quad de la bibliothèque scipy.integrate

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LycéeNewton - PTSI SN - TP2 - Calcul approché d’intégrales

Informatique - Simulation numérique

TP n^o2 : Calcul approché d’intégrales

Méthodes de quadrature

Ex. 1 Méthode des rectangles et des trapèzes

Nous avons vu en cours la méthode des rectangles et des trapèzes.

1.1. Implémenter ces deux méthodes. Chacune de ces fonctions (rectangle et trapeze) prendra en paramètre la fonction à intégrer, les bornes de l’intervalle et le nombre de subdivisions choisi.

1.2. Tester vos fonctions en évaluant R3 2 xdx.

1.3. Comment semble évoluer l’erreur commise lorsque l’on divise le pas de la méthode par 10 ?

Ex. 2 Fonction

quad de la bibliothèque scipy.integrate

2.1. Chercher la documentation de la fonctionquad de la bibliothèquescipy.integrate.

2.2. Utiliser cette fonction pour estimerR3

2 xdx puisR1

0 e^−x²dx.

Ex. 3 Méthode du point milieu

Pour évaluer Rb

af , on crée une subdivision uniforme (xk)_k∈[0,n] de [a, b] et on approxime f sur chaque intervalle [x_k, x_k+1] par la constante passant le point « milieu » d’abscisse ^x^k^+x₂^k+1.

3.1. Implémenter cette méthode à l’aide d’une fonctionpoint_milieu.

3.3. Justifier que comme pour la méthode des trapèzes, la méthode du point milieu est au moins d’ordre 1, c’est-à-dire qu’elle est exacte lorsque f est une fonction affine.

3.4. Modifier la fonction pour qu’elle trace l’ensemble des rectangles utilisés dans le calcul.

Ex. 4 Méthode de Simpson

Pour évaluerRb

af, on crée une subdivision uniforme (x_k)_k∈[0,n][a, b] et on approximef sur chaque intervalle [xk, xk+1] par la fonction polynomiale p de degré 2 passant par les trois points suivants : les points de la courbe d’abscissex_k etx_k+1 et leur milieu. on peut alors montrer que

Z xk+1

xk

p(x)dx= h 6

p(x_k) + 4p

x_k+x_k+1 2

+p(x_k+1)

avec h= b−a n 4.1. Implémenter cette méthode à l’aide d’une fonctionsimpson.

On peut prouver que la méthode est exacte lorsque f est un polynôme de degré inférieur ou égal à 3. on dit que la méthode est d’ordre 3.

Méthode de Monte-Carlo

Ex. 5 Méthode de Monte-Carlo

Le terme méthode de Monte-Carlo désigne toute méthode visant à calculer une valeur numérique en utilisant des procédés aléatoires, c’est-à-dire des techniques probabilistes (ou plus généralement stochastiques).

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les méthodes de Monte-Carlo, en référence aux jeux de hasard pratiqués au casino de Monte-Carlo, ont été développées notamment sous l’impulsion de John Von Neumann et Stanislas Ulam, lors de la seconde guerre mondiale et des recherches sur la fabrication de la bombe atomique.

Ces méthodes sont particulièrement utilisées pour calculer des intégrales (en dimensions 1 ou plus, calculs de surfaces et de volumes) et en physique des particules, où des simulations probabilistes permettent d’estimer la forme d’un signal ou la sensibilité d’un détecteur. la comparaison des données mesurées à ces simulations peut permettre de mettre en évidence des caractéristiques inattendues, par exemple de nouvelles particules.

5.1. Calcul d’aire – Approximation de π.

On considère le carré C de côté 1 et le quart de disque Ade centre l’origine O du repère, de rayon 1, comme illustrés sur la figure ci-dessous.

O 1

1 y

x C A

M(x, y)•

5.1.a. On prend au hasard un pointM à l’intérieur du carréC. Quelle est la probabilité queM soit dans le quart de disque A?

5.1.b. On note M(x, y) les coordonnées du point M. Quelles conditions doivent vérifier les coordonnées du pointM pour que celui-ci soit dans le carréC?

5.1.c. Quelle condition doivent vérifier les coordonnées du point M pour que celui-ci soit dans le quart de disqueC?

5.1.d. On considère l’algorithme suivant :

Affecter ànla valeur 1000 Affecter àCla valeur 0 Pouriallant de 1 àn:

Affecter à xune valeur aléatoire de [0, 1]

Affecter à yune valeur aléatoire de [0, 1]

Six²+y² <1 :

Affecter àCla valeur C+1 RenvoyerC/n

À quoi correspond la valeur de la variable C? Que fait cet algorithme ? A quelle valeur peut- on s’attendre, approximativement, en sortie ? A quel comportement du résultat affiché en sortie peut-on s’attendre lorsque la valeur de naugmente ?

5.1.e. En utilisant la fonction random() du module random, implémenter la fonction permettant de mettre en œuvre cet algorithme.

5.1.f. Modifier cet algorithme afin d’obtenir une approximation deπ.

5.2. Calcul d’une intégrale

5.2.a. Calculer l’aire exacte du domaine hachuré ci-dessous.

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O 1

1 y

x C y=x²

M(x, y)•

5.2.b. Reprendre la démarche précédente et implémenter une fonctionintegrale(f, a, b, n)permettant de calculer l’intégrale de a à b de la fonction f, n représentant le nombre de points utilisés dans l’algorithme de Monte-Carlo.

Applications

Ex. 6 Période d’un pendule

On considère un pendule simple pouvant osciller dans le plan vertical constitué d’une masse m suspendue par un fil de longueurl. La position du pendule par rapport à la verticale est repérée par un angleθ. Lorsque les oscillations sont de faible amplitude, la périodeT des oscillations est donnée en première approximation par la relation :

T = 2π l

g (1)

Dans le cas général, la période des oscillations est la suivante : T = 4

l g

Z π/2

0

dϕ p1−k²sin²ϕ

avec k= sinθ₀ 2 où θ₀ représente l’amplitude des oscillations.

6.1. Utiliser la commande quad du module scipy (bibliothèque integrate), calculer T pour l = 1 m et θ0 = 50^◦.

6.2. Comment vérifier que la méthode fonctionne bien ?

6.3. Modifier la structure de la fonction pour à intégrer pour qu’elle soit paramétrée par les arguments supplémentaires l etθ0. En étudiant la documentation de la fonctionquad, calculer l’intégrale suivant ϕ de la fonction f(ϕ, l, θ0). Un tuple est une liste non modifiable dont la définition utilise la syntaxe suivante :

> > > m o n _ t u p l e = (1 ,2 , ’ t e s t ’ )

> > > t y p e( m o n _ t u p l e )

Ex. 7 Valeur moyenne et valeur efficace d’une tension

On considère une tension sinusoïdaleu(t) définie par la relation :

u(t) =U0+Umsin(2πf t)

avec U₀= 5 V, U_m = 6 V et f = 50 Hz. On pose T = 1/f et on rappelle que les tensions moyenne u_moy et efficace u_eff sont respectivement données par les relations :

umoy = 1 T

Z T

0

u(t)dt et ueff =

1 T

Z T

0

u²(t)dt

7.1. Représenter la fonctionu sur [−2T,2T] (penser à donner des noms aux axes en précisant les unités).

7.2. Déterminer des valeurs approchées deumoy etu_eff.

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