MATRICES ET TRAITEMENT DE L’IMAGE.
I. Numériser une image.
On a extrait l’image ci-contre d’une photographie d’Alan Turing disputant une course de 3 miles en 1946. Cette photographie a été reproduite sur un site web consacré à l’un des « inventeurs » de l’informatique dont l’adresse est donnée ci-dessous. Elle a donc été
« numérisée », c’est-à-dire transformée en une suite de 0 et de 1. Le rectangle est
décomposé en un certain nombre de petits carrés, et à chacun de ces carrés a été attribué un nombre qui représente une nuance de gris. La finesse de la décomposition (le nombre de carrés) est la définition de l’image. La définition de cette image particulière n’est pas bonne : on devine les pixels(mot fabriqué avec les débuts des mots anglais picture
element). Toute image n’utilisant que le noir et le blanc peut ainsi être représentée par un tableau contenant autant de cases que l’image contient de pixels, chacune de ces cases étant occupée par 0 ou 1. L’image est donc représentée par une matrice dont tous les éléments sont 0 ou 1.
II. Modifier une image.
A tout point du plan, de coordonnées (x;y) données dans un repère (que nous choisirons orthonormal pour que l’action sur les figures soit mieux visible), on peut associer un autre point, de coordonnées (x′;y′) définies par l’action d’une matrice carrée
a b c d sur
x y par
x′ y′ =
a b c d
x y . 1. Exemple 1 : Si A=
−1 0 0 1 .
a. Exprimer x′ et y′ en fonction de x et y.
b. A quelle transformation correspond l’action de la matrice A sur
x y ? 2. Exemple 2.
Les images suivantes fournissent sur une vue de la Bièvre aux Gobelins extraite d’une carte postale
d’époque, des exemples d’actions d’une matrice sur une image. Pour chaque image, déterminer la matrice A correspondante.
3. Exemple 3 : faire tourner une image.
La photographie 1 ci-dessous présente un léger défaut : la ligne d’horizon est un peu inclinée. Un logiciel de retouche d’images permet de faire pivoter l’image. On obtient alors la photographie 2.
On s’intéresse à la façon dont cette transformation est réalisée d’un point de vue analytique.
On considère un repère orthonormal
(
O; Åi; Åj)
du plan tel que l’axe des abscisses représente la ligne d’horizon souhaitée.On note θ l’angle entre la ligne d’horizon de la photo initiale et l’axe des abscisses du repère.
On définit les vecteurs Äi′ et Äj′ de norme 1 tels que
(
Åi;Äi′)
=(
Åj;Äj′)
=θ.La transformation cherchée, notée T, envoie le point M(x;y) sur le point M′(x′;y′) tel que OM′=xÄ Äi′ +yÄj′ .
a. Déterminer les coordonnées des vecteurs Äi′
et Äj′ .
b. Exprimer x′ et y′ en fonction de x et y.
c. En déduire la matrice R telle que
x′ y′ =R
x y . d. Si θ= π
120, quelles seront les coordonnées, à 10‐2 près, du point M′ image du point
M(2;2) ?
e. On pose R′=
cosθ sinθ
-sinθ cosθ . Calculer RR′ et R′R. Que peut-on en déduire ? f. Si θ= π
60, quelles sont les coordonnées, à 10‐2 près, du point S dont l’image est le point S′(1;3) ?
