Chapitre n°14

(1)

Chapitre n°14

Objectifs :

Niveau 1 2 3

C14.a ¹ Savoir calculer la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle.

C14.b ¹ Savoir calculer une aire entre la courbe représentative d’une fonction et un axe des abscisse.

C14.c ¹ Savoir exploiter la relation de Chasles.

Activité d’approche n°1

Soit

f

la fonction définie sur l’intervalle

[-1;1,5]

par

f(x)=x

³

– x + 2.

On cherche à déterminer le rectangle qui aura pour aire l’aire sous la courbe de cette fonction, entre -1 et 1,5 :

(2)

1. Calculer l’aire

A

sous la courbe, entre -1 et 1,5.

………

2. Quelle doit-être la valeur de la hauteur du rectangle pour l’aire de ce rectangle soit égale à

A

?

………

3. D’une manière plus générale, si

A

est l’aire sous la courbe d’une fonction

f

entre

a

et

b

, comment calculer la hauteur du rectangle ayant la même aire que

A

?

………

(3)

………

Cette valeur est appelée valeur moyenne de

f

entre

a

et

b

.

Cours n°1

I) Valeur moyenne Définition n°1

Soit

f

une fonction continue sur un intervalle

[a;b]

. On appelle valeur moyenne de la fonction

f

sur l'intervalle

[a;b]

le nombre

M

défini par :

M =………...

Exemple n°1

Calculer la valeur moyenne sur

[0;2]

de la fonction

f

définie par :

f(x)=3x

²

+ 1

.

...

....…

II) Relation de Chasles , inégalités d’intégrales.

Propriété n°1

f

est une fonction continue sur un intervalle

I

.

a

,

b

, et

c

sont trois réels appartenant à

I

. Alors :

∫

a b

f ( t ) dt + ∫

b c

f ( t ) dt

=...

(4)

Démonstration

Soit

F

une primitive de

f

sur

I

. Alors

∫

a b

f ( t ) dt

=...,

∫

b c

f ( t ) dt

=... et

...

...………..

Propriété n°2 (admis)

Soit

f

et

g

deux fonctions continues sur un intervalle

I

.

Si

f(x)>g(x)

sur

I

, alors ... … ...

III) Intégrale et aire Propriété n°3

f

est une fonction continue et négative sur un intervalle

I=[a;b]

. Soit c sa courbe représentative. Alors l'aire du domaine situé entre c et l'axe des

abscisses, sur l'intervalle

I

est …...

Démonstration

Soit

g(x) = – f(x).

...

...………

.

Exemple n°2

Soit

f

la fonction définie par

f(x)=(x – 1)(x – 3)

. Déterminer l'aire délimitée par les

(5)

droites

x=0

,

x=4

,

y=0

et la courbe représentative de

f

.

...

...…

Exemple n°3

a. Calculer

∫

−2

1

1 x+9 dx + ∫

1

3

1 x +9 dx

...

Exemple n°4

Soient

f(x) = x² + 4x – 6

et

g(x) = x² + 2x + 1

deux fonctions.

1. Comparer

g(x) et f(x)

sur

¿ ¿

(6)

...

...…

2. En déduire une inégalité entre

∫

7 2 +∞

f ( x ) dx

et

∫

7 2 +∞

g ( x ) dx

...

Exemple n°5 (ne sera pas dans un setester)

Soit

I = ∫

0 1

e

^2t

1+ e

^2t

dt

et

J = ∫

0

1

1 1+ e

^2t

dt

. a. Calculer

I

.

b. Calculer

I + J

. c. En déduire

J

.

...

(7)

...

...…

Se tester n°1 - C14_1 (/13)

Objectifs :

Niveau 1 2 3

C14.a 1 Savoir calculer la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle.

C14.b ¹ Savoir calculer une aire entre la courbe représentative d’une fonction et un axe des abscisse.

C14.c ¹ Savoir exploiter la relation de Chasles

(8)

Savoir au hasard (bonus malus -1 à +1) : Savoir n°7

Compléter :

Si

A

et

B

sont indépendants,

P ( _A∩ _B ) _{=……… …… ……} _..

Si

A

et

B

ne sont pas indépendants,

P ( _A∩ _B ) _{=……… …… ……} _..

Fin du savoir n°7

(Se tester) Exercice n°1 (/4)

[f:1;pr:1;c:1:r:1] Calculer la valeur moyenne sur

[0;5]

de la fonction

f

définie par :

f(x)=3x

²

+ 2

.

...

...…

(Se tester) Exercice n°2 (/3)

Soit

f

la fonction définie par

f(x)=(x – 3)(x –6)

. Déterminer l'aire délimitée par les droites

x = 0

,

x =7

,

y = 0

et la courbe représentative de

f

.

...

...…

(9)

(Se tester) Exercice n°3 (/2)

Calculer

∫

−2

2

1 x+6 dx + ∫

2

4

1 x+ 6 dx

...

...…

(Se tester) Exercice n°4 (/4)

Soient

f(x) = x² + 8x -2

et

g(x) = x² + x + 6

deux fonctions.

1. Comparer

g(x) et f(x)

sur

[ ⁸ ⁷ ^;+∞ [

...

(10)

...

...…

2. En déduire une inégalité entre

∫

8 7 +∞

f ( x ) dx

et

∫

8 7 +∞

g ( x ) dx

...

(11)

Indices et résultats 1

^er ex :

27

2

^ème ex :

9

3

^ème ex :

ln ( ⁸ 9 )

4

^ème ex : 1.

f ( x ) > g ( x )

2.

∫

8 7 +∞

f ( x ) dx

>

∫

8 7 +∞

g ( x ) dx

Interrogation n°1 Objectifs :

C14.a_Niv1 : Savoir calculer la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle.

C14.b_Niv1 : Savoir calculer une aire entre la courbe représentative d’une fonction et un axe des abscisse.

C14.c_Niv1 : Savoir exploiter la relation de Chasles.

(Cours n°1) Exercice n°5

Ex.37 p.177

(Cours n°1) Exercice n°6

Ex.36 p.177

(Cours n°1) Exercice n°7

Ex.113 p.184

(Cours n°1) Exercice n°8

Ex.115 p.184

(Cours n°1) Exercice n°9

Sujet D p.192

(Cours n°1) Exercice n°10

Sujet E p.192

(Cours n°1) Exercice n°11

Ex.150 p.193

(Cours n°1) Exercice n°12

Ex.151 p.193

(12)

Indices et résultats

Ex.n°5 (Ex.37 p.177) : 1.

f

est décroissante sur [-1;1]. 2.

e – e

^-

1. 3.a.

1 2 (e – e

^-1

)

3.b. La valeur moyenne est a hauteur du rectangle

MLKN

.

Ex.n°6 (Ex.36 p.177) : 1. 4 2. 1 3.

1 4 (e

²

– e

^-2

)

Ex.n°7 (Ex.113 p.184) : 1.

1 9 (e

¹²

– e

³

)

2.

18 082

. Ex.n°8 (Ex.115 p.184) :

V= b+a+3 = f ( _a ) ₊ _f ( _b )

2

^.

Ex.n°9** (Sujet D p.192) : 1.a.

F

1

(x) = 4 ln(e

^x

+ 7)

1.b.

4 ln 7 (ln14 – ln8)

. 2.

f

n

(0)

= 0,5 ∀

pour tout

n

. 3.a.

x = ln 7

n

^{. 4.}

u

n

= m

.

Ex.n°10** (Sujet E p.192) : 1.a.

f '(x) = 1−ln ( _x+3 )

( _x+3 )

² ^1.b.

^lim

^x^→∞

^f ( x ) =0

1.c.

f'(x)<0....

2.a.

n<x<n+1 et f

est décroissante... 2.b. Intégrer les inégalités... 2.c.

Théorème des gendarmes... 3.a.

F'(x) = 2 f(x).

3.b.

I

n

= 1

2 [(ln(n+3))

²

– (ln 3)

²

]

4.a. Relation de Chasles... 4.b.

lim

n→ ∞

S

_n

=+ infinit

. Ex.n°11** (Ex.150 p.193) : 1.a.

f

est croissante sur

]–∞;0]

et décroissante ailleurs. 1.b. le maximum de

f

est

1

. 1.c.

2.a.

F(x)

est une aire. 2.b.

F

est croissante sur R. 2.c.

2.d.

√ ² ^π

2

Ex.n°12** (Ex.151 p.193) : 1.a.

f

est décroissante sur

]–∞;0]

et croissante ailleurs. 1.b.

2.

S(a)= e

^a

−e

^−a

2

. 3. Factoriser ou développer...

4.

L= ∫

0 2

√ ⁽ ^f ⁽ ^x ⁾ ⁾

²

^{dx = S(2).}

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