ECG-1 ) Classe préparatoire ECG-1 Lycée Paul Cézanne 2021/2022

ECG-1 )

Mathématiques appliquées DM n° 2 À rendre le mercredi 10 novembre 2021

■ Consignes

Il est demandé, comme pour les devoirs surveillés de faire très attention à laprésentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de larédaction, laclarté et la précisiondes raisonnements. Par ailleurs, il est demandéexplicitementaux étudiants :

Ï d’ajouter unemarge supplémentairede 3 cm sur ladroitede leurs copies ;

Ï detirer un trait horizontalsurtoute la largeurde la page entreTOUTESles questions ; Ï denuméroter de manière exhaustivetoutes les copies et intercalaires ;

Ï d’encadrerles résultats de leurs calculs ou raisonnements.

Pour terminer, on rappelle qu’un texte mathématique est presque un texte comme les autres. Il doit essentiellement être composé de phrases(sujet, verbe, complément). Un tel texte contient inévitablement des formules mathématiques.

Mais un texte mathématique ne peut enaucun casse résumer à un empilement de formules.

■ Exercice 1 – Sommes usuelles

Remarque –Cet exercice est une question de cours et la valeur de ces sommes est à connaître par coeur.

Pour toutn∈N^∗on note :

Un=

n

X

k=1

1 Sn=

n

X

k=1

k Tn=

n

X

k=1

k²

Le but de l’exercice est de déterminer une expression factorisée des trois sommes précédentes.

1. Donner la valeur de Unen fonction denen justifiant rapidement (mais de manière convaincante) votre réponse.

2. On souhaite démontrer que pour toutn∈N^∗on a :

Sn=n(n+1) 2 a) Première méthode : par récurrence.

Le raisonnement par récurrence pour répondre à cette question vous est donné. Votre seul travail est de le comprendre et de bien assimiler comment rédiger proprement un raisonnement par récurrence.

On souhaite démontrer par récurrence surn∈N^∗la propriété suivante : P(n)=« Sn=n(n+1)

2 »

• Initialisation pour n = 1 D’une part on a :

S1déf

=

1

X

k=1

k=1 et d’autre part on a :

1(1+1)

2 =1

On a donc :

S1=1(1+1) 2 ce qui prouve que la propriétéP(1) est vraie.

• Hérédité

On veut démontrer que pour toutn∈N^∗,P(n) impliqueP(n+1). Pour cela on suppose queP(n) est vraie pour un entiern∈N^∗quelconque et on démontre queP(n+1) est également vraie.

Concrètement, on suppose que S_n=n(n+1)

2 et on veut démontrer que S_n+1=(n+1)(n+2)

2 .

Pour cela, écrivons :

Sn+1 déf

=

n+1

X

k=1

k =

à _n X

k=1

k

!

+(n+1)

| {z }

on isole le dernier terme

=

µn(n+1) 2

¶

| {z }

d’après l’hypothèse de récurrence

+ (n+1)

DM n° 2 Page 1/3 ECG1 –Mathématiques appliquées

• Remarque –Ce que l’on appelle « hypothèse de récurrence » est tout simplement la propriétéP(n), qui est suppo- sée vraie dans cette partie du raisonnement.

On poursuit le calcul :

Sn+1=n(n+1)

2 +(n+1)=n(n+1)

2 +2(n+1)

2 =n(n+1)+2(n+1)

2 =(n+1)(n+2) 2 On a donc :

S_n+1=(n+1)(n+2) 2

ce qui est exactement la propriétéP(n+1). La propriétéP est donc héréditaire.

• Conclusion

La propriétéP est vraie pourn =1 et elle est héréditaire surN^∗. D’après le théorème (ou « principe ») de récurrence elle est vraie pour tout entiern∈N^∗.

b) Deuxième méthode

Répondre à la question à l’aide de la méthode vue en cours (attribuée à Gauss enfant).

3. Démontrer par récurrence surn∈N^∗que Tn=n(n+1)(2n+1)

6 .

Indication –Utiliser le raisonnement par récurrence de la question2.acomme modèle.

■ Exercice 2 – Un premier exercice d’application

On souhaite obtenir une forme simplifiée et factorisée de la somme suivante : Rn=

n

X

k=1

(k−1)(k+2) 1. Développer et ordonner (k−1)(k+2).

2. En déduire une expression de Rnen fonction des trois sommes Un, Snet Tnde l’exercice1.

3. En déduire l’expression explicite de Rnen fonction densuivante : Rn=n(n²+3n−4)

3

4. En utilisant le discriminant, déterminer les racines puis la factorisation du polynômex²+3x−4.

5. En déduire une expression factorisée de Rn.

■ Rappel de cours – Formule du binôme et coefficients binomiaux

Dans certains exercices de ce DM vous allez avoir besoin de développer (1+x)ⁿpour différentes valeurs den. Cela peut se faire facilement à l’aide de la formule du binôme de Newton :

(x+1)ⁿ=

n

X

k=0

µn k

¶ x^k

Les coefficients binomiaux µn

k

¶

s’obtiennent (par exemple) à l’aide du triangle de Pascal : n=0 1

n=1 1 1 n=2 1 2 1 n=3 1 3 3 1

n=4 1 4 6 4 1

n=5 1 5 10 10 5 1 On en déduit (par exemple) les développements suivants :

(x+1)³=x³+3x²+3x+1

(x+1)⁵=x⁵+5x⁴+10x³+10x²+5x+1

DM n° 2 Page 2/3 ECG1 –Mathématiques appliquées

■ Exercice 3 – Somme des cubes d’entiers

Le but de cet exercice est de déterminer une expression factorisée de la somme suivante : Cn=

n

X

k=1

k³=1³+2³+3³+ · · · +n³ 1. Déterminer un polynôme de la forme P(x)=ax⁴+bx³+c x²+d xtel que :

∀x∈R, P(x+1)−P(x)=x³

Indication 1 –On pourra développer et ordonnerP(x+1)−P(x)et procéder par identification avec le polynôme x³. Cela conduit à un système de 4 équations d’inconnues a, b, c et d qu’il suffira de résoudre.

2. À l’aide d’une simplification télescopique, en déduire la valeur factorisée suivante de la somme Cn: Cn=

µn(n+1) 2

¶2

■ Exercice 4 – Un second exercice d’application

On souhaite obtenir une forme simplifiée et factorisée de la somme suivante : Qn=

n

X

k=1

k(k+1)(k+2) 1. Développer et ordonnerk(k+1)(k+2).

2. En déduire une expression de Qnen fonction des sommes Snet Tnde l’exercice1et de la somme Cnde l’exercice3.

3. En déduire l’expression explicite de Qnen fonction densuivante : Qn=n(n+1)(n²+5n+6)

4

4. En utilisant le discriminant, déterminer les racines puis la factorisation du polynômex²+5x+6.

5. En déduire une expression factorisée de Q_n.

Fin de l’énoncé

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DM n° 2 Page 3/3 ECG1 –Mathématiques appliquées