EPFL 26 avril 2010 Algèbre linéaire
1ère année 2009-2010
Série 22
Dans cette série, le symbole F désigne soitR, soit C.
L’exercice 6 est à rédiger soigneusement et à rendre le lundi 3 mai au début de la séance d’exercices.
Exercice 1. Soit V =R2 muni du produit scalaire euclidien.
1. Donner un exemple d’opérateur de V non auto-adjoint mais normal.
2. Donner un exemple d’opérateur de V ni auto-adjoint, ni normal.
Exercice 2. Soit V = P2(R), muni du produit scalaire hp, qi = R1
−1p(x)q(x)dx, et soit T ∈ L(V) l’opérateur T(a0+a1X+a2X2) =a2X2.
1. Montrer que T n’est pas auto-adjoint.
Indication : il suffit de calculer T(p0) et T∗(p0), où p0 est le polynôme de degré 0 de la base orthonormale de P2(R),h,i trouvée dans l’exercice 2 de la série 17...
2. Montrer que la matrice [T](1,X,X2) coïncide avec sa transposée conjuguée, bien queT ne soit pas auto-adjoint. Expliquer pourquoi cela n’est pas une contradiction.
3. Calculer l’adjoint de S∈L(P2(R)), S(a0+a1X+a2X2) = a1X.
Exercice 3. 1. Soit V un R-espace vectoriel de dimension n, et T ∈ L(V) un opérateur auto- adjoint. Montrer que |hv, T(v)i|2 ≤ hv, T2(v)i||v||2 pour tout v ∈V.
2. Soit (V,h,i) un espace euclidien et soit L∈L(V) auto-adjoint. Montrer que si v et w sont des vecteurs propres de L pour des valeurs propresdifférentes, alors hv, wi= 0.
3. Montrer qu’il n’existe pas d’opérateur auto-adjoint T ∈ L(R3) tel que T(1,2,3) = (0,0,0) et queT(2,5,7) = (2,5,7).
Exercice 4. Soit V unR-espace vectoriel de dimension2, muni d’un produit scalaire. Supposons que T ∈L(V)est normal. Montrer que siBest une base orthonormale deV et siT n’est pas auto-adjoint, alors [T]B =
a −b
b a
, où a, b∈R, b6= 0.
Exercice 5. (facultatif )
1. Prouver ou donner un contre exemple : La composition de deux opérateurs auto-adjoints est auto-adjoint.
2. Soit V unR-espace vectoriel de dimension finie muni d’un produit scalaire. Montrer que W =:
{T ∈L(V)|T auto-adjoint} est un sous-espace vectoriel de L(V).
3. Soit V unC-espace vectoriel de dimension finie muni d’un produit scalaire. Montrer que W :=
{T ∈L(V)|T auto-adjoint} n’est pas un sous-espace vectoriel de L(V).
Exercice 6. Soit V unR-espace vectoriel de dimension n, et T ∈L(V)un opérateur auto-adjoint.
1. Soient α, β ∈R tels que α2 <4β. Montrer que T2+αT +βIdV est inversible.
Indication : On peut montrer queh(T2+αT+βIdV)(v), vi>0pour toutv6= 0en utilisant l’inégalité de Cauchy- Schwarz appliquée à hT(v), viet l’égalité x2−αxy+βy2= x−α2y2
+
β−α42
y2 pour toutx, y∈R...
2. Soit v 6= 0 un élément de V. Montrer qu’il existe a0, . . . , an∈R pas tous nuls tels que a0v+a1T(v) +. . .+anTn(v) = 0.
Le polynome p=a0+a1X+. . .+anXn est non-constant puisque sinon a0v = 0, ce qui impliquerait que a0 = 0 et donc que tous les coefficients a0, . . . , an sont nuls. On peut donc utiliser le résultat suivant : p possède une unique factorisation
p=c(X−λ1)·. . .·(X−λm)·(X2+α1X+β1)·. . .·(X2 +αMX+βM)
avecm, M ∈N(pouvant être zéro, mais pas en même temps), etc, λ1, . . . , λm,α1, . . . , αM,β1, . . . , βM ∈ R tels que α2i <4βi pour i= 1, . . . , M.
3. En déduire que
(T −λ1IdV)◦. . .◦(T −λmIdV)(v) = 0, et donc que T possède au moins une valeur propre réelle.
Le test d’algèbre linéaire 2 aura lieu le jeudi 29 avril de 11h15 à 13h00 (donc pendant les heures de cours). Vous serez répartis comme suit dans les salles :
– Les étudiants de physique : – En salle CE2: A — Fi – En salle CE1 104: Fl — Ja – En salle CE1 100: Je — O – En salle CE1 101: P — Z.
– Les étudiants de mathématiques : – En salle CE6: A — So
– En salle CE1 105: Sp — Z.
Renseignez-vous à l’avance sur l’endroit où se trouve votre salle. L’examen commencera à 11h15 donc soyez là vers 11h10 au plus tard pour pouvoir vous installer.
Vous aurez cette fois-ci une feuille d’exercices etvous devrez apporter vous-mêmes votre papier pour répondre aux questions. On vous fournira du papier de couleur pour vos brouillons, que vous devrez rendre avec le reste. Vous devrez faire attention à bien écrire vos nom et section sur chaque page et à faire en sorte qu’on distingue facilement vos différents exercices.
Il serait utile d’avoir une agrafeuse pour agrafer votre copie.
