THEORIE D E S NOMBRES Années 1981-1982 BESANCON et 1982-1983
INTRODUCTION AU D E S C O R P S DE NOMBRES
J e a n - F r a n ç o i s JAULENT
INTRODUCTION AU K2 D E S C O R P S D E NOMBRES
par
J e a n - F r a n ç o i s J A U L E N T
SOMMAIRE
1 . - S Y M B O L E S S U R UN C O R P S COMMUTATIF.
§ a. - Définition et p r o p r i é t é s é l é m e n t a i r e s d e s s y m b o l e s .
§ b. - L e g r o u p e K2(K).
§ c. - L e s homomorphismes d ' e x t e n s i o n et de t r a n s f e r t .
2 . - L E S S Y M B O L E S C L A S S I Q U E S S U R UN C O R P S DE NOMBRES.
§ a. - L e s s y m b o l e s m o d é r é s .
§ b. - L e s s y m b o l e s de Hilbert.
§ c. - Comparaison d e s s y m b o l e s m o d é r é s et d e s s y m b o l e s de Hilbert.
3 . - E T U D E DU K2 A PARTIR D E S S Y M B O L E S LOCAUX.
§ a. - La s u i t e e x a c t e de Moore.
§ b. - Noyau modéré et noyau h i l b e r t i e n . 4 . - DESCRIPTION COHOMOLOGIQUE DU KG.
§ a. - Définition du symbole cohomologique.
§ b. - L e s y m b o l e u n i v e r s e l de T a t e .
5. _ A P P E N D I C E - L'ANNEAU D E MILNOR D'UN C O R P S D E NOMBRES.
INTRODUCTION
N o u s e x p o s o n s ici quelques r é s u l t a t s c l a s s i q u e s sur le K^ des c o r p s de nombres a l g é b r i q u e s , ainsi que l e s p r i n c i p a l e s p r o p r i é t é s des d i v e r s s y m b o l e s donnés par le c o r p s de c l a s s e s d'une part, et la cohomologie g a l o i s i e n n e d'autre part. Nous ne p a r l o n s donc pas dans l e s p a g e s qui suivent d e s liens importants e n t r e le K^ et l e s e x t e n s i o n s c e n t r a l e s de g r o u p e s l i n é a i r e s ni même d e s t h é o r è m e s obtenus r é c e m - ment sur le K_ d e s c o r p s l e s plus g é n é r a u x . En r e v a n c h e nous nous sommes e f f o r c é s de donner d e s démonstrations a u s s i é l é m e n t a i r e s que p o s s i b l e de la plupart d e s r é s u l t a t s p r é s e n t é s . Deux e x c e p t i o n s toute- f o i s : D'abord, il n'était g u è r e p o s s i b l e , dans un e x p o s é qui s e veut é l é m e n t a i r e , et c e n t r é exclusivement sur l'arithmétique d e s c o r p s de nombres, de donner un a p e r ç u substanciel de la démonstration du t h é o - rème de Garland sur la finitude du noyau modéré. Ensuite, il eût é t é prétentieux de vouloir a m é l i o r e r l'étude m a g i s t r a l e de T a t e s u r les r e - lations e n t r e le K_ et la cohomologie g a l o i s i e n n e . N o u s avons donc p r é - f é r é amdettre c e s deux r é s u l t a t s , pour en d é v e l o p p e r rigoureusement quelques c o n s é q u e n c e s . En r e v a n c h e , nous n'avons pas h é s i t é , le c a s échéant, à r e m e t t r e en question la terminologie u s u e l l e , l o r s q u ' e l l e nous a paru c r i t i c a b l e . C'est a i n s i , par exemple, que l e s symboles de Hilbert a t t a c h é s aux p l a c e s r é e l l e s sont généralement comptés parmi l e s symboles s a u v a g e s , a l o r s qu'il est manifeste qu'ils sont, tout au c o n t r a i r e , modé- r é s . Cette d i v e r g e n c e de points de vue explique d ' a i l l e u r s pourquoi c e r - t a i n e s formules o b t e n u e s ici diffèrent à l ' o c c a s i o n de c e l l e s données par d ' a u t r e s a u t e u r s . Cela est s a n s c o n s é q u e n c e g r a v e , nous s e m b l e - t - i l , l'important restant naturellement de s a v o i r de quels g r o u p e s on parle. L e s démonstrations p r o p o s é e s relèvent dans leur totalité de la t h é o r i e c l a s s i - que du c o r p s de c l a s s e s , et même exclusivement de c o n s i d é r a t i o n s a l g é - briques, à l'exception de c e l l e du théorème de Moore, empruntée à C h a s e et Waterhouse, qui fait appel à un argument de d e n s i t é . Enfin, nous avons
r é s e r v é à un e x p o s é u l t é r i e u r l'étude des liens e n t r e le et la t h é o r i e d'Iwasawa.
Comme t e l , nous e s p é r o n s que c e travail pourra s e r é v é l e r utile à c e u x qui souhaitent p r e n d r e c o n n a i s s a n c e en quelques p a g e s d e s r é s u l t a t s e s s e n t i e l s s u r l'arithmétique des symboles d é f i n i s sur un c o r p s de nombres. N o u s invitons le lecteur i n t é r e s s é par la g e n è s e d e s problèmes é v o q u é s ici à s e r e p o r t e r à l ' e x p o s é de B a s s au s é m i - n a i r e Bourbaki, pour ne p a s p a r l e r d ' a u t r e s , plus r é c e n t s .
1 . - S Y M B O L E S S U R UN C O R P S COMMUTATIF.
§ a. - Définition et p r o p r i é t é s é l é m e n t a i r e s d e s s y m b o l e s .
DEFINITION 1 . - Un symbole s u r un c o r p s commutatif K , à v a l e u r s dans
, . X X
un groupe abélien G , est une application ( , ) de K x K dans G qui est b i l i n é a i r e et prend la valeur 1 s u r tous les c o u p l e s (a , b) qui v é r i - fient a + b = l ; c e qui peut s e r é s u m e r par les t r o i s conditions :
(î) <aa»,b> = < a , b > < a ' , b > , V (a , a', b) € KXx KXx KX ; (ii) <a,bb'> = < a , b > < a , b ' > , V (a , b , b») € KXx KXx KX ; (iii) ( a , 1 - a ) = 1 , Va € KX\ { o , l i .
PROPOSITION 2 . - Etant donné un symbole ( , ) sur un c o r p s commuta- tif K , on a l e s t r o i s p r o p r i é t é s :
(iv) <a , - a > = 1 , Va € KX ;
(v) < a , a > = < a , - 1 > , V a € Kx (et donc <a , a>2 = <a , 1> = 1) ; (vi) < a , b > < b , a > = 1 , V (a , b) € KX x KX.
En p a r t i c u l i e r un symbole est une application b i l i n é a i r e antisymétrique.
Démonstration. - La propriété (iv) s'obtient en appliquant deux f o i s la c o n - dition ( i î i ) , et en utilisant la bilinéarité :
(a , - a ) = = <a , (l - a" 'Y = <a" 1 , 1 - a" 1> - 1.
<a , 1 - a> 1 - a ^ 7
La propriété (v) en r é s u l t e directement : (a , a ) = ( a , - 0 ( a , - a ) = ( a , - 1) . Enfin, la propriété (vî) s ' e n déduit comme suit :
< a bN< b a> _ <a b > b> <a b,a> = <a b>a b> = < a b , - l ) = !
Remarque. - S o i e n t n > 1 un entier naturel, et £n une r a c i n e n - i è m e de l'unité dans K . S i n est impair, la condition (v) montre que la quantité
» Cn) vaut 1, quel que s o i t le symbole c o n s i d é r é . Chercher en r e v a n - che s'il e x i s t e des s y m b o l e s s u r K pour l e s q u e l s ( - 1 , - 1 ) est distinct de 1,
n'est pas toujours évident. P a r exemple si K est le c o r p s cyclotomique Q [ cn] (n naturel impair), de t e l s symboles existent sî et seulement sî
l ' o r d r e d e 2 moduloX n est pair ( c f . [ 3 ] , th. 5. l ) .
§ b. - L e groupe K,,(K).
DEFINITION 3 . - P a r K2(K) nous entendons ici le quotient X X 7
K ®7K / fl (a <K> b) du c a r r é t e n s o r i e l du groupe multiplicatif de K
L a + b = 1
par le s o u s - g r o u p e engendré par les é l é m e n t s de la forme x ® ( 1 - x ) l o r s - que x d é c r i t K = | o , l } . L e groupe K2(K) est c a r a c t é r i s é par la propriété u n i v e r s e l l e s u i v a n t e :
PROPOSITION 4. ( P r o p r i é t é u n i v e r s e l l e ) - Pour chaque symbole ( , ) sur un c o r p s commutatif K , à v a l e u r s dans un groupe a b é l i e n G , il e x i s t e un unique morphïsme de groupe cp de K„(K) dans G , qui rend commutatif le diagramme :
< , >
K x K • G
, i
cp K2( K )
L'application canonique de KXx KX dans K2( K ) , qui au couple ( x , y) a s s o c i e la c l a s s e dans K2(K) du produit t e n s o r i e l x ® y , est un symbole s u r K ,
appelé symbole u n i v e r s e l s u r le c o r p s K , et noté | , } . Démonstration. - C ' e s t c l a i r .
§ c. - L e s homomorphismes d'extension et de t r a n s f e r t .
C o n s i d é r o n s une extension f i n i e de c o r p s L / K , et notons d = [L : K ]
X X X X
son degré. L'application canonique de K K dans L L induit par
p a s s a g e au quotient un morphisme naturel de K_(K) dans K _ ( L ) , appelé homomorphisme d'extension, et noté habituellement .
Il est plus d i f f i c i l e malheureusement de définir directement le mor- phisme dual (le transfert) qui est aux symboles c e que la norme est aux
idéaux. D i s o n s simplement ici qu'il e x i s t e également un morphisme naturel de K2(L) dans K2( K ) , noté T r ^ ^ , qui p o s s è d e les p r o p r i é t é s suivantes :
(vii) T rL / K o ÏL / K= d = [L : K ]
(viii) S i l'extension L / K est g a l o i s i e n n e , on a :
'i o Tr. /.. = Z a (pour l'action du groupe de Galois Gai (L/K) L/K L/K C € Gai (L/K)
sur le groupe K2(L) induite par cel le s u r LX, i. e. | a , b }c = {aa, ba } ^ . (ix) V ( a , B ) € KXx LX, T rL/K ( | a , B } , _ ) = |a , N , _ /K( B ) }K . Citons deux applications typiques du transfert :
1. S i a € K est une p u i s s a n c e n - i è m e dans L , disons a = A , x n on a U > n l /k (bH k = (T r L/ K î A > B 0 n ' 6 t ^a , NL / K ^B )^ K ®St u n e Pu's~
s a n c e n - i è m e dans K2( K ) , pour chaque B de L .
2. Pour chaque premier p qui ne d i v i s e pas d , le p - S y l o w K_(K) z p du groupe K2(K) s ' i d e n t i f i e à son image canonique ' L / K C ^ ^ ^ P ) C'a n s
K2( L ) , et le transfert TLyK envoie K2( L )p s u r K2( K )p. En particulier, l'application ^ ° "l"rL/K G S t U n Pr oJe c t e u r s u r q U' 3 p o u r
image le groupe ' | _ /K(K 2^K)p) isomorphe à K2( L )p.
D i s o n s pour finir que les homomorphismes d'extension et de t r a n s - fert ont les p r o p r i é t é s f o n c t o r i e l l e s qu'on devine :
( x ) 'M/K = 'M/L ° 'L/K & T rM / K = T rL / K ° T rM / L ' S Î K C L C M' et qu'ils sont naturellement compatibles a v e c l'action des automorphismes de Galois (relatifs à une clôture algébrique donnée)
(xi) 0L / K( xK) )a = L -a { L ) / a { K )( x £ ) &
( T r L / K W ) a = T ra ( L ) / a ( K ) (XL ) '
Pour une définition d i r e c t e du transfert à partir des p r o p r i é t é s (vii) à ( i x ) , on pourra s e reporter à [ 2 ] .
2 . - L E S S Y M B O L E S C L A S S I Q U E S S U R UN C O R P S D E NOMBRES.
K d é s i g n e d é s o r m a i s un c o r p s de nombres a l g é b r i q u e s , c ' e s t - à - d i r e une extension algébrique f i n i e du c o r p s d e s rationnels : Nous notons 0 l'anneau de s e s e n t i e r s , et m l ' o r d r e du s o u s - g r o u p e p, des r a c i n e s de l'unité dans KX.
§ a. - L e s symboles m o d é r é s .
Quoique l ' u s a g e s e m b l e s ' ê t r e établi jusqu'à aujourd'hui d'appeler s y m b o l e s m o d é r é s l e s s y m b o l e s d é f i n i s à partir d e s valuations a t t a c h é e s aux s e u l e s p l a c e s f i n i e s du c o r p s c o n s i d é r é , nous adoptons ici un point de vue plus v a s t e et, sommes t o u t e s , plus naturel, puisque les p l a c e s à l'in- fini donnent lieu tout a u s s i bien à une d e s c r i p t i o n en t e r m e s de valuations ( c f . [ 6 ] ) .
C o n s i d é r o n s d'abord le c a s d'une p l a c e f i n i e p , et notons Vp la valuation a s s o c i é e .
DEFINITION 5 . - P o u r chaque p l a c e f i n i e p du c o r p s de nombres K , Map-
X X X
plication de K x K , à v a l e u r s dans le groupe multiplicatif k^ du c o r p s résiduel k = 0 / p , qui à un couple (a , b) d'éléments de KP X a s s o c i e la c l a s s e dans k du produit
P
v n( a ) vn( b ) V b )
T i s y »
p
est un symbole s u r K , appelé symbole modéré a s s o c i é à la p l a c e p , et noté ( , ) p .
Démonstration. - La bilinéarité est é v i d e n t e , ainsi que la propriété ( i v ) . P o u r v é r i f i e r ( i i i ) , nous pouvons donc nous r e s t r e i n d r e au c a s où a est p - e n t i e r ; il en est a l o r s de même de ( 1 - a ) . S i a et ( 1 - a ) sont tous deux des p - u n i t é s , nous avons trivialement ^ a , 1 - a j p = 1. Sinon l'un d'eux, par exemple a , est une unité p r i n c i p a l e ; et il vient e n c o r e
v ( a ) v (b) a vp( b ) v (b)
r-y - a = 1 (mod p ) , comme attendu.
b V
S u p p o s o n s maintenant que p soit une p l a c e à l'Infini. Notons K P le complété de K en p (qui s ' i d e n t i f i e à R ou à C , suivant que p est r é e l l e ou c o m p l e x e ) , puis k^ le groupe r é s i d u e l Kp/Kp , L'application Vp de KX dans | o , 1} d é f i n i e par :
v . ( x ) = 0 , s i x est un c a r r é dans K , P ' P '
v (x) = 1 , sinon.
P
est a l o r s une valuation s u r K ,
DEFINITION 6 . - Pour chaque p l a c e à l'infini p du c o r p s de nombres K , l'application de KX x KX dans le groupe r é s i d u e l kX = Kx/ Kx 2, qui à un
P P P
* ^ X v
couple (a , b) d'éléments de K a s s o c i e la c l a s s e dans kp du produit v » v » =
V
b )b ^ Tâj
est un symbole s u r K , appelé symbole modéré a s s o c i é à la p l a c e p , et noté
{ ' V
L e symbole ( , )p est trivial l o r s q u e p est complexe ; et si p est une p l a c e r é e l l e , la quantité (a , b)p n ' e s t pas 1 si et seulement s i les Images de a et de b dans le complété Kp sont toutes deux n é g a t i v e s .
Démonstration. - La b i l i n é a r ï t é étant immédiate, s e u l e r e s t e à v é r i f i e r la condition ( i i i ) , l o r s q u e p est r e e l l e . Cela étant, si a est positif dans K ,
sv (a) v (b) a vp{ b ) v (b)
le produit 1 j p " ^ ^ , égal à a p , l ' e s t a u s s i ; de même si b bV p 3
est p o s i t i f ; et, dans l e s deux c a s , le symbole ( a , b)p vaut 1. Au c o n t r a i r e si a et b sont tous deux n é g a t i f s , il en est de même du produit
v ( a ) v (b) a vp( b )
\ - l ) v > mais c e c a s est exclu s i ( a + b ) vaut 1.
b "
§ b. - L e s symboles de Hilbert.
Pour chaque place non complexe p de K , désignons par Kp le complété de K en p ; notons mp l'ordre du s o u s - g r o u p e n des r a c i n e s de l'unité dans K : et c o n s i d é r o n s l'application d'Artin u> r e l a t i v e à X /
P P une c l ô t u r e abélienne K de K .
P P
DEFINITION 7 . - Pour chaque p l a c e non complexe p de K , l'identité
/ h \ m p 1)
= Vâ~ , V ( a , b) € x définit un symbole sur Kp , à v a l e u r s dans le groupe p,p des r a c i n e s de l'unité contenues dans Kp . S a r e s t r i c t i o n à K x K e s t un symbole s u r K , appelé symbole de Hilbert attaché à la place p , et noté .
Démonstration. - Il s'agit de montrer la bilinéarîté, ainsi que l'identité
= 1 Pour a + b = 1.
(î) La multîplicativité en a est évidente (tout comme le fait que la définition du symbole est indépendante du choix de la r a c i n e mp- i è m e de a dans .
(ii) Pour établir la multîplicativité en b , remarquons que si b et b'
m
J_(u> (b)-l)(œ
( b ' ) - l )sont dans Kp , nous avons la relation : \ja ^ = 1 , p u i s - que le groupe Gai ( K ^ / K ) o p è r e trivialement s u r |ip j puis, en dévelop- pant :
" ^ ( u ) (b) - l ) + (oo (b») - l ) mP_(œ ( b b ' ) - l )
\|a p p = Va p , comme attendu.
(iii) Enfin, pour tout a dans Kp , autre que 0 ou 1, l'élément
mp mp
( l - a ) = TT (l - £ Va") est norme dans l'extension cyclique K [ \ [ a ] / K , R E M* P P
P M P
donc contenu dans le noyau de la r e s t r i c t i o n à Kp [ \fâ ] de l'application d'Artin.
On notera que, quand la p l a c e p est complexe, le complété Kp est c l o s , et le c o r p s de c l a s s e s local ne permet de définir d'autre symbole en p
que le symbole trivial.
, / a , b \
PROPOSITION 8 . - L ' e g a l i t e ( ' ) = 1 a lieu si et seulement si b est
P m p
norme locale en p dans l'extension g l o b a l e K [ \ [ Â ] / K (ou e n c o r e , en vertu de l'antisymétrie, si et seulement si a est norme l o c a l e en p dans
m P V
l ' e x t e n s i o n K [ \ [ b ] / K J .
Démonstration. - Cela r é s u l t e directement d e s p r o p r i é t é s normiques de l'application d'Artin.
THEOREME 9. - L e s s y m b o l e s de Hilbert v é r i f i e n t la formule du produit :
P
Démonstration. - Deux é l é m e n t s a et b de K étant donnés, l'extension m
abélienne K [_ \[a]/K est non r a m i f i é e en dehors d'un nombre fini de p l a c e s (en p a r t i c u l i e r , pour chaque p l a c e f i n i e p é t r a n g è r e à m et à a ) . Comme b est norme l o c a l e en toute p l a c e non r a m i f i é e qui ne le d i v i s e pas, les
/ a b \mr> /m
symboles — J sont p r e s q u e tous égaux à 1, et la formule du produit a bien un s e n s . P l u s p r é c i s é m e n t , nous obtenons :
,a b Nm / m m r - 4 Vb > - 1 ) m p ^ ^ ^ - l
n ( ^ ) P - V aP = Va P
P P
p* ' J m r U ( b ) - l
Va ' - 1 ,
puisque l'application d'Artin g l o b a l e oo (définie sur le groupe des i d è l e s de K) est t r i v i a l e sur l'image diagonale de K .
§ c. - Comparaison des s y m b o l e s m o d é r é s et d e s symboles de Hilbert.
C o n s i d é r o n s d'abord une p l a c e f i n i e p de K a u - d e s s u s d'un premier r f r
donné p . E c r i v o n s m^ = ( | \ | p - l ) p ^ = (p " - l ) p ^ la f a c t o r i s a t i o n canonique de m , puis u = ii° ® u,' c e l l e du groupe d e s r a c i n e s de l'unité u, comme
p * P P P P produit direct du s o u s - g r o u p e , formé d e s r a c i n e s d ' o r d r e étranger à p ,
et du p - s o u s - g r o u p e de S y l o w io.^ . Il est bien connu que (j,^ est formé des r a c i n e s p r i n c i p a l e s de l'unité (jxj = p, H U p ) , et que s ' i d e n t i f i e , par
p a s s a g e au quotient, au groupe multiplicatif kX du c o r p s résiduel = de s o r t e que Mordre de est bien égal à (Np - 1)) .
L o r s q u e le groupe (JL s e réduit à son s o u s - g r o u p e , nous disons, suivant la terminologie des c o r p s locaux, que la p l a c e p est r é g u l i è r e ; nous d i s o n s qu'elle est i r r é g u l i è r e sinon, c e qui a lieu chaque f o i s que le complété Kp contient une r a c i n e primitive p - i è m e de l'unité £ La condi- tion sur les d e g r é s qui en r é s u l t e [ K : 0 ] ^ [K : Q ] > [Q [Ç ] : Q ] = (p — 1)
P P P P P montre ainsi que les p l a c e s i r r é g u l i è r e s sont en nombre fîni0
Dans le c a s d'une p l a c e r é e l l e , enfin, la situation est plus simple : L e groupe (a, s e réduit à s o n s o u s - g r o u p e = {irlj , et s ' i d e n t i f i e par c o n -
A A X y
séquent au groupe r é s i d u e l k^ . En p a r t i c u l i e r , l e s p l a c e s r é e l l e s sont tou- j o u r s r é g u l i è r e s .
Revenons maintenant sur le symbole modéré ( , ) . Identifiant le
X o
groupe résiduel k^ a v e c son relèvement canonique JJL dans (I^ , nous f a b r i - quons ainsi un symbole s u r K , à v a l e u r s dans le s o u s - g r o u p e de u , que
r r
nous continuons, par abus, à noter ( , ) :
r
DEFINITION 10. - N o u s appelons symbole r é g u l i e r a s s o c i é à une p l a c e non complexe p du c o r p s K le relèvement canonique, noté e n c o r e ( , )p , du symbole modéré dans le s o u s - g r o u p e r é g u l i e r du groupe (j, d e s r a c i n e s de l'unité dans le complété Kp .
THEOREME 1 1 . - Pour chaque p l a c e f i n i e p de K , le symbole r é g u l i e r
r . ( , )p est la p u i s s a n c e p ''-ïème du symbole de Hilbert i c e qui
s ' é c r i t :
r
( a , b ) , V ( a , b ) Ç KXx KX.
En p a r t i c u l i e r , le symbole de Hilbert collncide a v e c le symbole r é g u - lier en chaque p l a c e r é g u l i è r e p de K .
Démonstration. - P a r un argument de b i l i n é a r i t é , nous pouvons nous r e s t r e i n - d r e au c a s où a et b sont tous deux des uniformisantes l o c a l e s . E c r i v o n s
donc b = TT et a » - un ; nous obtenons ( ^ J ^ ) = ( ~ Up ' ^ ) « , d'après la condition ( i v ) . E c r i v o n s maintenant m° = Np - 1 ; l'extension
o p
MP
abélienne K [ \[u]/Kp étant non ramifiée, l'application d'Artin qui lui correspond est donnée par le Frobenius. Il vient donc :
, h / p , / p m ?r( » p W - 0 mp r ( N P - D
( r f ) - Vu = Vu (u,TT)pH(a,b)p(modp)
comme annoncé.
3 . - ETUDE DU K2 A PARTIR D E S SYMBOLES LOCAUX.
§ a. - La suite e x a c t e de Moore.
D ' a p r è s la propriété u n i v e r s e l l e de K„(K), pour chaque place non complexe p de K , le symbole de Hilbert s e f a c t o r i s e par un unique morphisme h de K2(K) dans le groupe JJL^ . La famille des h^ , lorsque p décrit les p l a c e s non complexes de K définit un morphisme h du groupe K9(K) dans le produit direct 71 des groupes de r a c i n e s de
p non complexe "
l'unité locaux. En fait, la formule du produit pour le symbole de Hilbert
montre que h prend s e s v a l e u r s dans la somme d i r e c t e © u p non complexe des groupes p, et, plus précisément, dans le s o u s - g r o u p e © u de cette
P P P
f \ mD / m
somme, formé des familles (C J qui vérifient la relation TT C = 1 . P P P P
L e fait que h\K (K) ) soit effectivement égal à © p- constitue le théorème 2 ' p p de Moore.
D'un autre côté, on peut montrer par des considérations élémentaires que le noyau H_(K) = Ker h est un groupe de type fini. L'argument, dû à Zà Tate et B a s s , g é n é r a l i s e en quelque s o r t e la première démonstration par
G a u s s de la loi de r é c i p r o c i t é quadratique. Mais le fait que H2(K) s o i t fini r e s t e un r é s u l t a t d i f f i c i l e , dû à Garland, qui r e l è v e de l ' a n a l y s e harmonique s u r d e s e s p a c e s s y m é t r i q u e s ( c f . [ l ] , [ 2 ] , et | j o ] ) .
E n o n ç o n s c e s deux r é s u l t a t s :
THEOREME 1 2 . - L e s s y m b o l e s de Hilbert induisent un morphisme h du g r o u p e K„(K) dans la somme d i r e c t e d e s g r o u p e s de r a c i n e s de l'unité d e s c o m p l é t é s d e K a s s o c i é s aux p l a c e s non c o m p l e x e s d e c e c o r p s . L e noyau H9(K) de c e morphisme est un g r o u p e fini, et s o n conoyau s ' i d e n t i f i e , via la f o r m u l e du produit, au g r o u p e |j, d e s r a c i n e s de l'unité c o n t e n u e s dans K ; c e qui s e traduit par l ' e x a c t i t u d e d e la s u i t e :
1 > H„(K) -> K2(K) -> © u -> n > 1. h p non c o m p l e x e "
D é m o n s t r a t i o n du t h é o r è m e de Moore ( c f . [ 5 ] ) . - I l s ' a g i t évidemment d ' é t a b l i r la r é c i p r o q u e de la f o r m u l e du produit, c e qui peut s e f a i r e localement, pour chaque nombre p r e m i e r en montrant que l'image de h contient le £ - S y l o w de © u . F i x o n s donc un nombre p r e m i e r notons S l ' e n s e m b l e fini c o n s t i -ru
P P
tué d e s p l a c e s d i v i s a n t €00 et d e s p l a c e s irrégul i è r e s , puis c o n s i d é r o n s une f a m i l l e Ç = ( ç ) de r a c i n e s l o c a l e s de l'unité d ' o r d r e ^ - p r i m a i r e , é g a l e s
P P m / m D
p r e s q u e toutes à 1 , et v é r i f i a n t la f o r m u l e du produit T1 Ç K = 1 . N o u s
P P
s a v o n s que pour chaque p l a c e non c o m p l e x e p de K , la r a c i n e Ç e s t l'image par le s y m b o l e d e Hilbert ( ^ p ^ ) d'un c o u p l e ( a , bp ^ d ' é l é m e n t s d e . L e t h é o r è m e d'approximation s i m u l t a n é e nous permet donc d ' é c r i r e
/ a b \ x
Çp = V—p~J» a v e c a et b d a n s K , pour chaque p d e S . A i n s i , comme il est t o u j o u r s p o s s i b l e d ' i m p o s e r à ft({a,b}) d ' ê t r e d ' o r d r e ^ - p r i m a i r e ( p a r e x e m p l e en remplaçant a par une p u i s s a n c e c o n v e n a b l e an) , quitte à r a i s o n n e r s u r £ / ? i ( { a , b j ^ ) plutôt que s u r Ç, nous pouvons d é s o r m a i s s u p - p o s e r que Qp vaut 1, pour chaque p de S .
Cela étant, n o t o n s d la 8 - v a l u a t i o n de l ' o r d r e m de n et c o n s i d é - r o n s l ' e x t e n s i o n cycl ique 2 - r a m i f i é e K [ î | ] / K , e n g e n d r é e s u r K par une
d "t* 1
r a c i n e Z - i è m e p r i m i t i v e de l'unité ti. L'idéal a = T] p étant non ramifié dans c e t t e e x t e n s i o n , le t h é o r è m e de C e b o t a r e v nous a s s u r e
l ' e x i s t e n c e d'une infinité de p r e m i e r s q pour l e s q u e l s le s y m b o l e d'Artin e n g e n d r e Gai ( K [ T | ] / K ) . C h o i s i s s o n s l'un d'eux Q, qui n'appartiennent pas à P o u r chaque p l a c e p divisant a , l ' e x p r e s s i o n
/ a , b .
du s y m b o l e r é g u l i e r nous permet d ' é c r i r e = ( ^ ^ ° J en imposant à a^
d ' ê t r e une unité et à b^ d ' ê t r e une uniformisante. Invoquant à nouveau le t h é o r è m e d'approximation s i m u l t a n é e , c h o i s i s s o n s a dans KX, v é r i f i a n t l e s c o n g r u e n c e s :
a = 1 ( m o dx q) et a = ap ( m o dx p ) V p | o . / a » b p \ _
N o u s obtenons a l o r s ( ^ 1= a (mod p ) , pour tout p divisant a q ,
D é s i g n o n s maintenant par S(a) la réunion de S et de l ' e n s e m b l e d e s p l a c e s divisant a , f i x o n s n a s s e z grand, formons le d i v i s e u r W = f l P*"*»
P € §(a) et c o n s i d é r o n s le g r o u p e de c o n g r u e n c e s J ^ / P ^ . D ' a p r è s le t h é o r è m e de
v
C e b o t a r e v , la c l a s s e de l'idéal aq peut ê t r e r e p r é s e n t é e par un idéal p r e - mier r é t r a n g e r à aq (et évidemment à a ) . Autrement dit nous pouvons é c r i r e a q / r = ( b ) , a v e c b = 1 (mod 7ÏÏJ et r p r e m i e r é t r a n g e r à a q . E x a - minons l e s s y m b o l e s ( ~ ~
- P o u r p |oq , nous a v o n s ) = a = ( P p ^ ) (mod p) i. e. ) = Cp . - P o u r p € S(a) , nous a v o n s ( a ) = 1, c a r b (qui est congru à
1 modulo ffl ) est norme l o c a l e en p .
- P o u r tous l e s a u t r e s p , sauf r p e u t - ê t r e , ( ~ ~ ) vaut 1, c a r a et b sont d e s p - u n i t é s . Mais comme le s y m b o l e d'Artin ((b) , K [ t | ] / Kj est trivial (puisque b est p r o c h e de 1 pour l e s p l a c e s a u - d e s s u s de Z), l'identité
( r , K [ ^ ] / K ) = (aq ,K[TI]/K^ montre que r ne s e d é c o m p o s e p a s dans l ' e x - t e n s i o n K [ T | ] / K , i. E. que ^ ne contient p a s TJ . La formule du produit e n - t r a î h e donc ( a J = 1 ; c e qui a c h è v e la démonstration.
Remarques. - 1. La s u i t e e x a c t e de Moore r é s u m e les informations sur le K_ données par le c o r p s de c l a s s e s . L e noyau hilbertien H_(K) mesure ainsi le nombre de s y m b o l e s exotiques d é f i n i s s u r le c o r p s K .
2 . D e façon g é n é r a l e , le groupe H2(K) est t r è s mal connu.
On sait que H2(Q) est nul (^cf. [ 9 ] ] et qu'il en est de même pour quelques c o r p s quadratiques imaginaires ^cf. [ 2 ] ) . En r e v a n c h e on connaît des r é - s u l t a t s plus p r é c i s pour la p - p a r t i e de H2(K) pour c e r t a i n s c o r p s ( c f . [ ô ]
§ b. - Noyau modéré et noyau h i l b e r t i e n .
C o n s i d é r o n s maintenant l e s s y m b o l e s modérés ( , . Pour chaque p l a c e non complexe p du c o r p s K , il e x i s t e , tout comme pour l e s symboles
de Hilbert, un unique morphisme m de K_(K) dans le groupe résiduel K , p z p
qui f a c t o r i s e le symbole ( , ) . La donnée de I'
ensemble d e s tu définit
' P P ainsi un morphisme m du groupe K9(K) dans la somme d i r e c t e © kx des
P P
groupes r é s i d u e l s k^ . Nous a l l o n s voir que c e d e r n i e r morphisme est s u r - j e c t i f .
PROPOSITION 1 3. - L e s symboles m o d é r é s induisent un morphisme s u r j e c - tif du groupe K„(K) s u r la somme d i r e c t e © kx d e s g r o u p e s r é s i d u e l s a s s o -
2 P c i é s aux p l a c e s non c o m p l e x e s de K ; c e qui s e traduit par l'exactitude de la s u i t e :
1 ->R2(K) 5> K2(K) — > © kp > 1 . m
p non complexe p
L e noyau R„(K) de c e morphisme est un s u r - g r o u p e fini de H0( K ) , appelé noyau modéré.
D é m o n s t r a t i o n . - La proposition est une c o n s é q u e n c e f a c i l e du théorème p r é - cédent : D'une part, les s y m b o l e s modérés s e f a c t o r i s e n t par les symboles de Hilbert (d'après le théorème 10) et le noyau hilbertien H2(K) est donc c o n t e - nu dans le noyau modéré R2( K ) . Comme, d'autre part, le symbole \~p~J est r é g u l i e r pour p r e s q u e tout p , l'indice (f?2(K) : H2( K ) ) est bien fini, et tout le problème revient à v é r i f i e r que m est s u r j e c t î f . P o u r c e f a i r e , é c r i v o n s
n
m = T ] p P l ' o r d r e de p,, et d é s i g n o n s par S l'ensemble (contenant les d i v i - P
s e u r s de m) d e s p l a c e s i r r é g u l î è r e s . La formule du produit envole
© ^ s u r IJ. , et la proposition r é s u l t e donc du diagramme commutatif p e s p
exact :
1 > H2(K) S> K2(K)
1 5> R2(K)
h -=> v î> 1
p € §
x p x m / m
K2(K)
m
-î> 1
COROLLAIRE 1 4 . - L e s s y m b o l e s de Hilbert et la formule du produit c o n - duisent à la s u i t e e x a c t e c o u r t e canonique, où tous les t e r m e s sont f i n i s :
1 > RZ* Z . / . p 0( K ) / H , ( K ) -> © J > n ï> 1. p i r r e g u l i e r r
En p a r t i c u l i e r , l'indice du noyau h i l b e r t i e n dans le noyau modéré est donné par la formule :
R (K) : H2( K ) ) - -rL- n l % l= m ,n P P .
2 2 M p i r r é g u l î e r P P I m p
4 . - DESCRIPTION COHOMOLOGIQUE DU Kr
N o u s e x p o s o n s dans c e t t e s e c t i o n l e s importants r é s u l t a t s de T a t e qui ramènent l'étude du K2 d'un c o r p s de nombres à d e s questions de c o h o - mologie g a l o i s i e n n e . L ' e x i s t e n c e de [ 1 2 ] nous a d i s p e n s é de donner la plupart d e s démonstrations.
§ a. - Définition du s y m b o l e cohomologique.
D é s i g n o n s par Q la c l ô t u r e a l g é b r i q u e de 0 dans C , puis, pour c h a -
que naturel n , notons ^ le g r o u p e d e s r a c i n e s n - ï ê m e s de l'unité dans Q. L ' a c t i o n du groupe de G a l o i s Gai (Q/K) s u r chacun d e s t e r m e s de la s u i t e e x a c t e c o u r t e
_ v x n _ v
1 > \i î> Q > Q 5> 1 donne n a i s s a n c e à la s u i t e e x a c t e de c o h o m o l o g i e :
v v x n v i / \
1 -> n K > K > K 5> H \ K , p . J > . . . Notant 6n l'application de Kx dans H1( K , | xn) ainsi obtenue, et formant le cup-produit &n. ô , n o u s d é f i n i s s o n s une application b i l i n é a i r e a n t i s y m é -
x x 2 ( \
trique ( , ) de K x K dans H , |J.n® nn J . Nous a l l o n s voir que c e t t e application est un symbole.
DEFINITION 1 5 . - P o u r chaque naturel n > 1, l'application ( , ) d é f i n i e par l'identité
( a , b )n= 6na . ônb V (a , b) € KX x KX ,
est un s y m b o l e s u r K à v a l e u r s d a n s » ® » appelé symbole c o h o - mologigue de niveau n .
D é m o n s t r a t i o n . - Il s ' a g i t évidemment de v é r i f i e r l'identité (a , 1 - a) = 1 ,
' n 7
pour tout a € K \ | o , l } . Or c ' e s t là une c o n s é q u e n c e f a c i l e de l ' e x i s t e n c e du t r a n s f e r t cohomologique : L'élément a étant donné, é c r i v o n s
Xn - a = Tl P . ( X ) la d é c o m p o s i t i o n i r r é d u c t i b l e dans K [ x ] du polynôme (X n- a ) ; pour chaque indice i , notons a. une r a c i n e de P . dans Q, et p o s o n s K . = K [ a . ] . N o u s o b t e n o n s (1 - a) = T l P.(1) = TT N / ( l - a . ) ; d'où :
1 i i i '
(a , , - a ) ^ - 1 1 (a , NK / K( , - - 1 J T rK / K(a , , -
i r i r
- I J T - K . / K C - R . ' - O N ' - ( UI I ' I I ' T L - K . / K ( A I ' ' - A I ) N T " ' • comme attendu, le g r o u p e H2(K,(X ) étant annulé par n .
On a, en fait, le résultat plus fort :
PROPOSITION 1 6 . - L'identité ( a , b )n= 1 a lieu si et seulement si b est norme dans l'extension KQ/ K , OÙ KG d é s i g n e l ' a l g è b r e K [ x ] / ( xn- a
b a ' ' a
ou e n c o r e s i et seulement si a est norme dans l'extension K. / k ) .
THEOREME 1 7 . - L e morphisme t du groupe K„(K) dans h r l K , ^ ) , qui f a c t o r i s e le symbole cohomologique ( , ) , est s u r j e c t i f , et son noyau
est K „ ( K )2 n n. Autrement dit, t induit un isomorphisme : K2( K ) / K2( K )n - H2 ( K , ^n^ n) .
T a t e a montré que l'application n a t u r e l l e H^^K , p-n<S> ( i ^ >
® H ^ K , est injective si n n'est pas d i v i s i b l e par 8
p non complexe p
et, dans c e d e r n i e r c a s que son noyau est au plus d ' o r d r e 2 . Il r é s u l t e a l o r s du théorème précédent qu'on a :
COROLLAIRE 1 8 . - Pour chaque naturel n > 1 non d i v i s i b l e par 8 , le noyau hilbertien H2(K) est contenu dans K2( K )n. En p a r t i c u l i e r , on a a l o r s la s u i t e e x a c t e c o u r t e :
1 > K2( K ) / K2( K )n > 6 ^ > n / n " > 1.
Et, pour chaque premier impair p , le p - s o u s - g r o u p e de S y l o w du noyau hilbertien H2(K) est l'ensemble d e s é l é m e n t s de hauteur infinie du p - S y l o w de K2( K ) .
§ b. - L e symbole u n i v e r s e l de T a t e .
Introduisons le module de T a t e "D", défini comme la limite p r o j e c t i v e d e s g r o u p e s de r a c i n e s de l'unité : T = Iîm p. (En tant que groupe abstrait,
n A
le module "D" s ' i d e n t i f i e au complété profini Z de l'anneau Z ) . L e théorème suivant ramène toute question s u r le K2 à un problème de cohomologie g a - l o i s i e n n e :
THEOREME 1 9 . - L ' a p p l i c a t i o n de KXx KX d a n s le groupe H2( K , T ® | T ) , d é f i n i e par p a s s a g e à la limite p r o j e c t i v e à p a r t i r d e s s y m b o l e s ( , ) , est un symbole s u r K , appelé s y m b o l e cohomologîque u n i v e r s e l , et noté ( , ) . L'homomorphisme t du g r o u p e K2(K) dans H ^ K j T & ^ T ) qui f a c t o r i s e c e s y m b o l e est une b i j e c t i o n de K2(K) s u r le s o u s - g r o u p e de t o r s i o n
H2 O P( K , T ® | ~ 0 ~ ) du g r o u p e de c o h o m o l o g i e H 2 ( K , T ^ T ) .
Enfin, le g r o u p e ^ ^ ( K , ! ® ! ? ) s ' i d e n t i f i e au quotient
H1(K , JA ® , JI ® (J.) du g r o u p e de c o h o m o l o g i e H1 (K , m ® JM-), où Hi, = U [i est le dual du module de T a t e , par s o n s o u s - m o d u l e d i v i s i b l e
n > 1 n
maximal. En tant que g r o u p e a b s t r a i t , le module H^. (K , ^ ® JJ.) est somme d i r e c t e de c e x e m p l a i r e s de Q/Z, l ' e n t i e r c . . étant le nombre de p l a c e s
rS K c o m p l e x e s du c o r p s K .
COROLLAIRE 2 0 . - L o r s q u e le c o r p s K contient une r a c i n e n - i è m e p r i m i - t i v e de l'unité C , tout é l é m e n t d ' o r d r e n de K_(K) est de la forme {ç , x } ,
n z n pour un x de KX.
Démonstration. - C e l a r é s u l t e de la commutativité du diagramme
X x n n
p,n®K > K2(K) > K2(K) > K2(K)/K2(K)r
H ^ K , nn) > H2( K , T ® - T ) — > H2( K , T ^ T ) > H2(K, M -n® 0 où la ligne du b a s est une p a r t i e de la s u i t e e x a c t e de cohomologie e n g e n d r é e par la s u i t e e x a c t e c o u r t e :
1 > T ® G T X N > T ® | - [ T > NN® NN > 1 .
COROLLAIRE 2 1 . - S o i e n t n > 1 un e n t i e r naturel non d i v i s i b l e par 8 , et
§ un e n s e m b l e fini de p l a c e s non c o m p l e x e s de K , contenant l e s p l a c e s f i n i e s qui divisent n . S i le c o r p s K contient l e s r a c i n e s n - i è m e s de l'uni- té, il e x i s t e une s u i t e e x a c t e c o u r t e canonique :
- > u -> R, ( K ) / R ? ( K ) n > © u /V" > 1 , p€g P' P
où C£ est le groupe des g - c l a s s e s de d i v i s e u r s du c o r p s ; R_(K) est le g s z x ~ n
noyau de l'application : K9(K) 5> © k ; et ® p, /p, d é s i g n e le s o u s -
2 p £ g P p € § P P
groupe de la somme d i r e c t e d e s quotients d'exposant n d e s g r o u p e s de r a c i - nes de l'unité des complétés de K pour les p l a c e s de S , formé des familles
q u' v®r' f 'e n t 'a formule du produit ( d a n s
Démonstration. - P a r t o n s de la s u i t e e x a c t e c o u r t e
772g
1 > R?(K) -> K_(K) > © kX > 1, qui définit R?(K). E l e -
z z p £ g p z
vant à la p u i s s a n c e n , nous pouvons former, via le lemme du serpent, le diagramme commutât if exact :
K0( K )( n ) > © kX > R?(K)/R?(K)n > K„(K)/K_(K)n > © kx/ kx n
2 p £ g P 2 2 2 p ^ g P P
Dans c e l u i - c i , la s u r j e c t î o n |j, <8> Kn & X > est donnée par le c o r o l - l a i r e 2 0 ; l'isomorphisme K2( K ) / K2( K )n © r é s u l t e du corol laire 18 ;
p "
et Dg d é s i g n e le groupe d e s d i v i s e u r s de K qui sont é t r a n g e r s aux p l a c e s de g (Rappelons que le groupe d e s d i v i s e u r s d'un c o r p s de nombres est le
groupe abélien engendré par l e s p l a c e s non complexes de c e c o r p s , a v e c les r e l a t i o n s p = 1 , pour chaque p l a c e r é e l l e p ; et que le groupe des c l a s s e s 2 ' de d i v i s e u r s s ' i d e n t i f i e a v e c le groupe des c l a s s e s d'idéaux au s e n s o r d i n a i r e l o r s q u e g contient l e s p l a c e s r é e l l e s , a v e c le groupe d e s c l a s s e s d'idéaux au s e n s r e s t r e i n t l o r s q u e g n'en contient a u c u n e ) .
5 . - A P P E N D I C E - L'ANNEAU D E MILNOR D'UN C O R P S D E N O M B R E S .
DEFINITION 2 2 . - Ljanneau de MHnoj d'un c o r p s commutatîf K est le quotient K^ (K) de l ' a l g è b r e t e n s o r ï e l l e T ( KX) = © T " ( KX) , c o n s -
n € IK1
t r u i t e s u r s o n Z-module multiplicatif K , par l'idéal b i l a t è r e gradué X e n g e n d r é par l e s é l é m e n t s de la forme x ® ( 1 - x ) l o r s q u e x d é c r i t K \ { o , l j . L'anneau K„ (K) = © K (K) est un anneau gradué anticom-
* n 6 N n
mutatif, dont on note * la loi de composition.
En p a r t i c u l i e r , on a KQ(K) = Z et K^K) = KX.
PROPOSITION 2 3 . - D a n s l'anneau de Milnor d'un c o r p s commutatîf K , l e s p r o p r i é t é s s u i v a n t e s sont v é r i f i é e s :
(i)' ( a a ' ) * b = ( a * b ) . ( a ' * b ) 1
> (distributivité) (ii)' a*(bb') = ( a * b ) . (a*b') J
(iii)' a * ( l - a ) = 1 (iv)' a * (-a) = 1
(v)' a * a = a * ( - 1) ( et donc ( a * a )2 = l ) (vî)1 ( a * b ) . ( b * a) = 1 (anticommutativîté)
(vii)' a1* a2* . . . * an= 1, pour a]+ a2+ . . . + an = 0 ou 1.
Démonstration. - L ' i d é a l gradué I étant engendré par s e s é l é m e n t s de d e g r é 2 , on a, comme annoncé dans la définition : KQ(K) = T ° ( KX) = Z , et
K^K) = T ^ ( kX) = KX ; c e qui permet d ' i d e n t i f i e r le g r o u p e multiplicatif de K a v e c s o n image canonique K^K) dans l'anneau de Milnor. Cela étant, les p r o p r i é t é s (i)' à (vî)' ne sont r i e n d ' a u t r e que la traduction dans K^. (K) d e s p r o p r i é t é s (î) à ( v i ) , é c r i t e s pour le s y m b o l e u n i v e r s e l | , } , t e l l e s q u ' e l l e s sont e x p o s é e s dans la s e c t i o n 1 § a , l ' a n t i s y m é t r i e du s y m b o l e
{ , } c o r r e s p o n d a n t à l'antîcommutativité de l'anneau K ^ ( K ) . Quant à la p r o p r i é t é ( v i i ) ' , e l l e s ' o b t i e n t d i r e c t e m e n t à p a r t i r de (iii)' et (iv)' :
= L a1* . . . * an_1* ( l - a1) ] [ a1* . . . * an <_1* ( - a2) ] . . . . . . . . [ al* . . . * an_l* ( - an_1) ] = 1
= [ a1* . . . * an_1* ( - a1) ] [ a1* . . . * an_1* ( - a2) ] . . . . . . . o [ a , * . . . *a n_ i * ( - a n_ , ) ] = 1.
THEOREME ET DEFINITION 2 4 . - Etant donnée une appl ication n - l ï n é a i r e
X X •
f s u r K x . . . x K , à v a l e u r s dans un groupe abél ien G , qui prend la v a - leur unité sur chaque n-uplet [ a | , , ,Ma J vérifiant a. + a. ^ = 1 f pour un î de 11 , 2 , . . n - 1 | , il e x i s t e un unique morphisme f de Kn(K) dans G tel que l'on ait :
f ( a1, . . . , an) - 7 ^ * . . . * an) , V (a1 , . . . , an) € KX x . . . x K* . Une t e l l e application f est a p p e l é e un n - s y m b o l e .
Démonstration. - Cela r é s u l t e immédiatement de la propriété u n i v e r s e l l e de l ' a l g è b r e t e n s o r i e l l e .
L e théorème suivant, dû à B a s s et Tate, montre que, pour un c o r p s d é n o m b r é s , l e s g r o u p e s Kn(K) de degré n ^ 3 sont e s s e n t i e l l e m e n t bien connus :
THEOREME 2 5 . - S i K est un c o r p s de nombres a l g é b r i q u e s , pour chaque naturel n > 3 , le groupe Kn(K) est isomorphe au produit de r c o p i e s de Z/2Z , où r d é s i g n e le nombre de p l a c e s r é e l l e s de K .
Pour une démonstration de c e d e r n i e r résultat, on pourra s e r e p o r - ter à
[2].
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(E.R.A. n°070654)
25030 BESANCON CEDEX
