E X P O S E XI
C O M P A R A I S O N A V E C L A COHOMOLOGIE CLASSIQUE : CAS D'UN SCHEMA LISSE
par M. ARTIN
Sommaire : i. Introduction
2. Existence de sections hyperplanes assez g~n~rales 3. Construction des bons voisinages
4. Le th~or~me de comparaison,
I. Introduction.
Dans le n ° 4 nous d~montrerons que la cohomologie ~tale g valeurs dans un faisceau localement constant de torsion co~naide avec la cohomologie classique pour un schema X lisse sur Spec ¢. La d~monstration, qui est essentiellement celle donn~e dans [i], est ~l~mentaire ~ partir du th~or~me de Grauert rappel~ plus has (4.3 (iii)), qui dit que chaque rev~tement fini de X(~) provient d'un rev~tement ~tale de X ; c'est pourquoi on la donne ici, bien qu'on prouvera un r~sultat plus complet plus tard, en utilisant le th~or~me de r~solution des singularit~s de Hironaka [3] (~). De plus, les bons voisinages construits dans la section 3 pourraient @tre utiles dans
(~) Notons d'ailleurs que la r~solution des singularit~s de Hironaka permet
~galement de donner une d~monstration tr~s simple du r~sultat de Grauert, et ~ ce titre peut ~tre consid~r~e corm~e ~tant de toutes fa~ons g la base des th~or~mes de comparaison. Voir ~ ce sujet l'expos~ de Mme M. Raynaud dans SGA I XII (North Holland Pub. Cie).
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- 2 - X I
d'autres situations.
Notons qu'il n'est pas vrai que la cohomologie ~tale et la coho- mologie classique coTncident pour les faisceaux qui ne sont pas de torsion.
H l ( X e t , ~ ) = 0 pour tout schema normal X (IX 3.6 (ii)), Par exemple, o n a
mais la cohomologie classique n'est pas n~cessairement nulle.
2. Existence de sections hyperplanes assez g~n~rales,
Le r~sultat suivant est classique mais on manque de r~f~rence (en attendant EGA V) :
Th~or~me 2,1. Soit k un corps et V c ~ un schema al$~brique projectif pure- ment de dimension r. Soit V' le sousTsch~ma ouvert des points de V lisses sur S p e c k et soit P u n point rationnel d e a n . Alors :
(i) Un sous-espace lin~aire "assez $~n~ral" L de dimension donn~e d d__ee~ n cqupe V transversalement en chaque point de L N V'.
(ii) Soit {H I ... Hs} (s ~ r) un syst~me d'hyperplane de degr~ d e 2 passant par P e t soit Y = HIN o.. NH s, S_~i {H 1 ... Hs} est assez g~n~ral, alors Y
V transversalement en chaque .p..oint de Y N V'.
La locution "pour un sous-espace lin~aire assez g~n~ral" veut dire qu'il existe un sous-ensemble ouvert dense U de la grassmannienne qui param~trise les sous-espaces lin~aires de dimension d, tel que l'assertion envisag~e sur L soit vraie chaque fois que le param~tre de L e s t dans U.
Cela n'implique donc pas qu'il existe un tel L (d~fini sur k), si k n'est pas d~fini. De m~me, les hyperplans de degr~ d passant par P sont param~-
- 3 - X l
par un espace p r o j e c t i f ]pN, et la l o c u t i o n "pour {HI, .... Hs] assez tris6s
g@n6ral" v e u t dire qu'il existe un s o u s - e n s e m b l e ouvert dense U de (]pN)S tel que l ' a s s e r t i o n e n v i s a g 6 e soit vraie chaque fois que le p a ~ a m 6 t r e de (H I ... H s) est dans U.
D 6 m o n s t r a t i o n (~) : Par r 6 c u r r e n c e on est ramen6 i m m 6 d i a t e m e n t au cas o~ L e s t hyperplan. Soit (V$) un r e c o u v r e m e n t fini ouvert de V'. Si l ' a s s e r t i o n (i) est v r a i e quand on remplace le symbole V' par V' quel que ~) soit ~, c'est aussi vrai pour V', parce que l ' i n t e r s e c t i o n d'un hombre fini de s o u s - e n s e m b l e ouverts denses est @ g a l e m e n t ouvert et dense. On peut done r e m p l a c e r la s i t u a t i o n par un sch6ma a l g 6 b r i q u e affine, disons
V C ] E k = S p e c k [Xl,...,Xn]. L ' h y p e r p l a n L sera l ' e n s e m b l e des z~ros d'une 6 q u a t i o n lin@aire
n
%(X) = a + ~-- a.x.
o i i
i=l
R a p p e l o n s qu'un sch6ma lisse est l o c a l e m e n t i n t e r s e c t i o n compl~te.
On p e u t done r e m p l a c e r V' par un s o u s - e n s e m b l e ouvert de points de V tel qu'il existe des polynOmes fl(x), .... fn_r(X) qui s ' a n n u l e n t sur V e t des indices I ~ j~
~f__! I
~xjvl
soit inversible. D i s o n s j~
les ~ q u a t i o n s
n (~ = i, .... n-r) tels que le d 6 t e r m i n a n t
(i,~ = i ... n-r)
= ~ (~ = i, .... n-r). Alors o n p e u t r6soudre
n-r
= ~ ~ f .
• 1
YJ ~ = I el ~x.
J
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- 4 - X I
pour c.l comme f o n c t i o n r a t i o n n e l l e des v a r i a b l e s xi, yj
(i = I ... n-r) ; j = I ... n), et ces fonctions c.(x,y) sont d4finies I
en chaque p o i n t de V'
Or dire que L coupe V t r a n s v e r s a l e m e n t en un point Q de V' revient g dire que la v a l e u r de la m a t r i c e
5fl Dfl
5x I ... Dx n
~f Df
n-r n-r
~x I ~i n
a I ... a n
en Q est de rang n-r+l. D o n c pour que L coupe V t r a n s v e r s a l e m e n t en chaque point de V' il faut et suffit que le syst~me des r+l ~ q u a t i o n s
n - r
a.j = 7 c.l (x,a) _~fi
i=l ~x.
J
(j = n-r+l ... n)
n
a ° + > a.x.
i i
i=l
= 0
n'ait aucune s o l u t i o n sur V'. Une telle c o n d i t i o n est ~ v i d e ~ e n t construc- tible en (a) : Soit X = V'XA, o~ A est l'espace affine de c o o r d o n n ~ e s ao,...,an, et soit y c X le s o u s - e n s e m b l e ferm~ des solutions de ¢es ~qua- tions. La c o n d i t i o n est que la fibre de Y / A soit vide, ce qui est bien une
- 5 - X I
c o n d i t i o n constructible (EGA IV 9.5.1). II suffit donc de v ~ r i f i e r que la fibre au-dessus du p o i n t g ~ n ~ r i q u e de A est vide, ee qui se voit imm~dia- tement sur la forme des ~quations. Ceci ach~ve la d ~ m o n s t r a t i o n de (i).
(ii) : C o n s i d ~ r o n s l ' a p p l i c a t i o n r a t i o n n e l l e ~ n > IP N donn~e par le sys- t~me lin~aire des h y p e r p l a n s de degr~ d (d ~ 2) p a s s a n t par P. II est bien connu (et on le v~rifie ais~ment) que c'est u n " ~ c l a t e m e n t " d e P, donc donne une i m m e r s i o n l o c a l e m e n t ferm~e
ip n ip N
f ; - { p } >
Soit V" = V' ([P} • V'), ~" = F(V") et soit n. l ' h y p e r p l a n de]P N corres-
I
p o n d a n t aux h y p e r p l a n s H. (i = 1 .... ,s). Alors V" est i s o m o r p h e ~ V", et I
d'apr~s la d ~ f i n i t i o n de f, dire que Y coupe V" t r a n s v e r s a l e m e n t r e v i e n t dire que L I • ... [~ L s coupe ~ " transversalement. E n p o s a n t V = a d h e r e n c e de ~", o n est ramen~ ~ l ' a s s e r t i o n (i) pour ~, qui implique (ii) avec V"
au lieu de V'. Ii reste donc ~ consid~rer le point P, si c'est un p o i n t lisse de V. Mais il est ~ v i d e n t que si {H I .... ,H s} est assez g~n~ral et P est lisse sur V, alors Y coupe V t r a n s v e r s a l e m e n t en P, d'o~ le r~sultat.
3. C o n s t r u c t i o n des bons voisinages.
D ~ f i n i t i o n 3.1. O n appelle f i b r a t i o n ~ l ~ m e n t a i r e un m o r p h i s m e de schemas f : X > S qui p e u t ~tre p l o n g ~ dans u n d i q ~ r e m m e c o m m u t a t i f
x .i > ~ i ; y
6 8
- 6 - X I
s a t i s f a i s a n t aux c o n d i t i o n s s u i v a n t e s :
(i) j e s t u n e i m m e r s i o n o u v e r t e d e n s e d a n s c h a q u e fibre, e_~t X = X - Y.
(ii) e s t l i s s e et ~ r o j e c t i f , ~ f i b r e s $ 4 0 m ~ t r i q u e s i r r ~ d u c t i b l e s e t de d i m e n s i o n 1 .
(iii) g e s t u n r e v @ t e m e n t ~ t a l e , e t c h a q u e f i b r e de g e s t n o n - v i d e .
O n v ~ r i f i e f a c i l e m e n t q u ' u n tel p l o n g e m e n t de X e s t u n i q u e s'il e x i s t e , ~ i s o m o r p h i s m e c a n o n i q u e pr~s.
D ~ f i n i t i o n 3.2. O n a p p e l l e b o n v o i s i n a g e r e l a t i f ~ S u n S - s c h e m a X tel q u ' i l e x i s t e d e s S - s c h 6 m a s
X = X n ... X ° = S
e t des f i b r a t i o n s 6 1 ~ m e n t a i r e s f. : X. .> X i _ I , i = I .... ,n.
i I
P r o p o s i t i o n 3.3. (~) S o i t k u n c o r p s a l g ~ b r i q u e m e n t clos, X / S p e c k u n s c h e m a lisse, e t x E X u n p o i n t r a t i o n nel. II e x i s t e u n o u v e r t de X c o n t e n a n t x q u i e s t u n b o n voisina$.@ ( r e l a t i f ~ S p e c k ) .
D ~ m o n s t r a t i o n . P r e n o n s X i r r ~ d u c t i b l e . P a r r ~ c u r r e n c e sur d i m X = l il s u f f i t de t r o u v e r u n v o i s i n a g e U de x d a n s X et u n e f i b r a t i o n ~ l ~ m e n t a i r e f : U > V, a v e c V l i s s e e t de d i m e n s i o n n-l. E n e f f e t , il e x i s t e r a u n v o i s i n a g e V' de v = f(x) qui e s t u n b o n v o i s i n a g e , et o n p o u r r a p r e n d r e U' = U N V' c o m m e b o n v o i s i n a g e de x.
O n p e u t s u p p o s e r X c r a f f i n e . S o i t X l ' a d h ~ r e n c e de X d a n s ~ r
o
S o i t X le n o r m a l i s 6 de X et Y = X - X, a v e c l a s t r u c t u r e i n d u i t e r ~ d u i t e . o
(~'~) Ce r ~ s u l t a t s ' ~ t e n d sans d i f f i c u l t ~ ~ u n e a s s e r t i o n s e m i - l o c a l e .
7 - XI
Soit de plus S ~ X le sous-ensemble fermd des points singuliers. On a S C Y e t
d i m X = d i m X = n, d i m Y = n-l, dim S ~ n-2.
Plongeons X dans un espace p r o j e c t i f ~ N , au m o y e n d'un faisceau inversible L qui soit de la forme M ® r avec M tr~s ample e t r ~ 2. II existe alors des hyperplans H I , . . . , H n _ 1 de ~ N , o~ H.I est l'ensemble des z~ros de
N
- - ai~ x
~ = 0
= 0
qui c o n t i e n n e n t x et tels que l ' i n t e r s e c t i o n L = H I n . . . ~ Hn_ 1 soit de d i m e n s i o n N-n+l et coupe X et Y t r a n s v e r s a l e m e n t (2.1). L ' i n t e r s e c t i o n
~ L e s t une courbe lisse et connexe (cela r~sulte du th~or~me de Bertini), et Y ~ L e s t de dimension O. Choisissons de plus un autre h y p e r p l a n
N
H : ~ x = 0
o ao~
~ = 0
coupe X ~ L t r a n s v e r s a l e m e n t et H ~ Y n L = ~ .
O
> ] p n - I obtenue en " i n t r o d u i s a n t tel que H
O
Consid~rons la p r o j e c t i o n p N les coordonn~es p r o j e c t i v e s "
N
Yi = ~ a. x
~ = O I
C'est une a p p l i c a t i o n r a t i o n n e l l e d~finie en dehors du centre de p r o j e c t i o n C = H n ... n Hn_ I . Soit E : P' > N l ' @ c l a t e m e n t de C, tel qu'on aiL
]pN ~ C p,
~ ipn-I ~
o
u n diagramme
70
~ 8 - X I
o5 U est u n morphisme. Soit X' c p' l'image inverse "propre" de X, c'est-g- dire, l ' a d h 4 r e n c e de C - I ( x - ( x n c)). Puisque par h y p o t h ~ s e C coupe X trans- versalement, le m o r p h i s m e X ' - > X est u n 4 c l a t e m e n t de l'ensemble fini ~ n c.
s o i e n t x' = x - x N c, qui s ' i d e n t i f i e aussi ~ un s o u s - s c h 4 m a ouvert de X', et Y' = X' - X' le s o u s - s c h 4 m a ferm4 avec la structure induite r4duite. On a un diagramme ~ de m o r p h i s m e s
j i
X' - ~ X' < Y'
~ n - I
et je dis qu'il existe un v o i s i n a g e V de v = f'(x) tel que la r e s t r i c t i o n de D ~ V satisfasse aux conditions (i), (ii), (iii) de (3,1)~ donc que f'IV soit une fibration 414mentaire. Cela a c h e v e r a la d4monstration.
La condition (i) sera triviale. Pour (ii), notons que ~ N L e s t une courbe lisse par hypoth~se, et on voit i m m 4 d i a t e m e n t qu'on a un m o r - phisme biunivoque ~'-l(v) ~ X ~ L induit par ¢ . D o n c (~'-l(v))re d --> ~ N L est bijectif. Pour v 4 r i f i e r que ~' est lisse au-dessus d'un voisinage de v, il suffit par le lemme de H i r o n a k a (SGA 1 1 1 2.6 (~)) de v 4 r i f i e r qu'il est lisse au p o i n t g~n4rique de ~'-l(v). E n ce point, X' est isomorphe ~ X, et le m o r p h i s m e est lisse parce que L coupe X transversalement.
Ii reste ~ d 4 m o n t r e r que g' est 4tale dans un v o i s i n a g e de v (puisque Y est de d i m e n s i o n n-l, il est 4 v i d e n t que chaque fibre de g' est non-vide). On a Y' = e - I ( y ) ~ D 1 ~ . . , ~ D r, o~ ~ n c = [PI ... Pr } et D i est
(w) et E G A IV 5.12.10.
- 9 - X I
l ' ~ c l a t e m e n t de P. dans X . Chaque D. s J i d e n t i f i e ~ - l ( p . ) , et s'envoie
I i i
i s o m o r p h i q u e m e n t sur ~ n ~ l est d~finie en chaque point de Y, et le m o r p h i s m e induit sur Y n ' e s t autre que g'Ic-l(Y). II est ~tale a u - d e s s u s de v, car L coupe Y transversalement, donc g' est dtale au-dessus de v.
4. Le th~or~me de comparaison~
4.0. Soit X un schema l o c a l e m e n t de type fini sur Spec ¢ et consid~rons la topologie usuelle sur l'espace X(¢) des points r a t i o n n e l s de X. On va noter par Xcl le site des i s o m o r p h i s m e s locaux f : U ~--> X(¢), c'est-~-dire, des m o r p h i s m e s f d ' e s p a c e s topologiques ayant la p r o p r i ~ t ~ suivante :
Pour chaque x E U il existe un v o i s i n a g e ouvert U x tel que flU x est u n h o m ~ o m o r p h i s m e de U sur u n v o i s i n a g e ouvert de f(x).
x
Une famille { U > U} de m o r p h i s m e de Xcl est dit eouvrant si U est la r ~ u n i o n des images des U .
P u i s q u ' u n e i m m e r s i o n ouverte est un i s o m o r p h i s m e local, o n a un m o r p h i s m e (inclusion) de sites (IV )
(4.1) 6 : Xcl > X(¢) (~).
Or p o u r chaque i s o m o r p h i s m e local U ---> X(~) il existe d'apr~s la d ~ f i n i t i o n u n " r e c o u v r e m e n t " de U par des ouverts de X(¢), et on d~duit de ( ) que les topos associ~s aux deux sites sont ~ q u i v a l e n t s (par 6~). E n parti- culier o n p e u t r e m p l a c e r X(¢) par Xcl pour le calcul de la c o h o m o l o g i e usuelle.
Soit m a i n t e n a n t f : X' > X un m o r p h i s m e ~tale de schemas. Alors f(¢) : X'(¢) > X(¢) est un isomorphisme local. Cela r~sulte i m m ~ d i a t e m e n t
(~) Plus pr~cis~ment, l ' i n c l u s i o n de categories Ouv(X(¢)) ... > Xcl d~finit u n m o r p h i s m e de sites (4.1) en sens inverse.
72
- i 0 - X I
du crit~re j a c o b i e n (SGA 1 II 4.10) et du th~or~me des fonctions implicites.
Le f o n c t e u r X' i > X' (¢) donne donc un m o r p h i s m e de sites
(4.2) e : Xcl > X e t ,
o~ X est le site ~tale.
et
Rappelons les r~sultats suivants ( ~ ) :
Th~or~me 4.3. (i) X est connexe et non-vide si et seulement si X(¢) est connexe et non-vide.
(ii) Le foncteur C est p l e i n e m e n t fiddle.
(iii) ("Th~or~me de Grauert-Remmert"). Le foncteur C induit une ~ q u i v a l e n c e de la cat~gorie des rev@tements finis de X(¢), muni de sa to~@lo$ie h a b i t u e l l e d ' e s p a c e l o c a l e m e n t compact, a v e c l a cat~$orie des rev~tements ~tales de X.
Nous a c c e p t e r o n s (i) comme connu. Ii r~sulte par exemple de (GAGA) [4]. L ' a s s e r t i o n (ii) r~sulte facilement de (i). En effet, pour v ~ r i f i e r l ' a s s e r t i o n de surjectivit~ contenue dans (ii), soit ~ : X'(~) ----> X"(~) u n X(C)-morphisme. On peut supposer t o u s l e s schemas connexes et affines, donc s~par~s. Alors le graphe F de ~ est une composante connexe de X' XxX"(C), d'o~ r = Y(¢) pour une certaine composante connexe Y de X'XxX", par (i).
Alors Y est le graphe d'un m o r p h i s m e f : X' ---> X" qui induit ~, i.e. la p r o j e c t i o n Y > X' est un i s o m o r p h i s m e : en effet Y(¢) ----> X(C) est un isomorphisme, d'o~ on tire f a c i l e m e n t qu'il e n est de m@me de Y ----> X' (qui est ~tale, radieiel, s u r j e c t i f !)~ Pour (iii) tout revient d'apr~s (ii)
d ~ m o n t r e r que chaque r e v ~ t e m e n t fini de X(¢) est de la forme X'(¢) o~
( ~ ) Qui figurent dans l'expos~ cit~ en note de bas de page, p. 2.
- i i - X I
X' > X est 4tale.
Pour cela, on se r~duit i m m 6 d i a t e m e n t par descente (SGA i IX 4.7) au cas X connexe et normal. Le p r o b l ~ m e est local sur X (pour la topologie de Zariski), et on peut donc supposer X affine. Soient f : X > ~ n un mor- p h i s m e fini, et T' > X(~) un r e v @ t e m e n t fini connexe. O n constate imm4- d i a t e m e n t que le m o r p h i s m e compos4 ~' : T' > ~ n ( ¢ ) est un " r e v ~ t e m e n t s n a l y t i q u e " dans le sens de ([2] § 2, Def. 3). D'apr~s ([2] § 2, Satz 8) s ' ~ t e n d g u n " r e v ~ t e m e n t a n a l y t i q u e " ~ : T > ~ n ( ¢ ) , et il suffit de d4mon- trer que ~ est induite par un m o r p h i s m e de schemas f : Y _ _ _ > ~ n convenable, avec Y normal. Or le th4or~me fondamental ([2] § 13 Satz 42) affirme qu'il y a une structure canonique a n a l y t i q u e normale sur T telle que ~ induise un m o r p h i s m e d'espaces analytiques. Puisque alors ~ est un m o r p h i s m e fini, l'image directe du faisceau structural sur T e s t un faisceau ~ d ' a l g ~ b r e s
~ n .
a n a l y t i q u e s coh4rentes sur II r~sulte de G A G A [4] que qD~est le faisceau a n a l y t i q u e associ6 ~ un faisceau alg6brique A sur • n, et on prend Y = Spe 9 A.
Nous pouvons m a i n t e n a n t d ~ m o n t r e r le r4sultat suivant : T h ~ o r ~ m e 4.4. Soit X un sch6ma lisse sur Spec ¢.
(i) Ii y a une 6 q u i v a l e n c e entre la cat~$orie des faisceaux de torsion l o c a l e m e n t constants c o n s t r u c t i b l e s sur X e t et la cat~gorie des faisceaux de torsion l o c a l e m e n t constants, ~ fibres finies, sur Xcl, l ' 6 q u i v a l e n c e ~taDt donn~e par les foncteurs q u a s i - i n v e r s e s ~ e_~t ~
(ii) S o i t F u n faisceau de torsion l o c a l e m e n t constant, ~ fibres finies, sur Xcl , et notons aussi par F l e faisceau e~F induit sur Xet. Alors
R q c~F = 0 si q > 0
74
- 1 2 - X I
(iii) A v e c les n o t a t i o n s de (i), l__e m o r p h i s m e canonique
Hq(Xet,F) .... > Hq(XcI,F) est b i j e c t i f pour chaque q. En particulier,
Hq(Xet, ~ / u ) ~ > Hq(Xcl , ~ / n ) pour chaque q.
D@monstration. Pour (i), notons que les faiseeaux en q u e s t i o n sont ceux qui sont r e p r ~ s e n t a b l e s par des r e v ~ t e m e n t s ~tales de X (resp. p a r des rev@tements finis de X(¢)). Puisqu'il y a une ~ q u i v a l e n c e entre les cate- gories de ees rev@tements (4.3), l ' a s s e r t i o n (i) en r~sulte imm~diatement.
L ' i s o m o r p h i s m e de (iii) est consequence de (ii) et de la suite spectrale de L e r a y V 5.2 pour e . II reste donc g d ~ m o n t r e r (ii).
Or R q ¢~F est le faisceau associ~ au p r ~ f a i s c e a u ~ q F , o~
( ~ q F ) ( X ' ) = Hq(x~I,F) pour X' ----> X dtale. Pour d ~ m o n t r e r que R q ¢~F = 0 si q > O, o n doit done d ~ m o n t r e r le suivant :
Le1~e 4.5. Soit ~ E Hq(XcI,F) e__tt x E Xcl = X(¢). Ii existe un m o r p h i s m e ~tale X' ----> X dont l'image contient x et tel que l'imase de ~ dans Hq(x~I,F) soit nulle.
D ~ m o n s t r a t i o n du lemmle. R ~ c u r r e n c e s u r n = d i m X ; le probl~me est local sur X pour la topologie ~tale, et on peut donc supposer F constant, et par d~vissage on peut m ~ m e supposer que F = ~ / n ~ De plus, en r e m p l a ~ a n t X par un v o i s i n a g e ouvert de Zariski de x, on peut (3.3) supposer que X admet
une f i b r a t i o n ~ l ~ m e n t a i r e (3~I) f : X -> S. R e p r e n o n s les notations de (3.1) :
- 1 3 - X I
par calcul direct, on voit que Rqjcl~F = O si q > i, que RljcI~F est l'extension par O d'un faisceau constant sur Ycl' et enfin que Jcl~F est le faisceau c o n s t a n t ~ / n sur X . De plus, on peut calculer RqTcl~(Jcl~F) fibre par fibre. De la suite spectrale de Leray
E~ q = RP~cI~(RqjcI~F) .... > RP+qfcl~F
on d~duit qu'on peut de m~me calculer RP+qfcl~F fibre par fibre, et donc que
R ° f c l ~ / n = ~ / n ,
Rlfcl ~ ~ / n
Rqfcl ~ ~ / n
La suite spectrale de Leray
E~ q = HP(Scl , Rqfcl~F) = > HP+q(XcI,F)
se r~duit ainsi ~ la suite exacte
(~) ... > Hq(Scl,fcl~F) ---> Hq(XcI,F) ----> Hq-l(Scl,Rlfcl~F ) >
Soit s l'image de x dans S. Par hypothgse de r~currence et grace ~ (i), il existe pour chaque classe ~ E Hq(ScI,G) (G localement constant de torsion,
fibres finies) un "voisinage ~tale" S' > S de s tel que l'image de darts Hq(s~I,G) soit nul. Or les foncteurs Rqfcl ~ commutent ~videmment aux changements de base ~tales, et si S' > S est un voisinage ~tale de s, alors X' = X ×S S' .... > X est un voisinage ~tale de x. Lorsque q ~ 1 on ter- mine donc grace g la suite exacte (~) en prenant d'abord G = Rlfcl~F et
est un faisceau localement constant de torsion sur Scl
= 0 si q > I .
7&
- 1 4 - X I
ensuite G = fcl~F . Lorsque q = i, on note que HI(Xcl , ~ / n ~ )
(resp. HI(x, ~ / n ~ ) ) classifie les r e v ~ t e m e n t s 4tales p r i n c i p a u x de Xcl (resp. X), de groupe ~ / n ~ , donc en vertu de 4.3 (iii) l ' a p p l i c a t i o n HI(x, ~ / n ~ ) > HI(Xcl , ~ / n ~ ) est bijective, d'o~ aussitOt le r4sultat d ' e f f a c e m e n t 4.5 pour q = I.
Variante 4.6. On peut aussi d 4 m o n t r e r (4.5) de la m a n i ~ r e 414gsnte suivante, due ~ Serre : on remarque qu'un bon v o i s i n a g e (3.2) connexe X satisfait aux deux conditions suivantes :
(i) ~ (X(¢)) = 0 si n > I, n
(ii) ~I (X(~)) est une e x t e n s i o n successive de groupes fibres de type fini.
E n effet, si X > S est une f i b r a t i o n 4 1 4 m e n t a i r e o3 S est un bon voisinage, on peut suppose[ (i) et (ii) vrai pour S p a r r4currence. Or X(~) > S(~) est un espace fibr4 localement trivial~ comme o n voit ais4- ment, ~ fibres i s o m o r p h e s ~ X (¢), o~ X est u ~ f i b r e arbitraire de X/S.
o o
Or X est une courbe n o n - s l n g u l i ~ r e connexe n o n c o m p l ~ t £ et il est bien o
connu que cela implique que ~ n o ( X (~)) = 0 s i n > I, et que ~ l ( X o ( ¢ ) ) est un groupe libre. Alors (i) et (ii) sont des c o n s 4 q u e n c e s de la suite exacte d'homotopie
.... > ~ ( x ( ¢ ) ) - > ~ ( x ( ¢ ) ) - - - - > ~ ( s ( ~ ) > . . .
o o n n
D o n c X(¢) est un espace K(~,I), et cela implique que chaque classe de cohomologie { E Hn(x(~),F) devient nulle sur le rev@tement universel de X(¢). Ii suffit de d 4 m o n t r e r que { d e v i e n t nulle d4j~ sur un r e v ~ t e m e n t fini X' de X, ce qui revient au m@me que de d 4 m o n t r e r que ~I = ~i (X(¢))
15 - XI
est un bon groupe (cf. CG I 16), c'est-g-dire que le morphisme de ~I dans son compl4t4 ~i = ~ I / N (o3 N parcourt l'ensemble des sous-groupes invariants de ~i d'indice fini) induit une bijection.
Hq(~I,M) ... ~ > Hq(~I,M)
pour tout ~l-mOdule fini M continu (o~ le symbole de gauche est la cohomo- logie de ~i en tant que groupe profini). Or une extension successive de groupes libres de type fini est un bon groupe (cf. CG I p. 15-16, exc. 1,2), d'o~ le r4sultat.
BIBLIOGRAPHIE
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