

p exacte à

_quatre

termes

où le noyau à

gauche

est le tensorisé

.~-adique

£T,-

=

Ei.-

du _groupe des unités de

_K,

et le _conoyau à droite n’est rien d’autre que le

£-groupe

des classes de diviseurs de h

_(i.e.

le

_{£-sous-groupe}

de

_Sylow

du _groupe des classes de

_diviseurs).

La suite exacte

_analogue

attachée à h

définit un sous-module de

_qu’il

est commode

_d’appeler

_groupe des unités

_{logarithmiques}

du corps K. Pour déterminer son _rang, remar-quons d’abord que

l’expression

de

h~

aux

_places

modérées

(i.e.

étrangères

à

.~)

montre que

NI,-,

tout comme

£T,-,

est contenu dans le tensorisé

£-adique

e’-

=

Zj

_®~ du groupe des 1-unités de 7B". Par restriction à

£~(’

nous obtenons alors la suite exacte :

(où

_éjjjLog[K[

Ir

désigne

le sous-groupe de constitué des diviseurs

logarithmiques

de

_degré

nul construits sur les

places

au-dessus de

,

et

C£),-le

_.-groupe

des £-classes de diviseurs de

K,

i.e. le

_quotient

de

_C.F-

_par le sous-groupe des diviseurs construits sur les

places

au dessus de

~),

qu’il

convient de

_rapprocher

de la suite

_classique

Maintenant,

le groupe est fini sous la

conjecture

de

Gross,

et le terme

médian

_I(

s’identifie

_(non

_{canoniquement)}

au _noyau de la

for-mule du

_produit

Il vient donc directement :

(ri~- :

nombre de

_{places réelles ;}

ci,- : nombre de

places complexes

de

THÉORÈME

ET

DÉFINITION

1.10. Pour tout corps de nombres K le sous-groupe

NT,

du formé des

idèles principaux

dont le

diviseur

_{logarithmique}

est

_trivial,

est un sous-module _pur de

_{R j; , produit}

direct du des racines de l’unité dans

Ii ,

et d’un

_Zt-module

libre de dimension + +

ô j,-,

où r j,- est le nombre de

places réelles,

eT(

le nombre de

_{places complexes}

et le défaut de la

_conjecture

de Gross

dans le _corps 7B".

Nous disons _que

NI,-

est _{le groupe des unités}

_{logarithmiques}

de 7~.

SCOLIE 1.11. Avec les conventions des sections

_{précédentes,}

_pour

_chaque

naturel n, le groupe divisible = construit sur les unités

_{logarithmiques}

du _corps est un sous _{groupe de}

_et

un

Zr-module divisible de codimension finie

_égale

au nombre de

places

complexes

du _corps

_augmenté

du de la

_{con jecture}

de Gross dans

Lorsque

celle-ci est

_vérifiée,

les _groupes

_~~,,~

et définissent le même

caractère,

pour tout groupe fini

An,

d’automorphismes

de

Démonstration : Les suites exactes

_{précédentes}

_{montrent que} le caractère

du est

_égal

à celui du module des unités

_augmenté

du caractère

_unité,

sous réserve de la

_conjecture

de Gross.

_Maintenant,

le caractère de est donné _par le théorème de

_{représentation}

de

Herbrand,

et _{celui du groupe}

_~,1.%n

_par la théorie de Tate

_(cf.

Scolie

_1.5).

c. -

Application

aux _groupes de Brauer

Étant

donné un entier naturel m &#x3E;

_1,

fixons n &#x3E; m _{pour que} le _corps contienne le _{groupe Mi-} les racines £"~~-ièmes de l’unité.

_{L’application}

trilinéaire

qui

a un

élément (

de et à un

couple

(a, b)

d’éléments de associe la classe dans le

_£-groupe

de Brauer de la

_Jn-algèbre

centrale

_simple

construite sur deux éléments et et

{3

avec les trois relations

définit,

pour ( fixé,

un

symbole

sur

ICn,

à valeurs dans le _sous-groupe de

produit

tensoriel 07J. dans

_qui

est un

isomorphisme

de modules

_galoisiens,

en vertu d’un résultat de Tate

_{(cf. [24], §5).}

Ce résultat est d’ailleurs extrêmement

_général,

_puisque

_Mercurjev

et Suslin

ont montré

_qu’il

vaut en fait _{pour tout corps}

(cf. [20]).

Dans le cas des _corps de nombres

qui

nous intéresse

ici,

l’isomorphisme

obtenu

transporté

par

l’isomorphisme canonique

de localisation

(où

la somme de droite

_porte

sur les familles d’éléments des £-groupes de Brauer locaux

qui

satisfont la formule du

"produit"

¿Pn

bp" -

0 dans

_lorsque

_Pn. décrit l’ensemble des

_places

non

complexes

de conduit aux identifications :

Et les

_{applications projetantes}

obtenues ~

/p§£

_ne

sont rien d’autre _que les

_morphismes

induits _par les

_symboles

de Hilbert attachés aux

places

non

_complexes

de

(On

_{notera que}

_h’n

étant

supposé

totalement

_imaginaire,

il

_n’y

a _pas lieu de

comptabiliser

de contribution

réelle).

C’est le résultat cité de Tate.

Considérons _{maintenant le groupe}

_~i2(~~~,,~

ou

plutôt

son

quotient

d’expo-sant £"~~ :

_{~’~ Ii~ (~i ~, ~}

=

Ii2 (Ii n ~/h2 (I~i ",~~’~ .

D’après

le théorème

1.6,

c’est exactement le dual de

_Pontrjagin

du _sous-groupe de

di-sons du groupe de Galois attaché à la £-extension

abélienne maximale de

_!(n.

_Maintenant,

le

_quotient

de étant

_{projectif et}

sans

torsion,

est aussi le _sous-groupe de ~-torsion du groupe =

qui

_peut

être décrit

par la

théorie

_£-adique

du _corps de classes.

_D’après

_{[13] (ch.I,}

section

₁₎

_{le groupe}

x~~ ~

s’identifie en effet au

quotient

y/~/7~~

du £-adifié

_,~T~-~,

_

du groupe des idèles de par le sous-groupe

7~~

=

Zj

_@71. des

idèles

_principaux,

et les éléments de se trouvent

représentés

_par les idèles dont la

_puissance

est un élément x Comme

Iin

contient par

construction les racines de

_l’unité,

nous _pouvons

localement triviale

partout,

est

_globalement

_triviale,

autrement dit que est lui-même une

puissance

dans Écrivant alors

:c =

y~’~,

et

_posant

= nous obtenons

p)§

=

1, Vpn,,

ce

qui

nous _{prouve que} les éléments de _~~ sont ceux

représentés

_par les racines 1’"’-ièmes de l’unité dans :

Transportant

enfin par dualité l’identité

obtenue,

nous obtenons

l’analogue

exact du théorème de Tate :

et,

ici encore,

les applications

projetantes

sont données par

les

syi-nboles

de Hilbert locaux. Ainsi :

THÉORÈME

1.12. Pour tout m &#x3E; 1

_et.chaque

n &#x3E; _rn,.

_les.

_symboles

de Hilbert attachés aux

places

non

complexes

_Pn du _corps

Iin

induisent les

isomorphismes

":

et

où le membre de droite est la somme directe des

quotients d’exposants

.~~’ des

_£-groupes

locaux de racines de

_l’unité,

restreinte aux familles

qui

vérifient la formule du

_produit.

’

Dans les deux cas, on obtient ainsi un

isomorphisme

faisant intervenir le

.~-groupe

de Brauer :

d. - Restriction au _noyau modéré

_(ou

régulier)

9J1

Le radical _{universel 9t étant très gros, il}

_peut

être commode de le

rem-placer

par un _sous-groupe

_canonique

plus petit,

le radical modéré

(ou

encore

régulier,

la distinction étant sans

objet

en l’absence de

places

réelles)

9Jt,

DÉFINITION

1.13. Pour _{tout corps} de nombres

_{7~ l’application}

naturelle

z -

(x~’

du groupe

multiplicatif

I~" dans le groupe

~Jj

des idéaux in-versibles du localisé

_0"

=

0,,[1/£]

en dehors de £ de l’anneau des entiers de

_K,

induit une

_surjection

du radical universel

~k- _

Qj /Z j

_{oz h"} sur le

_produit

tensoriel

_{Qj /Z j}

₀₁

_Ij(.

Son _noyau

est

_appelé

_{le sous-groupe modéré du radical}

_{~tT~ .}

Notons d’abord que dans une tour

_cyclotomique

_{les sous-groupes}

modérés attachés aux divers

étages

finis,

satisfont les mêmes

pro-priétés

galoisiennes

que les radicaux En

effet,

en l’absence de

ra-mification en dehors de

.~,

le fait d’être une

puissance

de

.~-idéal,

pour un élément de

7~,

se lit indifférement dans ou dans Et la

proposition

1.2 vaut donc aussi _{pour les sous-groupes modérés :}

PROPOSITION 1.14. Dans une tour

_{cyclotomique,}

les radicaux modérés vérifient la théorie de

_{Galois ;}

ce

qui

s’écrit :

Cela

_étant,

tout comme leurs

homologues ~. j~’n

les sous _{groupes modérés}

sont

_susceptibles

d’une

_triple

_{interprétation : symbolique,}

kum-mérienne,

ou en termes de valeurs absolues :

- Du

point

de vue de la

!{ - théorie,

les radicaux

~T~,~

sont les _noyaux dans des

_1-symboles

_réguliers

_{(ou modérés)}

à valeurs dans les £-sous-groupes de

Sylow

des groupes locaux de racines de l’unité attachés aux

complétions

non

complexes

de

lesquels

sont donnés _par la formule bien connue :

où .

_désigne

ici la

_projection

naturelle de

_11§

sur Il vient donc

en haut de la tour :

Et la descente

_galoisienne

_peut

s’effectuer comme suit : Partant de la suite exacte courte tordue

qui

définit et

_prenant

les

_points

fixes _par

_{r n,}

nous obtenons le

diagramme

commutatif

Dans la

_{première suite,}

_{le groupe de}

_cohomologie

I~~

_Tl

_0z,

9J1

_est

nul _par un résultat de Tate

(cf.[25]),

et la suite exacte du bas est induite par les

symboles réguliers.

- Du

point

de vue

kummérien,

la condition de

puissance £k -ième

de

.-idéal,

pour un élément

£-k 0 x

de 9J1

h traduit la non ramification en

de-hors de ~ de l’extension

_cyclique

Le _groupe

_{Te 01,1}

est donc le radical kummérien associé à la .~-extension abélienne .~-ramifiée maximale

_M~

du _corps c’est à dire le dual de

_Pontrjagin

_{du groupe de}

Galois En

_particulier,

son _sous-groupe

(Tl

_071.,

9)1’(00

)rn

est lui le dual de

_Pontrjagin

du

_quotient

des _genres =rn

de associé à _{c’est à dire du groupe de}

Galois sur

_lico

attaché à la sous-extension maximale

_M~,

de

_Mm

_qui

est

abélienne sur autrement dit à la ~-extension abélienne £-ramifié max-imale

M~,

de L’ensemble de cette discussion

_peut

donc se résumer comme suit :

THÉORÈME

ET

DÉFINITION

1.15. Pour

_chaque

entier naturel _n, le _noyau

R2 (h~, )

des

_symboles

_réguliers

dans

_{Je groupe}

_{~f2 (h’~, )}

est le noyau modéré

071.,

9)1,,~oo )rn

du _groupe

_(Tr

_{®g~ ~ jc~ )r~,}

=

(lie-

_0! ce

_qui

se traduit _par I’exactitude de la suite courte

_{canonique :}

Nous notons

_£-groupe

de torsion défini _par l’exactitude de la

suite courte :

Le groupe est un

_{.~ groupe}

fini, qui

s’identifie au dual de

Pontrja-gin

d u sous-groupe de torsion

7}~

du groupe de Galois de la .~-extension abélienne £-ramifiée maximale

_M~~,

de

En

_particulier,

les _groupes sont tous deux finis.

La finitude du _noyau

_régulier

résulte du théorème de Garland

(cf.,

par

exemple,

[2]) ;

celle du groupe de la théorie du corps de classes. Dans les deux cas, on voit ainsi _que le groupe tordu

(Ty

_071./

)rn

(respectivement (Ti

~a~

est un

Ze-module

de

_cotype

fini. Pour vérifier

_qu’il

en va de même _pour le radical on

_peut

faire

appel

à la suite exacte

_canonique

obtenue en associant à

l’élément £-kfl)x

de la classe du

-dans le

_.~-groupe

des £-classes d’idéaux du _corps

_qui

montre que le sous-groupe divisible maximal de est le

ZI-module

divisible 0152’l{n.

construit sur les .~-unités de Mais ici

l’analogie

est

_imparfaite

en

général,

_parce que la codimension c 1’-11 - 1 +

n.

dépasse

du nombre S 1B-n. de

places

de au dessus de î diminué de 1.

Enfin,

il est bon de noter que les

_{groupes 0152’l{ n.}

ne vérifient _pas la théorie de Galois

_{(cf. [Il], §5.4}

et

_{6.3) :}

PROPOSITION 1.16. Dans une tour

_{cyclotomique,}

les _groupes divisibles construits sur les £-unités ne satisfont _pas en

_général

la théorie de

_{Galois, puisqu’on}

a

où

_désigne

_{le sous-groupe du groupe des .~-classes}

_C.~F~-n,

_{qui capitule}

"

Preuve : Cela résulte immédiatement de la suite exacte du

_serpent

ap-pliquée

au

_{diagramme :}

Pour obtenir une

analogie

plus

_complète

dans le cas des valeurs

absolues,

il est ainsi nécessaire de

_remplacer

_{le sous-groupe} modéré _par un

_autre,

plus

2. - LE RADICAL

HILBERTIEN S)

DÉFINITION

2.1. Pour

_chaque

naturel _n, nous

appelons

radical hilbertien

attaché au _corps

IIn, ,

et nous notons _sous-groupe du radical universel

~.F~,~

=

(Q¡/ZI.)

qui

est

engendré

_par les normes

cyclotomiques,

i.e.

(l’opérateur

Nm.jn

désignant

la norme

_{arithmétique}

dans

La

_réunion

= lim

_est,

_par définition le radical hilbertien

00

----* n

attaché au _corps surcirculaire

K,,.

Nous verrons un _peu

_plus

loin

(cf.

scolie

2.10)

_que les groupes

vérifient la théorie de

_Galois,

tout comme les radicaux universels ou modérés

_{9y F~n}

-a. -

Interprétation syinbolique :

les _groupes · Pour

_{chaque place}

non

complexe

_py, du _corps

_Ifn,

_désignons

_par

( ~ )

le

symbole

de Hilbert associé à _{Pn par} le _corps de classes

_local,

ou

plutôt

la

.~-partie

de ce

_{symbole, qui}

prend

ses valeurs dans le

_{.~-sous-groupe}

de

Sylow

du _groupe des racines de l’unité du

_complété

_Kpn

de

_Kn

à la

_place

Par la

_propriété

_{universelle du groupe}

_!{2(!nJ

le

_symbole

obtenu induit un

morphisme surjectif

du _groupe sur et le théorème de Moore sur le des _corps de nombres

(cf. [24], §2)

affirme même _que la famille des

_symboles

ainsi obtenus induit un

morphisme surjectif

N

de

_{K2 (Kn)}

sur le sous-groupe de la somme directe des formé des familles

_qui

vérifient la forme du

_{produit ITpn.}

_(::.71,

= 1

(où

gpn

est l’indice de

_{décomposition}

de la

_place

_pn, dans l’extension

Par _passage à la

_limite,

nous obtenons ainsi un

morphisme

surjectif

du

.-groupe

= sur le

_{sous-groupe ÉBpooJ.Jpoo}

de la somme

-directe des

_£-groupes

de racines de l’unité des

_complétés

non

_complexes

de formé des familles

_qui

satisfont la formule du

_produit

rip

Çp_ =

1. En

_effet,

dans l’identification de

_chaque

avec son

_image

diagonale

dans la somme directe

chaque

_Çp

est bien

_compté

9Pn fois dans

Une autre

_{façon d’exprimer}

ce résultat consiste à dire _que les

symboles

de Hilbert

_{( ~ )}

attachés aux

_places

non

_complexes

du _corps définissent un

morphisme

surjectif

du _groupe

T 10l, 9l¡{ 00 ~

_071. sur la somme

LEMME 2.2. Le _noyau de

_{l’épimorphisme}

_{du groupe}

_{TI ®a~}

_~.~~~

sur la somme restreinte

qui

est donné _par les

symboles

de Hilbert

(~)

est _{le sous-groupe}

_TI

_{®a~ ~ T~~~,}

construit sur le radical hilbertien.

Démonstration : Le noyau de

l’épimorphisme

ainsi construit est constitué des

éléments (

0 :c de @7J.

_7~~

qui

vérifient les conditions lo-cales

_(~)

=

_1,

pour

chaque

m assez

grand,

c’est à

dire, d’après

la définition

normique

du

_symbole

de

_Hilbert,

_pour

_lesquels

le nombre x est norme lo-cale

_partout

dans chacune des extensions

_cycliques

si k est la

~-valuation de l’ordre de

_~’.

Prenons donc un tel _supposons par

exemple (

d’ordre

£k

et x _E

!(:: ;

puis

notons m’ = m +

_k,

et invo-quons le

principe

de Hasse pour écrire :c =

N~,,~~~(x~,,~,

avec E

dès _que m est assez

grand.

La condition

x1’n.-l

= 1 =

N~,~~~,(x~’;-~~,

et le théorème 90 de Hilbert

appliqué

à l’extension

_cyclique

nous per-mettent t décrire = _pour un _y,n,, de

}7"X

c’est à dire

1’n.-1

et finalement X1n’ = avec E Il suit

~ =

i.e. ( 0 .c = (

_@

N~ y~,(ym~~ ~

ce

qui

nous _prouve

_{que (}

_@ x est bien dans

_{T, 07/.,}

_{D{¡ (")0 .}

Considérons maintenant la suite exacte courte donnée _par le lemme :

Prenant les

_points

fixes _par

_rn,,

nous obtenons une suite exacte de

coho-mologie

qui

commence ainsi :

Dans

_celle-ci,

_{le groupe de}

_cohomologie

est

_nul,

_par un

_argument

de Tate : les valeurs

_spectrales

de l’action de yn sur étant des racines de

l’unité,

leur

produit

_par n’est

ja-mais

_1,

_{et ln -} 1

_opère

_{surjectivement}

sur le

produit

tensoriel _{J.L100 @71.}

7~.

Ainsi,

par

rapprochement

avec la. suite exacte de Moore _pour le groupe écrite

dessous,

nous obtenons immédiatement l’identité

THÉORÈME

2.3. Le _noyau des

_symboles

de Hilbert

_(-~-)

dans

h’2 (I~~, )

est

_l’image

du _sous-groupe

_(T~

_01/

du _groupe

_(T~

_01./

~ j,-~ )r’~ ,

ce

qui

s’écrit:

En

_particulier,

le _groupe

_(Te

_oz,

est exactement le _sous-groupe des éléments de hauteur infinie dans

_(Ti

_oz,

_{~. jj~~ )r~ .}

Preuve : En

_effet,

_d’après

Tate

_(cf.

_{[24] §5),}

le cas

spécial

étant

exclu,

le groupe est exactement _{le sous-groupe des éléments de hauteur} infinie dans Comme tout élément divisible est trivialement de hauteur

_infinie,

cette caractérisation du _noyau hilbertien se relève dans

ce

_qui

donne le résultat annoncé.

b. -

_{Interprétation}

kummérienne : les _groupes

_H2(I(n).

L’introduction du noyau hilbertien

(sous

une forme sensiblement moins

_générale)

est due à F. Bertrandias et J .-J .

Payan, qui

avaient en vue l’étude d’une condition suffisante de la

_conjecture

de

_Leopoldt,

liée à un

problème

de

_plongement

_{(cf.[3],§7).}

_{D’après Artin-Tate,}

en effet

(cf. [1],

10

_§3,

th.

_6),

une condition nécessaire et suffisante _pour

_qu’une

extention

cyclique

L~, _

~i~,~ ~~

_~,

définie

_(à

_{composition près}

par par un

élément £-m. _{0 :c~} de

_{9’-t¡( m}

se

_plonge

dans une .~-extension

cyclique

de de

_degré

arbitrairement

_grand

est

_{précisément}

_{que pour}

_{chaque place}

non

_complexe

de la racine

_primitive

de pp_ soit norme dans l’extension locale ce

_qui

se lit sur le

_symbole

de Hilbert

(2013-20132013-),

où

_(m,

_désigne

une racine gm-ième

_primitive

de l’unité dans

_{lvm, .}

PM

Plus

_{généralement,}

si l’extension

_L1u

_provient

_par

_composition

avec

_hm

d’une .~-extension

_cyclique

_Ln

de

_degré

£m, sur un _sous-corps de

[m.

(i.e.

si l’élément

_~~,?

tombe dans

_(Te

le même critère

appliqué

à l’extension

_globale

et

_{l’équivalence}

donnée _par le _corps de classes local

montrent que la trivia,lité ,

des

_symboles

( (m , x m )

est encore la condition montrent que a trival. lte es _sym 0 es

(

encore la condition pour que l’extension se

plonge

dans une .-extension

cyclique

de de

PROPOSITION 2.4. Pour

_chaque

naturel n, le groupe

(Ti

est le _sous-groupe des éléments de hauteur infinie dans

_(Ti

_®g,

Par

_analogie

avec le cas des

symboles,

il est alors

logique

de _{poser :}

THÉORÈME

ET

DÉFINITION

2.5. Par

_{~2 (~i n ~}

nous entendons le

_quotient

du groupe

(Te

des éléments de hauteur infinie dans

_(Te

Sj

j,~

cliv

par son _{sous-groupe divisible maximal}

(Te

~.T;~

~~~~,

c’est à dire le

_.~-groupe

de torsion défini par l’exactitude de la suite courte :

Le groupe

H2(K,,,)

est l’ensemble des éléments de hauteur infinie dans

C’est un

_.~-groupe

_{fini, qui}

s’identifie au dual de

Pontrjagin

du

module de

_{Bertrandias-Payan}

du _corps défini comme le _sous-groupe de torsion

_7~

du _groupe de Galois

_{?-~ j,-~}

= de la

com-posée

des .~-extensions

_cycliques

de

Iin,

qui

se

plongent

dans une .~-extension

cycliq ue

de de

_degré

arbi trairemen t

_grand.

Démonstration : Nous avons vu _que la théorie de Kummer identifie le groupe divisible

(Te

0s/

9B ¡((X) )~rv

au dual de

_Pontrjagin

du _groupe de Ga-lois associé à la

_composée

_Zn,

des

_{Ze-extensions}

de

_Kn.

Le sous-groupe des éléments de hauteur infinie dans

(Te

071.,

9{¡,~(X) yrn

cor-respond, lui,

au _{groupe de} Galois associé à la

composée

H~,

des .~-extensions

_cycliques

de

_{[(11’ qui}

sont

_plongeables

dans une .~-extension

cyclique

de

_degré

arbitrairement

_grand

sur Leur

_quotient

est

_donc,

comme

_annoncé,

le dual de

_Pontrjagin

du

_.~-groupe

de torsion

Gal(Hn,/Zn,).

Enfin,

le fait _que soit fini résulte de la théorie du _corps de classes : la condition de

_plongement

_qui

la définit montre _que

l’extension est non ramifiée aux

_places

modérées

(i.e.

_étrangères

à

_l),

autrement dit _que

_{H 11.}

est contenue dans la .-extension abélienne .P-ramifiée maximale

_H"

de dont le _groupe de Galois est

un

Z,-module

_neothérien,

de sorte

_qu’il

en est de même de son

quotient

1t¡(n.

=

Il est d’ailleurs

_possible

de décrire

_{complétement}

le _groupe

_{?~ j~~n}

en

s’ai-dant de la théorie

_f-adique

du _corps de classes

_{(cf. [13],}

ch.

_I.1).

Par

l’isomorphisme

de

_{réciprocité,}

en

effet,

le _corps

Hn

est associé à un sous-groupe fermé du .~-adifié

~j; n,

_

K x

du groupe des idèles de

_(défini

comme le

_produit

restreint des

_{complétés profinis}

K x

= lim

Pn --- n Pn P". des _groupes

_{multiplicatifs}

des

_complétés

non

_complexes

de

qu’il

est aisé de déterminer : la caractérisation

_purement

locale de

_Hn

_(via

les

_symboles

de

_Hilbert)

_{montre que}

H~,

est exactement la

_composée

des .~-extensions

cy-cliques

de

_qui

sont localement

_plongeables

dans une .~-extension

cyclique

de

_degré

arbitrairement

_grand,

c’est à

_dire,

en fin de

_compte

localement

plongeables

dans une

Ze-extension.

Du

point

de vue du _corps de classes

local,

l’obstruction commune à ces

_plongements

_est,

en

effet,

le sous-groupe de torsion _pp. du

Ze-module

_{K’ .}

Il en résulte _que le groupe de classes d’idèles

_qui

fixe

H 11,

est celui

_engendré

_{par les JlPn’} autrement dit _que nous avons

_{canoniquement :}

Pour

_{réinterpréter}

en termes kummériens ce dernier

isomorphisme,

il est

commode de _{poser :}

DÉFINITION

2.6. Nous

_appelons

_sous-groupe infinitésimal du radical uni-versel =

et

nous notons

~F~ ~

le _noyau de

l’applica-tion naturelle de dans le

_tensorisé

_oz,

du _groupe

des idèles de

Par la théorie de

_Kummer,

les éléments de annulés _par é"’ sont

associés à la l-extension abélienne maximale de

_qui

est

_d’exposant

£11.

et

_{complètement}

_décomposée

_{partou t}

sur

Preuve : La condition

.e-k

0 = 1 _pour un idèle

_{principal :c =}

signifie

que pour

chaque place

non

complexe

_pn, de

IIn,,

la

Pn-composante

de x est le

_produit

d’une racine locale de l’unité

_(pn

et d’une

puissance

disons

k

de _{sorte que} l’extension abélienne

[lk

_Vx]

P

_p

q

est bien localement triviale

_partout.

Cela

_{dit, l’isomorphisme}

du miroir

_(cf.

_[14],

th.

₁₀₎

s’énonce comme suit :

THÉORÈME

2.7.

_Iscmorphisme

du Miroir - Il existe un

épimorphisme

cano-nique

du radical

_{infinitésimal}

sur le sous-groupe de torsion = du _{groupe de} Galois x ¡(n =

qui

a _{pour noyau} le sous-module

di visible

fJe sous-module divisible est nul

_lorsque

le _corps satisfait la

conjec-ture de

_et,

dans tous les cas, sa codimension est

égale

au défau t

Démonstration : La

_{description idélique}

du radical infinitésimal donnée

plus

haut

permet

de construire aisément

_{l’épimorphisme}

annoncé en associant à l’é-lément

£-k

0 x, où l’idèle

principal

x = s’écrit localement XPn ==

Y-f" (p,,,

la classe modulo

_IlPn

_{pp. de l’idèle} y =

qui

est bien

un élément de

’T,,-

Le noyau de

l’application

obtenue est le sous-groupe ’de

_9ti,-.

construit sur les éléments de

_qui

sont localement

_partout

des racines de l’unité. Si le _corps

_Ifn,

vérifie la

_conjecture

de

_Leopoldt,

ce sont

exactement les racines

_globales

de

_l’unité,

et

_{l’épimorphisme}

construit est

un

.isômorphisme.

Dmns tous les _cas,

cependant

le _sous-groupe

R j-,

formé des éléments

_qui

sont localement

_partout

des racines de l’unité est la racine

dans du sous-module

_S§§if

des unités infinitésimales

_(i.e.

des éléments de

_{~J~,~ _}

_Zr

~~

d’image

locale 1 aux

_{places qui}

divisent

.~~,

et la codimension du

_groupe

divisible associé est donc bien la dimension de

E inf

qui

mesure _par convention le défaut de la

conjecture

de

Leopoldt

dans

c. -

Application

aux unités

logarithmiques.

Considérons le .~-adifié

_,~1,~"

_ du groupe des idèles du _corps

Kn

(i.e.

comme

expliqué

plus haut,

le

produit

restreint des

complétés

profinis

des _groupes

_{multiplicatifs}

des

_complétés

non

_complexes

de

Kn),

et intéressons nous au _sous-groupe

_J¡(n

=

~~~

construit sur les _noyaux

respectifs

des

_logarithmes

des valeurs absolues :

Distinguons

les deu-i cas :

- Si la

place

Pn est modérée

_(i.e.

si _.p~,, est une

place

finie

étrangère

à

.~~,

le

_{complété profini correspondant}

se

décompose

comme

_produit

direct

du

_.~-groupe

fini des racines de l’unité dans et du

Ze-module

libre

engendré

par une uniformisante. Le sous-module est donc

égal

à _{Ppn :}

c’est simultanément le sous module de torsion de

JC;n

et son _sous-groupe des unités. L’extension abélienne

_qui

lui est associée _par le _corps de classes local est donc la

_{pro-.~-extension}

abélienne non ramifiée maximale de

_KP,,

₁

- Si la

place

pn, est _sauvage, la situation est moins

_simple,

sauf _pour

- dans ce dernier _cas, en

_effet,

le

complété profini

du _groupe

Q~

s’écrit

_{canoniquement}

₍₁

_{+ .P~~)..~~’ ;}

le _noyau du

_logarithme

_é-adique

est le et l’extension

_qui

lui

_correspond

par le corps de classes local est la

_ZI-extension

_cyclotomique

de

_Qe.

En

_général

_maintenant,

le sous module de

K;".

est

_simplement

_l’image

_réciproque

_pour la norme locale

_{N -}

_~~~

de son

homologue

_pour le _corps et l’extension abélienne

qui

lui

_correspond

est donc tout

_simplement

la

_composée

avec de la

Zl.extension

cyclotomique

de

_Qe,

c’est à dire ici encore la

Z,-extension

cyclotomique

de

Dans tous les _cas, il résulte du corps de classes local que est le sous-groupe des normes

cyclotomiques

dans autrement dit _que le

_produit

est _{le sous-groupe des} normes

cyclotomiques

locales du _groupe des idèles

q r

"

v Ît n. - _{P. P.}

Son intersection =

,F

avec le groupe des idèles

principaux

R ~~-n,

=

II

_0s

Il§ (intersection

qui

_est,

_par

définition,

le sous-groupe des

unités

_{logarithmiques}

de est donc

_exactement,

en vertu du

principe

de

Hasse,

le groupe des normes

cyclotomiques

globales.

Ainsi :

THÉORÈME

2.8. Les unités

_{logarithmiques}

sont exactement les normes

cy-clotomiques.

Revenons maintenant sur la

_description

du radical hilbertien donnée au début de la section 2.

_D’après

la caractérisation du _noyau comme sous-groupe des normes

_{cyclotomiques}

dans ₁ la définition

normique

du _groupe donnée

_plus

haut

s’écrit tout

_simplement,

en termes d’idèles

Cela

_étant,

il est immédiat _que

_{l’application qui}

à un

élément .e-k

_{@ Xn,}

la classe dans du diviseur

_{logarithmique}

est un

morphisme

~

-tOT

surjectif

du radical hilbertien sur le sous-groupe de torsion

_{C.~ j~-~}

du groupe des classes

logarithmiques

du corps dont le noyau est constitué des éléments 0 zn de

_{~th-~ _}

(QI/11)

_071./

_~ZT~-~

pour

lesquels

l’idèle

principal

Xn

peut

être

_pris

dans c’est à dire en fin de

_compte

dans le sous-noyau

,J~Ïj~,~

des normes

cyclotomiques.

Autrement dit :

THÉORÈME

2.9. Il existe un

épimorphisme canonique

du radical hilbertien

-tour ,

sur le sous _{groupe de torsion du groupe des classes}

logarith-miques

de

_(en

fait sur

C.~T,~n,

tout

entier,

sous la

conjecture

de

Gross),

qui

a _{pour noyau} le tensorisé

_{~I j,-~,}

_

(~~~~~~ ®~~,J~j~ »,

du groupe des unités

logarithmiques :

~

En

_particulier,

le

_groupe

est exactement le sous-module divisible

ma-ximal

_{de Sj "-1) .}

-Le résultat obtenu est évidemment

_l’analogue

_pour les valeurs absolues des suites exactes

₍₃₎

et

₍₃₎

ci-dessus. La suite

₍₃₎

_peut

_également

être

regardée

comme la suite duale de celle donnée _par

_{l’isomorphisme}

du miroir

(cf.

th.

_2.7}.

SCOLIE 2.10. Dans une tour

cyclotomique,

les radicaux hilbertiens vérifient la théorie de

_Galois,

ce

qui

s’écrit :

En

_revanche,

_{les sous-groupes divisibles} ne la satisfont _pas,

puisqu’on

a :

où

_CapT(n

_désigne

_{le sous-groupe}

de

_C£T(n

formé des classes

_{logarithmiques}

qui capitulent

dans

Preuve : La

_description

=

~.~-k

_{@ e}

1

Xn E

~j; n ~~.~, ~

du radical hilbertien en termes

idéliques

_{montre que} est l’ensemble des éléments de la forme

_.~-k~~",,

_pour

_lesquels

le diviseur

_{logarithmique}

_h(Xn)

associé à l’élément z,,, de

K ’

est une

_puissance

dans

D.~ j~ ~ .

Et,

comme cette

_propriété

est invariante _par montée dans la tour

ce

qui

est bien le résultat annoncé.

Cela

_étant,

la suite exacte du

_serpent

_appliquée

au

diagramme

nous donne

l’isomorphisme

attendu

puisque

la

_capitulation

_pour les _groupes de classes

_{logarithmiques}

ne

con-cerne en fait _que les _sous-groupes de

torsion,

de sorte _que le résultat annoncé

vaut

_{indépendemment}

de la

_conjecture

de Gross.

d. -

_{Isomorphismes}

de fausse dualité.

Intéressons nous d’abord aux _noyaux

réguliers

(ou modérés).

Partant de la suite exacte courte de K-théorie donnée _par les

_symboles

modérés

prenant

les

_puissances

.em -ièmes _pour un m &#x3E; n,

puis

formant la suite

exacte du

_serpent,

nous obtenons une suite exacte à six termes :

Dans

_celle-ci,

le

_{quotient f-}

s’identifie à la somme restreinte en vertu du théorème

_{1.12 ;}

le

_provient

de @7J.

hn

d’après

les résultats de

_{Tate ;}

et la somme directe

0153

s’identifie

n