Interprétation géométrique des nombres complexes
Affixe d’un point, affixe d’un vecteur. Image ponctuelle, image vectorielle d’un nombre complexe
+
O
M(z)
x y
−→u
x
y
Si Mest le point de coordonnées(x, y), l’affixe deMest le nombrezM=x+iy.
Si −→u est le vecteur de coordonnées(x, y), l’affixe de−→u est le nombrez−→u =x+iy.
Si z=x+iyoùxetysont deux réels alors - l’image ponctuelle dezest le pointM(x, y) - l’image vectorielle dezest le vecteur −→u(x, y)
Opposé, conjugué d’un nombre complexe
+
+ +
+
M1(z)
M2(z) M3(−z)
M4(−z)
Le pointM2d’affixezest lesymétrique par rapport à(Ox)du pointM1d’affixez.
Le pointM3d’affixe−zest lesymétrique par rapport à Odu pointM1d’affixez.
Le pointM4d’affixe−zest lesymétrique par rapport à (Oy)du pointM1d’affixez.
Opérations dans C
Différence de complexes Somme de complexes
La différence de deux complexes est l’affixe d’un vecteur.
z−AB→=zB−zA. +
+ A(zA)
B(zB)
−→ AB
−→ AB
zB−zA
O
z+z′ z′
z
La somme de deux
complexes est l’affixe de la somme de deux vecteurs.
z→−u+→−u′ =z→−u +z−→u′.
−
→u
′
−→u
−→u+−→u′
O
Multiplication par un complexe de module 1 Multiplication par un complexe non nul
b
b
M(z) M′(zeiθ)
θ
Multiplier zpar le
complexe eiθ de module1 équivaut à faire tourner M(z)d’un angleθ
autour deO.
O
b b
M(z) M′(z.reiθ)
OM
′ =rOM
θ
Multiplierzpar le complexe reiθ(r > 0) équivaut à faire tournerM(z)d’un angleθ autour deOpuis à construire l’image du point obtenu par l’homothétie de centre0
et de rapportr.
O
Multiplication d’un vecteur par un réel. Colinéarité de deux vecteurs
−→u
λ−→u z
λz
Si λest un nombre réel, zλ−→u =λz−→u
Milieux. Barycentres
• SoientAet Bdeux points etIle milieu du segment[AB]. zI= zA+zB
2 .
• SoientA, B. . . des points du plan eta,b. . . des réels tels quea+b+. . .6=0.
SiG=bar{A(a), B(b), . . .}alorszG= azA+bzB+. . . a+b+. . . .
Module d’un nombre complexe
+ M(z)
x y
OM
=|z|
+
+
A
B AB=|zB−zA| O
• xetysont deux réels,M(x, y)etz=zM=x+iy.
|z|=OM=
−−→ OM
=p
x2+y2.
• A(xA, yA),B(xB, yB),zA=xA+iyA etzB=xB+iyB. AB=
−→ AB
=|zB−zA|=p
(xB−xA)2+ (yB−yA)2.
• A, B,CetD sont quatre points d’affixes respectivesa,b,cet d(b6=a).
d−c b−a
= CD AB.
Argument d’un nombre complexe non nul. Forme trigonométrique.
Coordonnées polaires
−→u
−→v
b
M(z)
arg(z) O
•Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct(O,−→u ,−→v).
Mest un point distinct deOd’affixez6=0.
arg(z) =−→u ,−−→ OM
(2π).
•A,B,CetDsont quatre points tels queB6=Aet D6=C, d’affixes respectivesa,b,cet d.
arg d−c
b−a
=−→ AB,−→
CD (2π).
−→u
−→v O
+ M(reiθ)
r=OM
θ=−→u ,−−→ OM
b
z
|z|= z r =eiθ 1
1 •Mest un point distinct deOd’affixez6=0.
Les phrases suivantes sont équivalentes :
➀z=reiθ,rréel strictement positif,θréel.
➁r=|z|etθ=arg(z) (2π).
➂Un couple de coordonnées polaires de Mest [r, θ].
➃r=OMet[θ=−→u ,−−→ OM
(2π).
