SCINTIGRAPHIQUES TRAITEMENT DES IMAGES

(1)

SCINTIGRAPHIQUES

Denis MARIANO-GOULART Département de médecine nucléaire CHRU de Montpellier http:\\scinti.edu.umontpellier.fr

Le symbole  marque des points particulièrement importants à comprendre et connaître Le symbole  concerne un exercice ou une réflexion à mener ensemble

Le symbole  marque des points délicats qui ne sont pas exigibles à l’examen

Le symbole désigne une diapositive masquée lors du cours, donnée en complément.

^M

(2)

PLAN DU COURS

 Réponse d’une g-caméra (3h30)

• réponse impulsionnelle

• échantillonnage

• formation d’une image

• effet de volume partiel

• déconvolution

 Bruit et filtrages (2h30)

 bruit stochastique

 filtrages d’images

 Segmentation (1h)

 Recalage d’images (1h)

 Visualisation volumique (1h)

(3)

 REPONSE D’UNE GAMMA-CAMERA

Nb: les artefacts d’atténuation, traités dans un cours spécifique ne sont pas repris ici.

Réponse impulsionnelle d’un appareil d’imagerie.

Echantillonnage d’une image scintigraphique.

Processus de formation d’une image Effet de volume partiel

Déconvolution

(4)

g ^X ^-

X ⁺ Scintillateur PM Localisation

( Point Spread Function )









 

X X

X S X

Collimateur

1 S

-1

Réponse géométrique, Pénétration et diffusion septales

Incertitudes de localisation Diffusion

Compton dans le cristal

réponse intrinsèque

3R

R

2R

(5)

h(i)=M[d](i)

g SLID

Réponse d’une g-caméra

d(i)

M[]

goutte radioactive au centre du champ = impulsion de Dirac

LMH

H H/2

0 0

h(i)



Réponse intrinsèque

 LMH  4 mm,  invariante



Réponse du collimateur

 variable

1 ½

¼ ¼

0 0

(6)

Réponse d’un collimateur

CE Metz. Phys Med Biol 1990; 35:81-93 – Traité de Médecine nucléaire.1. G. Meyniel et al. Flammarion 1975.

Réponse moyenne dans le plan P (septa cylindriques) :

h(0) = efficacité du collimateur

L B 2R

D r

Collimateur Détecteur

P

 





 



 



 



 

 



 



 

2

2 1 .

. 2 .

arccos . .

) 2 0 ) (

( r

r r r h

h   

 ^ ^ ^R ^. ( ^L ^ ^L ^D ^ ^B 

h(r)



(7)

Réponse d’un collimateur

LEHR : L = 4,1 cm ; B = 0,64 cm ; R = 0,19 cm ; e = 0,065

Quantitative Analysis in Nuclear Medicine Imaging, Springer US. 2006; CE Metz. Phys Med Biol 1990; 35.

( ^L ^D ^B 

R

L



 

 .

L B 2R

D

Collimateur Détecteur

D=10 cm P

 





 



 



 



 

 



 



 

2

2 1 .

. 2 .

arccos . .

) 2 0 ) (

( r

r r r h

h   



h(i)

0

 

 

  

 h r

r

h 2 .

1 ) 0 ( )

( 



r

h(r)

(8)

g-caméra  gaussienne (pour D fixée)

LMH = FWHM

7 r (mm)

Quantitative Analysis in Nuclear Medicine Imaging, Springer US. 2006

k 2 LMH . ln 2 2

1 

 

2 ln . 2 .

2 

LMH 

0 5 10

-10 -5

h _C (i)

h(i)

2 2.

)

( k e

^k ⁱ

i

h 

^



LMH = Largeur à Mi-Hauteur

= Full Width at Half Maximum = RESOLUTION

 

 



h(i) h(x)dx 1

Z i

98% de l’intégrale d’une

gaussienne se trouve entre ± LMH

1 )

( 





 LMH

LMH i

i

h

(9)

Lien entre LMH & D

Quantitative Analysis in Nuclear Medicine Imaging, Springer US. 2006

D=10 cm

h(i)

D=5 cm

(10)

( PSF = Point Spread Function )

D

LMH

2 2 2

2

2 . ln . 4 .

2 ln .

) 2 (

) (

LMH i i

k

LMH e i

h

k e i

h









b a

LMH  . D 

) ( cm LMH

)

( cm

D

(11)

Mammo- Radiographie Scintigraphie g

0.1 mm 1 mm 5 mm 10 mm 15 mm

IRM et TDM X PET SPECT

Echographie CZT graphie

LMH en imagerie médicale



(12)

LMH=Pouvoir séparateur

H/2

LMH

D>>LMH LMH

H

La LMH est la plus petite distance qui doit séparer

2 objets pour que la caméra en donne 2 images distinguables:

LMH = Pouvoir séparateur

LMH

D>LMH D

LMH

D  LMH  images fusionnées

image

objet

(13)

image s(i)

Si D > LMH, l’image totale s(i) présente un minimum entre les maxima des images des 2 objets.

On peut écrire :

s(i) = 1 + sin (66i) + sin (200i)

Fréquence nulle Code le signal de fond constant

f₀ fréquence fondamentale (la plus basse, ici 33 m^-1) code les variations lentes de niveaux de gris entre pixels (pente en B et B’ au maxi)

f_max = fréquence maxi (ici 3.f₀= 100 m^-1) Code les variations les plus brutales de niveaux de gris entre pixels (pente en H et H’ au maxi)

= 2f₀. i

D

B

D

B’

H

H’

Dans cette image, deux raies blanches sont au moins séparées par une distance

D

_min

= 1/f

_max

=1/100 m = 1 cm

(14)

1/LMH = fréquence maxi dans l’image

séparateur pouvoir

résolution 1

min max



_transmise

D

^transmise

LMH f



LMH = D

_min

= plus petite distance entre 2 raies blanches dans l’image = 1/f

_max

D _min =LMH

1/LMH est la plus haute fréquence objet dont la caméra puisse faire l’image LMH   f

_max

  variation de contraste maximale possible 

Exemple : LMH = 0,5 cm  f

_max

= 1/0,5 cm

^-1

= 2 signaux hyper par cm

2 objets doivent être distants de LMH pour donner 2 images distinctes

elles mêmes distantes de LMH.

0,5 mm: 2 hyper/cm

(15)

LMH+e

Théorème de Shannon

Si la taille du pixel est identique à la LMH, alors aucun contraste n’est

numérisé pour des objets ponctuels distants d’un peu plus que la LMH:

Perte de résolution

LMH

(16)

LMH+e

LMH / 2+e

Théorème de Shannon

ECHANTILLONNAGE SANS PERTE DE

RESOLUTION

taille du pixel d d  LMH/2



En pratique : d = LMH/2

1/d=2/LMH  f _e =2.f _max



(17)

Théorème de Shannon

[ ]

) . .(

. . 2 ). sin . ( .

)

(

^max

32

0

x n d

d n x d f

n f d

x f

n



 

^







L = 160 mm f

_max

= 0,1 mm

^-1

donc:

1/d = 2. f

_max

1/d = 0,2 mm

^-1

d = 5 mm 160/5 = 32 points

autre fit incompatible

avec f

_max

d = LMH/2 1/d=2/LMH

f _e =2.f _max

(18)

Echantillonnage en pratique (1)

• Champ d’une gamma-caméra : 40x53 cm

• Dimension retenue : 530 mm

• LMH en mode planaire = 7 mm

• Taille du pixel = 3.5 mm

• 530 / 3.5 = 151 pixels / côté

• Puissance de 2 majorante = 256



(19)

Echantillonnage en pratique (1)

• Champ d’une gamma-caméra : 40x53 cm

• Dimension retenue : 530 mm

• LMH en mode planaire = 7 mm

• Taille du pixel = 3.5 mm

• 530 / 3.5 = 151 pixels / côté

• Puissance de 2 majorante = 256

• LMH en mode tomographique = 18 mm

• Taille du pixel = 9 mm

• 530 / 9 = 59 pixels

• Puissance de 2 majorante = 64



(20)

Echantillonnage en pratique (1) _

FDG EAU

4 mm

80 cm

80 cm FOV

Préréglage du constructeur : 200 px/côté Le préréglage proposé par le constructeur est-il optimal ?

400 px/côté

(21)

REPONSE D’UNE g-CAMERA

• Réponse d’une g-caméra = Gaussienne

• LMH de la gaussienne =

• Résolution

• Pouvoir séparateur

• La plus petite période de signal transmise

• l’inverse de la fréquence spatiale maximale dans l’image

• LMH linéaire avec distance(source-collimateur)

• Shannon  taille du pixel = LMH/2

POINT D’ETAPE 1

(22)

Formation de l’image

SLID

d(0)=1

d(k)= 0 si k  0 d(i)

h(i)

h(i) = M[d](i)

Introduction au traitement numérique des images médicales. D. Mariano-Goulart. EMC.

(Elsevier Masson SAS, Paris), Radiodiagnostic - Principes et techniques d’imagerie, 35-100-A-10, 2015.

d(i+1) d(i-1) d(i-k)

0 -1 1 k

d(i-k) = impulsion centrée en k

(23)

p(0)

Formation de l’image

g p(-1)

p(1)

(  (  (  (  (  (  ¹ ^δ ⁱ ¹ ^p ⁰ ^δ ⁱ ^p ¹ ^δ ⁱ ¹

p

p(i)      

i

1 - 0

(  i  1 d

1 i

0 1 -

(  (  (  (  (  (  (  ¹ ^δ ² ^p ⁰ ^δ ¹ ^p ¹ ^δ ⁰ ^p ¹

p 1

i :

exemple      

fixé i

k), (i

p(k).δ p(i)

k



  ^





= 0 sauf si k=i où d(0)=1

(  ⁱ ^- ¹

d

(  i d

1

(24)

p(0)

Formation de l’image

g

fixé i

k), (i

p(k).δ p(i)

k



  ^





Pour déterminer s, il faut faire des hypothèses sur M, donc sur les caractéristiques de la g-caméra…

? M [p](i)

s(i)  

p(-1) p(1)

i 1 i

0

1 -

(25)

Caméra  linéaire & invariante (SLID)

p(i) s(i)=M[p](i)

p(i-k) s(i-k)

k k

p(i)+.p’(i) s(i)+.s’(i)

M[]

1 

LINEARITE

INVARIANCE DANS LE DECALAGE

(26)

 ^





 d



k

) k i ( ).

k ( p )

i ( p

Formation de l’image

k)]

(i p(k).δ M[

s(i)

k



  ^





? M [p](i)

s(i)  

SLID

h(i) = M[d](i)

99 g

43 Tc

(27)

Formation de l’image

k)]

(i p(k).M[δ k)]

(i p(k).δ M[

s(i)

k k







   ^











SLID

h(i) = M[d](i)

linéarité

99 g

43 Tc

 ^





 d



k

) k i ( ).

k ( p )

i (

p s(i)  M [p](i)  ?

(28)

Formation de l’image

k) (i

p(k).h k)]

(i p(k).M[δ k)]

(i p(k).δ M[

s(i)

k k

k











    ^

















SLID

h(i) = M[d](i)

99 g

43 Tc

 ^





 d



k

) k i ( ).

k ( p )

i (

p s(i)  M [p](i)  ?

invariance dans le décalage

n convolutio de

produit

p)(i) (h

h)(i) (p

k) (i

h(k).p k)

(i p(k).h s(i)

k k











 



 



^











(29)

Interprétation

 ^







 ¹

1 ) (

).

( )

(

k

k i p k h i

s

4 1) p(i

1) p(i

2.p(i) 1)

4 p(i p(i) 1

2 1) 1 4 p(i

s(i)  1         

1 M[ ] 1

3/4 p(i)

i i

s(i)

s = moyenne pondérée par h de la grandeur physique p

1/4

1) h(1).p(i

h(0).p(i) 1)

1).p(i h(

s(i)      



(30)

h)(i) (p

k) (i

h(k).p s(i)

k







  ^





s(i)

Formation de l’image

99 g

43 Tc

p(i)

SLID

 







 









1/16 1/16

1/16

1/16 1/2

1/16

1/16 1/16

1/16 j)

h(i,

(31)

Exemple de formation d’image

 







 









1/16 1/16

1/16

1/16 1/2

1/16

1/16 1/16

1/16 j)

h(i,

 





 









 





 







10 11

2 1

0 11 6

12 3

1 2 12

12 11

1 1 3

11 3

1 0 1

1 1

0 j) S(i,

16 16

0 0

0 16 0

16 0

0 0 16

16 16

0 0 0

16 0

0 0 0

0 0

0 j) P(i,

OBJET IMAGE

(32)

...

) 5 5 sin(

) 8 3 3 sin(

) 8 8 sin(

1 )

( i   i  i  i 

p   

Interprétation en fréquence: TF

…

) ( pˆ 



0 1 2 3 4 5 p(i)

Ce graphe représentant les amplitudes de chaque composante de fréquence

est appelé spectre (ou transformée de Fourier) du signal p(i)

) ( p ^ 



 8

 3

8

 5 1 8



^

( 





k

k k

p

p ˆ (  ) ( ). sin  .

 ^TF si p(i) est impaire

Remarque: si p(i) est paire, alors 

^

( 





k

k k

p

p ˆ (  ) ( ). cos  . et, en général, 

^

[ (  (  ]









k

k j

k k

p

p ˆ (  ) ( ). cos  . sin  .



 (inutile de retenir les formules de TF)

de période 2

(33)

5 10 5

 

    



 sin( 5 ) ...

5 ) 1 3 3 sin(

) 1 8 sin(

1 )

( i i i i

p  ^ ^ _ ^ ^ ^ 20 ^sin( ⁵ ⁾ _ ^

) 1 3 6 sin(

) 1 8 sin(

1 )

( i i i i

s 

…

) ( sˆ 

 

0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5

convolution

p(i) s(i)

 de l’influence des HF )

(

pˆ 

_⁸

 3 1 8

 5

8

 8

 6

8

 20

8 1

:2 :4 0

(34)

Rappel : expo. complexe & TFD

.i) .ω cos( 

₀

.i)

.ω sin(  ₀

0 i . 



) . . sin(

. )

. . cos(

e

^j^.^^.ω⁰^.i ^DEF

  

₀

i  j  

₀

i

1 - carré d e

co mp lexe no mb re

le est j







harmonique f

fréquence la

fois fréquence

de

cos) ou

(sin circulaire

fonction la

représente e

0 .

.

j. ₀



i

) 2 /(

. .f

f _   ₀    ₀ 

[ ]

)i 1).

- .((N .i

1 . - N

0 k

).k . .(

-

)i 1).

- .((N .i

1 . N

0

)i . .(

1).e -

p(N ...

p(1).e p(0)

) ( pˆ p(k).e

) ( pˆ

1).e -

(N pˆ ...

(1).e pˆ

(0) N pˆ

p(i) 1 ).e

( N pˆ

p(i) 1







 







 



















j - j

- j

j j

j

où

(35)



 



^ ^

k

k j

i j

k

k i

j

e h k e

e k h i

s ( ) ( ).

^.(^^.^⁰ ^).( ⁾ ^.(^^.^⁰^).

( ).

^.(^^.^⁰^).

p(i) .

) ( hˆ )

(

)

( i  e ^.( ^

⁰

⁾  s i  

p ^j ⁱ

(démonstration avec les exponentielles complexes)

Un SLID agit sur l’harmonique  en l’amplifiant par la réponse en fréquence en  :

( MTF = Modulation Transfer Function )

 



k

k i p k h i

s ( ) ( ). ( )

p(i) hˆ (  )

)

(

hˆ 

(36)

[ ] [ (  (  (  (  ] (  ( 

[ ] [ (  (  ]

(  i h k (  k (  i h k (  k i

s

i k

k h k

i k

h i

s

i k

k i

k h k

i k

h i

s

k k



sin ).

( cos

cos ).

( . sin ) (

cos sin

).

( cos

sin ).

( )

(

cos sin

).

( )

( sin ).

( )

(







































Théorème de convolution

Un SLID agit sur l’harmonique  en l’amplifiant par la réponse en fréquence en  :

( MTF = Modulation Transfer Function ⁾

 



k

k i p k h i

s ( ) ( ). ( )

p(i) hˆ (  )

) ( hˆ 

h(k)

) . sin(

)

( i i

p  

(  ( ). sin (  ( ). sin (  ( ). sin (  0 sin

).

(

,      

 k h k  k h k  k h k  k h k  k

) ( hˆ p(i).

s(i)  

= 0 car (h est paire)

||



TF de h

= réponse en fréquence

(37)

Théorème de convolution

1 0 1 2 3 

) (

pˆ  hˆ (  )

) ( hˆ ).

( pˆ ) (

sˆ    

s = convolution par h de la grandeur physique p

=multiplication par de la TF de la grandeur physique hˆ (  ) pˆ (  ) )

( s 



(38)

TF d’une gaussienne

( 

2 2

.

ˆ ( )

)

(

^^

 







 

 C e

^C ⁱ

h e

^C

i h





) ˆ (  h

) (i h

C  2 LMH ln 2

La TF d’une réponse impulsionnelle gaussienne  est une

gaussienne ’ avec ’ = 1/(2) soit LMH.LMH’ = 4.ln2/ =0.91

Ex : LMH = 2 1/LMH

% 8 , 2 1 )

ˆ ( 

h LMH

(39)

5 10 5

 

    



 sin( 5 ) ...

5 ) 1 3 3 sin(

) 1 8 sin(

1 )

( i i i i

p  ^s ⁽ ⁱ ⁾ ^ ¹ ^  ⁸ _ ^ ^sin( ⁱ ⁾ ^ ¹ ₂ ^. ₃ ¹ ^sin( ³ ⁱ ⁾ ^ ₄ ¹ ^. ₅ ¹ ^sin( ⁵ ⁱ ⁾ _ ^

…

) (

pˆ  _sˆ ₍  ₎  _pˆ ₍  _). _hˆ ₍  ₎

 

0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5

2 ) 1 3 ( h  

4 ) 1 5 ( h  

convolution

p(i) s(i)

Gaussienne

1 )

1 (

h  

(40)

Exemple de formation d’image

3 16 , 1 16

1 2

h(i) 1   



 



  T N



2 2

3 sin 4 3

sin 2 16

1 3

cos 4 3

cos 2 16

1 2 ) 1

( 



 



 



 



 



 



 

 

 



 

 

 



 



 



 



 



 

 

 



 

        

 h

16 1

16 1 2 1

16 1

) (  h

 2 N

(41)

Exemple de formation d’image

3 16 , 1 16

1 2

h(i) 1   



 



  T N

 

 



 



 



 

 

 



 

 

 



 



 



 

 

 



 



 





       



^^

3 sin 4 3

cos 4 16

1 3

sin 2 3

cos 2 16

1 2

). 1 ( )

(

2

0

2 ).

.(

j j

e k h h

k

T k j

 

 



 



 



 

 

 



 

 

 



 



 



 

 

 



 

        

 3

sin 4 3

sin 2 16

1 3

cos 4 3

cos 2 16

1 2 ) 1

( j

h

2 2

3 sin 4 3

sin 2 16

1 3

cos 4 3

cos 2 16

1 2 ) 1

(  

 



 



 



 



 



 

 

 



 

 

 



 



 



 



 



 

 

 



 

        

 h

16 1

16 1 2 1

16 1

) (  h

 2 N

(42)

h)(i) (p

k) (i

h(k).p s(i)

k







  ^





s(i)

Réponses impulsionnelle et en fréquence

99 g

43 Tc

p(i)

h

SLID

1 hˆ 

0 hˆ 



(43)

d 1 f OP  

Interprétation d’une image en fréquence

OP d OP

d d tg d

i i

j

1 /

cos 1

' /

1 / ' 1













i j i

d d d tg d





cos



d

i



 ' 

(44)

donc en représentation en fréquence…

1/d

1/d’

d

d’

Arcs postérieurs des côtes

Arcs moyens des côtes à 45%

Les signaux constituées de droites parallèles espacées de d (arcs post.

des côtes) sont représentées dans l’espace de Fourier par un seul point localisé sur la droite perpendiculaire aux signaux (axe vertical donc) et à la distance 1/d de l’origine



(45)

original

De A à H, l’image est reconstruite en prenant en compte de plus en plus de

fréquences.

(46)

FORMATION D’UNE IMAGE

• Convolution du signal acquis par la réponse impulsionnelle de la g-caméra

• Moyenne pondérée dans un voisinage du signal RA par les amplitudes de la réponse impulsionnelle (gaussienne)

• Agit en lissant les contours des parties du signal RA acquis

• Multiplication du spectre du signal acquis par la réponse en fréquence gaussienne de la g-caméra

• Amplification des amplitudes des composantes fréquentielles du signal par les amplitudes de la réponse en fréquence

(gaussienne)

• Agit en diminuant l’influence des HF

POINT D’ETAPE 2



(47)

• plus le détecteur est proche du patient…

• plus la réponse impulsionnelle est étroite

• …et plus l’image est fidèle à l’objet !

• Sinon : lissage = flou !

Cq1: Résolution et distance

s = moyenne pondérée par h de la grandeur physique p

' D

. k

k 

 

D

(48)

Cq1: Résolution et distance

(49)

Cq2: « Effet de volume partiel »

1 1

3/4 p(i)

i i

s(i)

1 3/4

p(i)

i i

s(i)

h(i) 1/2

1/4 i

1/4

Approche intuitive, aspect qualitatif :

(50)

C LMH C e i

h

^k ⁱ

2 ln . 2 )

(

²^.²



^



h(i)

 



^





 



 k

i k k

C e k

h ( ) 1

Surface

²^.²



 



 



^











2 /

2 / k k

A h(k) .

A k) (0 h(k).p 0)

s(i

^e

e

Approche intuitive, si e/2 > LMH :

Cq2: « Effet de volume partiel »

2 e 2

 e

e 2

 e



















¹

2 / k k

A h(k) .

A k) (i h(k).p s(i)

e

2 e 2

 e

Le centre de l’image est transmis

Les bords de l’image sont sous-estimés

98% de l’intégrale d’une gaussienne se trouve entre

± LMH :

p(i) A

A

1 )

( 





 LMH

LMH k

k

h

(51)

C LMH C e i

h

^k ⁱ

2 ln . 2 )

(

²^.²



^



h(i)

 



^





 



 k

i k k

C e k

h ( ) 1

Surface

²^.²



 



 











2 /

2 / k k

A h(k) A.

k) (0 h(k).p 0)

s(i

^e

e

Cq2: « Effet de volume partiel »

2 e 2

 e e

2 e 2

 e

Approche intuitive, si e/2 < LMH :

Le centre de l’image est sous- estimé par un facteur CR : p(i)

A

 



 2 /

2 / k

e

h(k)

e

CR

e LMH CR  

2 si

1

(52)

Cq2: « Effet de volume partiel »

Généralisation :

C LMH C e i

h

^k ⁱ

2 ln . 2 )

(

²^.²



^



h(i)

2 e 2

 e

e p(i) A

s(0) est le produit du signal A par un Coef-

ficient de Restauration CR:

 



 e/2

e/2 k

h(k) CR(e)

CR

e/LMH JR Galt et al. «Effects of myocardial wall thichness on SPECT quantification». IEEE TMI 1990;9



(53)

Cq3: Coefficient de Recouvrement

e/LMH

75 %

TEP 1 2 4 6 8 (mm)

CZT 3 6 9 12 (mm)

SPECT Anger 7 15 22 30 (mm)

Vraie fixation 2,2 1,3 1,1 1 (x signal)

92 %

45 %

CR

(54)

SUV

_max

= 12,2 SUV

_max

= 2,95x1,1=3,2 SUV

_max

= 0,59x1,3=0,8



(55)

• Activité sous-estimée si e < 2.LMH

• 75 % de l’activité est mesurée si e = LMH

• Approximation linéaire possible si e < LMH

• Rappel : LMH  4-6 mm en PET-CZT et 15 mm en SPECT

• Rien à voir avec le théorème d’échantillonnage !

• échantillonnage sans perte  dimension du pixel d  LMH/2

• Artefact exploitable

• mouvements <résolution (cf. épaississement systolique)

• Pour limiter cet artefact : déconvolution

Cq2: « Effet de volume partiel »

(56)

• corriger l’EVP en améliorerant la résolution

• Via un coef. de restauration = activité mesurée/vraie

• Niveau pixel(s) ou ROI(s), dans les coupes ou les projections

• Par déconvolution (filtres de Metz, Wiener)

 en 2D ou après reconstruction, sous hypothèse d’invariance

 En 3D, dans l’espace des projections, en prenant en compte la distance au collimateur (principe fréquence-distance)

• Par modélisation de la PSF dans l’opérateur de Radon (projection/rétroprojection)

• corriger les artefacts de dilution & recirculation d’un bolus

Cq3: Déconvolution, pour…

K Erlandsson, I Buvat et al. Phys Med Biol 2012 (57) – J Yang et al. IEEE TNI 1996 (43) -

(57)

Cq3: Déconvolution (planaire)

h

Dans une image de projection, la distance entre la source et

le détecteur où se forme l’image est inconnue. On néglige

donc la dépendance en D de la réponse impulsionnelle.

(58)

TF d’une gaussienne

0 )

ˆ (  

h  

) ˆ (

1  h

1 

) ˆ (

1  h

Réponse impulsionnelle supposée invariante

( 

2 2

2

ˆ ( )

)

( ^. ^ ^

 



 

  

 k e ^k ⁱ h e ^k i

h

 

) ˆ (  h

) (i h

k  2 LMH ln 2

(59)

Filtre de déconvolution de Metz

hˆ

pˆ sˆ  hˆ . pˆ

hˆ

1 pˆ

) ˆ (

1  h

n=1

n=15 n=4

[ ]

) ' , ˆ (

) ' , ˆ ( 1 1

) ' , ˆ (

2 



 

 h

h m

 n

 

King et al. JNM 1983;24 et Metz et al. JNM 73;15

774 . 7 ) ln(

. 834 ,

0 

 C

n

1 

) (  m 

Pb : dépend de la d(source, collimateur) hˆ

(60)

Déconvolution en TEMP et TEP

2 techniques de déconvolution en TE :

• Le principe fréquence-distance :

•

Identification de la distance de la source sur la TF du sinogramme et filtrage de Metz

• La modélisation de la réponse impulsionnelle du tomographe dans les opérateurs de

retro/projection. C’est la technique la plus utilisée de nos jours.

W Xia IEEE TMI 1995;14 - Hawkins. IEEE TMI 1988;7 - Lewitt Proc SPIE 1989; 1092 - Glick IEEE TMI 1994;13 - Kohli Phys Med Biol 1998;43.

TF ₂

même d

Metz

d (

(61)

Relation fréquence-distance

i j

s t

q

x y

s t

q t

 T

q

s

(  ^θ ^T.cos(φ ^θ)

s  

(  ^θ

s

(  ^{T.sin( φ} ^- ^θ) ^t

dθ θ ds

s'   

dθ t ds 

dθ

ds s

q

t

(62)

Relation fréquence-distance

s q



t

n TF2D

Traces dans le sinogramme des points situés à t mm

du détecteur lors de l’acquisition tomographique

Traces dans la TF du sinogramme des points situés à t mm

du détecteur lors de l’acquisition tomographique

. ω -t n 



t

(63)

Relation fréquence-distance

i j

s t

q

 n

s q

TF ₂

(  ⁿ

p ˆ _c  ,

(  ^s, ^f(i, ^j). ^dt

p _c ^q ^ 

sources à t mm de l’axe s

signal  sur la droite de pente -t dans la TF2 du sinogramme

t

ω

.

-t

n 

(64)

Déconvolution en TEMP par RFD

 

 



 

 4 . ln 2

₂ ²

exp 2 . ln 2 )

( i

LMH i LMH

h

t t

t

 hˆ

t

pˆ pˆ

_c

 hˆ

_t

. pˆ

hˆ t

1 pˆ

(  ⁿ ^h ^p (  ⁿ

p _n

c , ˆ t ( ). ˆ ,

ˆ   

 

 

(  ^p (  ⁿ

h n

p _c

t n

ˆ , . ) ˆ (

, 1

ˆ 

 

 



 n

W Xia et al, IEEE TMI 1995;14-Hawkins et al. IEEE TMI 1988;7-Lewitt et al. Proc SPIE 1989; 1092-Glick et al. IEEE TMI 1994;13.



(65)

Déconvolution directe en TEMP

m i

j

Bin k : + R _i,j,k,m .f _ij

= R _i,j,k,m % du pixel (i,j)

f _ij

(66)

Modélisation gaussienne en TEMP

m i

j

Bin k : +S.R _i,j,k,m .f _ij

Bin k+1 : +S.R _i,j,k,m .f _ij

= R _i,j,k,m % du pixel (i,j)

D

G(d) d



D

Tsui et Floyd, IEEE Trans Nucl Sci 1988;35 – A Formiconi, Phys Med Biol 1989;34 – Penney, IEEE TNS 1990;37 - McCarthy, IEEE TMI 1991;10 – Zeng, IEEE TNS 1991;38-1992;39 – Bechman, IEEE TNS 1993; 40



(67)

Exemple de déconvolution

Applications cliniques: TEP, restore ^® , evolution for bone ^® …

Kohli Phys Med Biol 1998;43.

(68)

Généralisation de la méthode

La modélisation de la réponse impulsionnelle est valable pour tous les algorithmes de reconstruction tomographique

utilisant des fonctions de projection et de rétroprojection, c’est-à-dire pour:

- les méthodes itératives (ART, MLEM, OSEM, GC…) - mais aussi la rétroprojection filtrée

(seule l’inversion directe par la formule de Radon ne peut pas en bénéficier)

En revanche, l’inversion de la transformée de Radon (directe ou par rétroprojection filtrée) se plie mal à une correction des artefacts d’atténuation, ce qui explique, avec

leur validité en cas de projections tronquées, le

développement d’OSEM en SPECT et PET.

(69)

CONVOLUTION

• Image = convolution de la distribution de radioactivité par la réponse impulsionnelle

• = moyenne pondérée d’une activité par les activités voisines

• = atténuation (par x) des fréquence spatiales les plus hautes

• Effet de volume partiel =

• sous estimation de l’activité si dimension anatomique < 2.LMH

• Environ –25% si e=LMH; environ –55% si e=LMH/2.

• Déconvolution

• En / par la réponse en fréquence puis filtre passe-bas (Metz)

• En / par la réponse en fréquence dans la TF2 du sinogramme

• En modélisant la projection gaussienne dans le projecteur

POINT D’ETAPE 3

(70)

Statistique de Poisson Rapport signal sur bruit Filtrages Linéaires

Filtrages non linéaires

 BRUIT & FILTRAGES

(71)

Désintégration radioactive

• N = Nombre de noyaux radioactifs

•  = proba. qu’un isotope se désintègre/sec

•  =(-dN/N)/dt

donc en moyenne N..Dt désintégrations en Dt

• P(C _Dt =n) : probabilité de mesurer n

désintégrations dans un intervalle de temps Dt

g

Dt n photons g



C

(72)

Désintégration radioactive

• Sans mémoire (désintégrations indépendantes)

• les désintégrations qui ont eu lieu avant l’instant t n’influent pas sur celles qui auront lieu après l’instant t.

• Stationnaire la probabilité d’une désintégration entre t et t+h ne dépend que de h (et pas de t)

• Rare : Si Dt  0, alors

• P(C _Dt = 1)  N.Dt

• P(C _Dt = 0)  1-N.Dt

• P(C _Dt >1)  0

P(C _Dt =n)

n=1

n>1

n=0

e Dt

(73)

Statistique de Poisson (2)

http://pbil.univ-lyon1.fr/R/pdf/AvnerDea_mer.pdf, pages 16 à 22

cg.ensmp.fr/bibliotheque/1965/MATHERON/Cours/DOC_00287/MATHERON_Cours_00287.pdf, pages 18-22

Phénomène rare, sans mémoire et stationnaire

( 

) !

( n

t e N

n C

P

n t

N t

 D

 ^ ^D

D

 

 Radioactivité = Processus POISSONNIEN

(74)

Statistique de Poisson (3)

C C

C E

B S

C t

N E





 D







 ²

NDt=1

NDt=4

NDt=10

nombre moyen de désintégration pendant Dt = .N. Dt

n

P(C _Dt =n)

C

( 

) !

( n

t e N

n C

P

n t

N t

 D

 ^ ^D

D

 

B C S 





C

(75)

Statistique de Poisson (4)

g

=10 n

n’ n n’

C C

Un comptage RA est un

« tirage au sort » suivant P

n

% 3 , 68

] ,

[









p

C C

C

( 

) !

( n

t e N

n C

P

n t

N t

 D

 ^ ^D

D

 

P(C _Dt =n)

(76)

12 cm/min 60 cm/min 12 cm/min 60 cm/min

B S B S

. 2

5 



 5 C



(77)

ECHANTILLONNAGE pratique (2)

• Champ d’une gamma-caméra : 40x53 cm

• LMH en mode planaire = 7 mm

• 530 / 3.5 = 151 pixels / côté  256 pixels

• Si 512 pixels (pixels découpés en 4) :

• Résolution inchangée

• C divisé par 4  S/B divisé par 2



(78)

ECHANTILLONNAGE pratique (2)

• Champ d’une gamma-caméra : 40x53 cm

• LMH en mode planaire = 7 mm

• 530 / 3.5 = 151 pixels / côté  256 pixels

• Si 512 pixels (pixels découpés en 4) :

• Résolution inchangée

• C divisé par 4  S/B divisé par 2

• LMH en mode tomographique = 18 mm

• 530 / 9 = 59 pixels / côté  64 pixels

• Si 128 pixels (pixels découpés en 4) :

• Résolution inchangée

• C divisé par 4  S/B (fortement) diminué



(79)

ECHANTILLONNAGE pratique (2)

256 512 1024

256 1024



(80)

TAUX DE COMPTAGE

• Désintégration = rare, sans mémoire, stationnaire

• Donc statistique de Poisson de moyenne = ²

• Donc S/B =

• Conséquence : optimiser le taux de comptage

• Activité injectée suffisante, pas de point d’injection (masqué)

• Mais surtout : temps de pose suffisant

• Taille des pixels lors de la numérisation

• d = LMH/2

• Si d < LMH /2, on dégrade le rapport S/B sans gain en résolution.

• Si d > LMH /2 on dégrade la résolution et on aggrave les effets de volume partiel.

SCINTIGRAPHIQUES TRAITEMENT DES IMAGES