G.BERHUY
Le but de cet article est de donner une classification compl`ete des groupes d’ordre 8. On en connaˆıt d´ej`a quelques uns :
Z/8Z, Z/4Z×Z/2Z, (Z/2Z)3, D4.
L’objet du premier paragraphe est de pr´esenter un autre groupe d’ordre 8,
`
a savoir le groupe des quaternions.
1. Le groupe des quaternions Commen¸cons par d´efinir le groupe qui nous int´eresse.
D´efinition 1.1. Soient A =
i 0
0 −i
et B =
0 −1
1 0
. Le sous-groupe de GL2(C) engendr´e parA etB est appel´e legroupe de quaternions d’ordre 8. Il est not´eQ8.
On continue par un r´esultat qui caract´erise compl`etement le groupeQ8. Th´eor`eme 1.2. Soit G un groupe engendr´e par deux ´el´ements a, b ∈ G satisfaisant les conditions suivantes :
(1) aest d’ordre 4; (2) a2∈Z(G);
(3) a2=b2 etba=a−1b.
Alors, G est un groupe d’ordre 8 non ab´elien, dont le centre est engendr´e par a2, et tout ´el´ement de G s’´ecrit de mani`ere unique sous la forme
akb`, k∈J0,3K, `∈J0,1K.
De plus, Q8 v´erifie les conditions ci-dessus, et tout groupe G v´erifiant ces conditions est isomorphe `a Q8.
D´emonstration. Gardons les notations de l’´enonc´e. Notons quebest d’ordre 4. En effet, b4 = (b2)2 = (a2)2 = a4 = 1G et b2 = a2 6= 1G, puisque a est d’ordre 4. Ainsi,a−1 =a3 etb−1 =b3. Un ´el´ement deG=ha, biest donc un produit de puissances positives de a etb. En utilisant la relation ba=a3b, on voit que tout ´el´ement deha, bi est de la formearbs,o`u r, s≥0. ´Ecrivons s= 2n+`, avec `∈J0,1K.Alors, on a
arbs=ar(b2)nb`=ar(a2)nb` =ar+2nb`.
Date: 10 novembre 2019.
1
En ´ecrivant cette fois r+ 2n= 4m+k,avec k∈J0,3K,on obtient arbs =ar+2nb` =akb`,
puisque aest d’ordre 4.
Supposons maintenant que akb` = arbs avec k, r ∈ J0,3K, et `, s ∈ J0,1K. On a donc bs−` = ak−r. En particulier, bs−` commute avec a. Or, b ´etant d’ordre 4, on a bs−` = 1, b, b2 ou b3. Mais, b ne commute pas avec a, car sinon on aurait ab=ba=a3b, puis a2= 1G, ce qui n’est pas le cas puisque a2 est d’ordre 2. De plus, b3 ne commute pas non plus avec a, car sinon b = b5 = b2b3 = a2b3 commuterait avec a. Par cons´equent bs−` = 1G ou b2, et donc s−` ≡ 0 ou 2 [4]. En particulier, s−` est pair, et comme
−1≤s−`≤1, on obtients−`= 0, soits=`. Par cons´equent,ak−r = 1G, et donc k−r≡0 [4]. Puisque −3≤k−r≤3, on en d´eduit k=r.
Finalement, on obtient bien que G est d’ordre 8, et que tout ´el´ement de G s’´ecrit de mani`ere unique sous la forme
akb`, k ∈J0,3K, `∈J0,1K.
De plus, un ´el´ement de la formeakb, k∈J0,3K,ne commute pas aveca, car sinon b=a−k(akb) commuterait aveca.Un tel ´el´ement n’est donc pas dans le centre de G. Enfin, a ne commute pas avec b, et a3 non plus, car sinon a=a5=b2a3 commuterait avec b. Ainsi,a eta3 ne sont pas dans le centre de G. Finalement, puisque 1G eta2 sont dans le centre deG, on obtient
Z(G) ={1G, a2}=ha2i.
Etablissons maintenant la table de multiplication de´ G. Pour tous k, r ∈ J0,3K,et tous `, s∈J0,1K,on a
(akb`)(arbs) = akb`arb−`)b`+s
= ak(b`ab−`)rb`+s
= ak(a(−1)`)rb`+s
= ak+(−1)`rb`+s .
Soient q`,s et n`,s le quotient et le reste de la division euclidienne de `+s par 2. On a alors
(akb`)(arbs) =ak+(−1)`r+2q`,sbn`,s =amk,`,r,sbn`,s,
o`u mk,`,r,s est le reste de la division euclidienne de k+ (−1)`r+ 2q`,s par 4. Par d´efinition, mk,`,r,s ∈J0,3K, et n`,s ∈J0,1K, et ne d´ependent que de k, `, r ets, et pas du groupeG.
Par cons´equent, deux groupes v´erifiant les conditions du th´eor`eme ontmˆeme table de loi de groupes, et sont donc isomorphes. Pour pr´eciser un peu, si G0 est un groupe poss´edant deux ´el´ementsa0, b0 ∈G0 v´erifiant (1),(2) et (3), l’application
ϕ: G −→ G0 akb` 7−→ a0kb0`
est un isomorphisme de groupes (o`u k ∈ J0,3K, et ` ∈ J0,1K). En effet, ϕ est bien un morphisme de groupes, car pour tous k, r ∈ J0,3K, et tous
`, s∈J0,1K,on a
ϕ((akb`)(arbs)) = ϕ(amk,`,r,sbn`,s)
= a0mk,`,r,sb0n`,s
= (a0kb0`)(a0rb0s)
= ϕ(akb`)ϕ(arbs) .
De plus, ϕ est surjective, d’apr`es la description des ´el´ements de G0, donc bijective car GetG0 ont mˆeme nombre d’´el´ements.
Pour obtenir la derni`ere partie, il suffit donc de constater que Q8 v´erifie les conditions de l’´enonc´e. Un simple calcul montre que A2 =−I2, qui est clairement dans le centre de Q8. En particulier,A−1 =−A. De plus,A4 = (−I2)2 = I2. Comme A2 6= I2, A est bien d’ordre 4. On v´erifie ´egalement que B2 =−I2, et que BA=−AB =A−1B. Ceci ach`eve la d´emonstration.
Remarque 1.3. Comme A2 =−I2, le th´eor`eme pr´ec´edent montre queQ8
est d’ordre 8 non ab´elien, queZ(Q8) ={±I2}, et que ses ´el´ements sont
±I2, ±A, ±B, ±AB.
On remarque que ±A,±B et ±AB sont tous d’ordre 4,tandis que −I2 est d’ordre 2.
Nous allons maintenant d´ecrire les sous-groupes deQ8. Proposition 1.4. Les sous-groupes de Q8 sont
{I2}, h−I2i, hAi, hBi, hABi, Q8, qui sont respectivement d’ordre 1,2,4,4,4,et 8.
En particulier, tous les sous-groupes stricts de Q8 sont ab´eliens.
De plus, tous les sous-groupes de Q8 sont distingu´es dans Q8, bien que Q8
ne soit pas ab´elien.
D´emonstration. Notons que si M = A, B ou AB, alors hMi =h−Mi. En effet,−M = (−I2)M =M3, et commeM est d’ordre 4, qui est premier `a 3, M3 etM engendrent le mˆeme sous-groupe cyclique (on peut aussi proc´eder par calcul direct). Les sous-groupes deQ8engendr´es par 0 ou 1 ´el´ement sont donc exactement
I2, h−I2i, hAi, hBi, hABi.
Consid´erons maintenant un sous-groupe engendr´e par deux ´el´ementsM1 et M2 distincts, et diff´erents deI2. Vu les ´egalit´esA2=B2 = (AB)2 =−I2, on a h−I2i ⊂ hMi si M =±A,±B,±AB et vu l’´egalit´e hMi=h−Mi, il suffit de consid´erer les cas (M1, M2) = (A, B),(A, AB) ou (B, AB). Dans les trois cas, le sous-groupe obtenu est hA, Bi=Q8, puisque
hA, ABi=hA, A−1(AB)i=hA, Bi, et
hB, ABi=hB,(AB)B−1i=hA, Bi.
Clairement,{I2}etQ8 sont distingu´es dansQ8. De plus,Z(Q8) =h−I2iest distingu´e dans Q8. Notons maintenant que les trois sous-groupes restants
sont d’ordre 4, donc d’indice 2, donc distingu´es. On peut aussi proc´eder de mani`ere calculatoire. Par exemple, on a
AAA−1=A∈ hAiet BAB−1 =−A=A3 ∈ hAi,
ce qui suffit `a montrer que hAi est distingu´e dans Q8, puisque A et B en-
gendrent Q8.
Ce r´esultat permet de d´emontrer que Q8 n’est pas isomorphe `a un produit semi-direct.
Proposition 1.5. Le groupeQ8n’est pas isomorphe `a un produit semi-direct de deux groupes d’ordre <8.
D´emonstration. Supposons que l’on ait un isomorphismeϕ:H×ρK −→∼ Q8, o`uH etK sont d’ordre <8.
Soient H0=ϕ(H× {1K}) etK0 =ϕ({1H} ×K). On sait queH× {1K}est distingu´e dans H×ρK. Comme ϕ est un isomorphisme , H0 est distingu´e dans Q8. De plus, pour touth∈H et tout k∈K, on a
(h,1K)(1H, k) = (hρk(1H), k) = (h1K, k) = (h, k),
et par cons´equent ϕ((h, k)) =ϕ((h,1K))ϕ((1H, k)). Commeϕest bijective, il s’ensuit que tout ´el´ement de Q8 s’´ecrit comme le produit d’un ´el´ement de H0 et d’un ´el´ement de K0 Ainsi, Q8 =H0K0 =hH0, K0i, puisqueH0 est distingu´e dansQ8.Enfin,H× {1K}et{1H} ×K s’intersectent trivialement, et commeϕest bijective, on en d´eduit ais´ement queH0 etK0 s’intersectent trivialement. Bref, Q8 =H0oK0.
Puisque H etK sont d’ordre<8, il en est de mˆeme deH0 etK0. Ainsi,H0 etK0sont des sous-groupes stricts deQ8. D’apr`es la proposition pr´ec´edente, H0 et K0 sont ab´eliens, et distingu´es dans Q8. On a donc Q8 =H0K0 ' H0×K0.Mais commeH0 etK0 sont ab´eliens, on obtient queQ8 est ab´elien,
d’o`u une contradiction.
2. Classification des groupes d’ordre 8
Nous allons pouvoir donner une liste des groupes d’ordre 8 `a isomorphisme pr`es.
Th´eor`eme 2.1. Il y a cinq groupes d’ordre 8 `a isomorphisme pr`es (trois ab´eliens, et deux non ab´eliens) :
Z/8Z, Z/4Z×Z/2Z, (Z/2Z)3, D4 et Q8.
De plus, Q8 est l’unique groupe non ab´elien d’ordre 8 dont tous les sous- groupes sont distingu´es. C’est aussi l’unique groupe non ab´elien d’ordre 8 poss´edant un unique ´el´ement d’ordre2.
D´emonstration. Soit G un groupe d’ordre 8, et soit m le maximum des ordres des ´el´ements deG. D’apr`es le th´eor`eme de Lagrange, on am= 1,2,4 ou 8. Le casm= 1 est impossible, puisque sinonGserait trivial. Nous allons maintenant traiter les cas restants s´epar´ement.
Si m= 8, Gposs`ede un ´el´ement d’ordre 8, et est donc cyclique. On a donc G'Z/8Z.
Si m= 2, tous les ´el´ements sont d’ordre 1 ou 2, et doncx2 = 1G pour tout x∈G. Mais alors,Gest ab´elien. En effet, pour tousx, y∈G, on a
yx=y−1x−1 = (xy)−1=xy.
Passons en notation additive pour plus de clart´e. On a donc 2·x = 0 pour tout x∈G. On v´erifie facilement que la loi externe
F2×G−→G
(m, x)7−→m∗x=m·x
est bien d´efinie, et muni le groupe ab´elien (G,+) d’une structure de F2- espace vectoriel, n´ecessairement de dimension finie, puisqueGest fini. Mais alors, si n= dimF2(G), on a un isomorphisme d’espaces vectoriels G'Fn2, qui est en particulier un isomorphisme de groupes ab´eliens. Comme G est d’ordre 8, on obtient n= 3, soit G'(Z/2Z)3.
Il reste le casm= 4, qui est le plus d´elicat. Soita∈Gun ´el´ement d’ordre 4.
Le sous-groupe H=haiest d’ordre 4,donc d’indice 2. Il est donc distingu´e dans G. De plus, pour tout b∈G\H, on a G/H ={1G, b}, puisqueG/H est d’ordre 2 et que b6= 1G.
Si x∈G, on a donc x=b` =b`, avec`∈J0,1K, et par cons´equent, il existe y ∈H tel quex=b`h. Il existe donck∈Ztel queh=ak, et ainsix=b`ak. Par cons´equent,G=ha, bi.
Supposons tout d’abord qu’il existe b∈ G\H d’ordre 2. Posons K =hbi.
On a donc
G=ha, bi=hH, Ki,
et de plus |G|= 8 = 4·2 =|H||K|. Enfin, H∩K ={1G}. En effet, dans le cas contraire, on aurait b∈H. Bref, puisque H est distingu´e dans G, on a G=HoK.
Ainsi, tout ´el´ement deGs’´ecrit de mani`ere unique sous la forme akb`, k ∈J0,3K, `∈J0,1K.
Puisque H est distingu´e dans G, on a bab−1 ∈ H. Comme a est d’ordre 4, bab−1 est d’ordre 4, et donc bab−1 =a ou a−1. Dans le premier cas,a etb commutent, et les ´el´ements de H etK commutent donc. On a alors
G=HK 'H×K 'Z/4Z×Z/2Z.
Supposons maintenant que bab−1 = a−1. Dans ce cas, G est isomorphe `a D4. En effet, pour toutk∈J0,3K,et tout `∈J0,1K,on a
(akb`)(arbs) = ak(b`ab−`)rb`+s
= ak(a(−1)`)rb`+s
= auk,`,r,sbv`,s,
o`u uk,`,r,s est le reste de la division euclidienne de k+ (−1)`r par 4, etv`,s est le reste de la division euclidienne de `+spar 2.
Or,D4 poss`ede la mˆeme table de loi de groupe : siσ est la rotation d’angle π
4 etτ est la sym´etrie orthogonale d’axe (Ox),σest d’ordre 4, τ est d’ordre 2, τ στ−1 = σ−1, et tout ´el´ement de D4 s’´ecrit de mani`ere unique sous la forme
σkτ`, k∈J0,3K, `∈J0,1K.
Les mˆemes calculs que pr´ec´edemment montrent alors que pour tout k ∈ J0,3K,et tout `∈J0,1K,on a
(σkτ`)(σrτs) =σuk,`,r,sτv`,s.
On conclut alors comme dans la d´emonstration du th´eor`eme 1.2.
Il reste `a traiter le cas o`u G\H ne contient pas d’´el´ement d’ordre 2. Un
´
el´ement b∈G\H est alors d’ordre 4 (puisque Gne contient pas d’´el´ement d’ordre 8, vu que m = 4). Comme G/H est d’ordre 2, on a b2 = 1G, et donc b2 ∈ H =hai. Comme hai est cyclique, il contient un unique ´el´ement d’ordre 2, `a savoira2. On a ainsia2=b2. Comme pr´ec´edemment,bab−1 est un ´el´ement deH d’ordre 4, donc ´egal `a 1G ou a−1.
Si bab−1 = a, a et b commutent. Mais alors, ab ∈ G\H (car a ∈ H et b∈G\H), mais (ab)2 =a2b2 =a4= 1G. Par cons´equent,G\Hcontient un
´
el´ement d’ordre 2, ce qui contredit l’hypoth`ese. Par cons´equent,bab−1 =a−1, soit ba=a−1b. Observons maintenant quea2 ∈Z(G), puisquea2 commute
`
a a et b (car a2 = b2), et a et b engendrent G. Par le th´eor`eme 1.2, G est isomorphe `aQ8.
On a donc obtenu les cinq groupes de l’´enonc´e. Il reste `a constater que tous ces groupes sont deux `a deux non isomorphes. Les groupes D4 et Q8 sont non ab´eliens, donc non isomorphes aux trois premiers. Ils sont de plus non isomorphes, car D4 contient un sous-groupe non distingu´e, `a savoir le sous- groupe engendr´e par la sym´etrie d’axe (Ox), tandis que tous les sous-groupes de Q8 sont distingu´es (cf. proposition 1.4). On peut aussi constater queQ8 poss`ede un seul ´el´ement d’ordre 2, tandis que D4 en contient quatre (les quatre sym´etries).
Enfin, les trois groupes ab´eliens sont deux `a deux non isomorphes, puisque l’analyse pr´ec´edente montre que l’ordre maximal m d’un ´el´ement d’un de ces groupes est 8,4 et 2 respectivement. Ceci ach`eve la d´emonstration.