La proportionnalité
I) Définition de la proportionnalité : a) Définition :
Deux grandeurs associées A et B sont dites proportionnelles entre elles si quand on multiplie la valeur de A par un nombre n, alors la valeur de B est aussi multipliée par n.
b) Exemple :
Un commerçant vend le kilo de pommes à 2€. Le prix à payer par le client est proportionnel à la quantité de pommes qu’il achète : si on triple la quantité de pommes achetées, alors le prix à payer triplera également. Il s’agit ici d’une situation de proportionnalité entre les grandeurs masse de pommes et prix à payer.
II) Reconnaître une situation de proportionnalité : a) A partir d’un tableau :
Définition :
Un tableau à deux lignes traduit une situation de proportionnalité lorsqu’on passe de la ligne du haut à celle du bas en multipliant par un même nombre, qu’on appelle coefficient de proportionnalité.
Exemple :
On passe de la ligne du haut à celle du bas en multipliant par 2 : ce tableau traduit donc une situation de proportionnalité.
Le coefficient de proportionnalité est ici égal à 2 : cela signifie que le prix d’un melon est 2€.
b) A partir d’un graphique : Propriété :
Dans un repère, un graphique traduit une situation de proportionnalité si les points représentés sont situés sur une droite qui passe par l’origine du repère.
Exemple :
Voici un graphique qui indique le prix des sacs de pommes en fonction de la masse de fruits qu’ils contiennent :
On remarque que les points sont construits à une demi-droite d’origine celle du repère : ce graphique traduit donc une situation de proportionnalité.
On peut donc conclure que le prix des sacs de pommes est proportionnel à la masse de fruits.
III) Utilisation de la proportionnalité : 1) Le produit en croix :
Exemple :
On utilise un tableau de proportionnalité à 4 cases :
Question : Comment peut-on obtenir directement un des nombres de ce tableau à partir des trois autres ?
Première constatation : le produit des deux nombres situés aux extrémités des flèches est le même pour les deux flèches. En effet :
8 × 5 = 2 × 20 = 40
Deuxième constatation : un nombre de ce tableau s’obtient en divisant ce produit ( ici 40 ) par le nombre auquel il est relié par la flèche.
Par exemple, le nombre 5 est relié au nombre 8 et sa valeur est égale à : 5 = = ×
Application n°1 :
Déterminer la valeur de x sachant qu’il s’agit d’un tableau de proportionnalité :
Comme il s’agit d’un tableau de proportionnalité à 4 cases, on peut appliquer le produit en croix et écrire que :
x = ×
x = x = 27
La valeur de x cherchée est 27.
Application n°2 : détermination d’un pourcentage :
Quand on dit que 5 personnes sur 8 aiment les vacances à la montagne, quel pourcentage cela représente-t-il ?
Trouver ce pourcentage revient à déterminer, pour 100 personnes, le nombre de personnes qui aiment les vacances à la montagne.
On va pour cela utiliser le tableau de proportionnalité suivant :
En appliquant le produit en croix, on obtient : x = ×
x = x = 62,5
62,5 % des personnes interrogées aiment les vacances à la montagne.
2) Le mouvement uniforme :
Définition :
Un mouvement est uniforme lorsque la distance parcourue est proportionnelle à la durée du parcours.
Exemple :
Un train de marchandises a roulé régulièrement pendant 4 heures.
Le tableau ci-dessous présente la distance parcourue en fonction de la durée du parcours :
On constate que la distance parcourue est proportionnelle à la durée du parcours car le tableau ci-dessus est un tableau de proportionnalité : le mouvement du convoi est donc uniforme.
Le coefficient de proportionnalité indique la distance ( en km ) parcourue en 1 heure : la vitesse du train est 80 km/h.
Conclusion : lors d’un mouvement uniforme, la vitesse est constante.
3) Echelle d’une carte, d’un dessin … :
Une échelle est un outil qui permet, connaissant une distance sur un plan, de déterminer la longueur réelle correspondante. En voici une définition :
Définition :
Echelle =
é , les deux distances étant exprimées dans la même unité.
Exemple n°1 : Echelle de réduction :
Sur une carte à l’échelle , les distances sont 500 fois plus petites qu’en réalité.
Ainsi, par exemple, une distance de 1 cm sur la carte représente une distance réelle 500 fois plus grande c’est-à-dire 500 cm.
Exemple n°2 : Echelle d’agrandissement :
Sur une carte à l’échelle , les distances sont 200 fois plus grandes qu’en réalité.
Ainsi, par exemple, une distance de 800 mm sur la carte représente une distance réelle 200 fois plus petite c’est-à-dire 4 mm.
Exemple d’application :
Sur une carte à l’échelle , deux villes sont distantes de 4 cm.
Quelle est la distance réelle entre ces deux villes ?
Pour répondre à cette question, nous allons utiliser le tableau de proportionnalité suivant :
En appliquant le produit en croix, on obtient : x = ×
x = 2 000 000
Les deux villes sont distantes de 2 000 000 cm soit 20 km.
( On rappelle que 1 km = 1 000 m = 100 000 cm )
