Montrer que pour tout

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EPREUVE DE MATHEMATIQUES Exercice 1 : 5points

I- Soit la fonction 𝑇: 𝑥 ⟼ ^𝑥+1

𝑥−2 𝑛 fois dérivable sur 𝐼𝑅 ∖ {2}.

1. Calculer, ∀𝑥 ∈ ℝ ∖ {2}, 𝑇^′(𝑥). 0.25pt 2. Montrer que ∀𝑥 ∈ ℝ ∖ {2}, pour tout entier naturel 𝑛 𝑛𝑜𝑛 𝑛𝑢𝑙, 𝑇^(𝑛)(𝑥) = ³⁽⁻¹⁾^𝑛^×𝑛!

(𝑥−2)^𝑛+1 où 𝑇^(𝑛) est la dérivée 𝑛 − 𝑖è𝑚𝑒 de 𝑇. 1.75pt II- Soit 𝑚 une fonction deux fois dérivables sur ]−∞;³

2[ telle que 𝑚(𝑥) = √3 − 2𝑥.

1. Calculer ∀𝑥 ∈ ]−∞;³

2[, 𝑚^′(𝑥) 𝑒𝑡 𝑚^′′(𝑥) puis déduire le sens de variation de 𝑚^′. 1pt 2. Montrer que pour tout 𝑥 ∈ [1;⁵

4] , −√2 ≤ 𝑚^′(𝑥) ≤ −1. 1pt 3. Montrer que pour tout 𝑥 ∈ [1;⁵

4] , −√2(𝑥 − 1) + 1 ≤ 𝑚(𝑥) ≤ −𝑥 + 2. (on utilisera

l’inégalité des accroissements finis sur [1; 𝑥]). 1pt Exercice 2 : 4 points

I- Déterminer les primitives des fonctions suivantes sur l’intervalle K. 2 pts 1) 𝑔: 𝑥 ⟼ ²

1−𝑥 , 𝐾 = ]1; +∞[ . 2) ℎ: 𝑥 ⟼ 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥 , 𝐾 = ℝ.

II- Déterminer les ensembles de définitions des fonctions à variables réelles suivantes.

1) 𝑓₁: 𝑥 ⟼ 𝑙𝑛 (−𝑙𝑛𝑥). 2) 𝑓₂: 𝑥 ⟼ ^𝑥−3

1−𝑙𝑛𝑥 2pts Problème : 11points

Partie A : On considère la fonction 𝑓 à variable réelle défini par 𝑓(𝑥) = 𝑥³+ 3𝑥 + 4.

1. Etudier les variations de 𝑓 et dresser son tableau de variation𝑠. 1.5pt 2. Montrer que l’équation 𝑓(𝑥) = 0 admet une unique solution 𝛼 sur IR. 1pt 3. a) calculer 𝑓(−1) ,puis dresser le tableau de signe de 𝑓(𝑥) . 1pt Partie B : Le plan est muni d’un repère orthonormé (𝑂, 𝐼, 𝐽).

Soient la fonction ^{𝑔:𝐼𝑅⟼𝐼𝑅}

𝑥 ⟼ ^2−𝑥3

1+𝑥2

et (C)sa courbe représentative dans le repère (𝑂, 𝐼, 𝐽).

1. Déterminer l’ensemble de définition 𝐷_𝑔 de 𝑔 et calculer les limites à chacun de ses bornes.1pt 2. Montrer que la droite (𝐷) : 𝑦 = −𝑥 est asymptote à (𝐶)𝑒𝑛 +∞ 𝑒𝑡 𝑒𝑛 − ∞. 1pt 3. Etudier la positions de (𝐶) par rapport à (𝐷). 1pt 4. Montrer que pour tout 𝑥 ∈ 𝐷_𝑔, 𝑔′(𝑥) = ^{−𝑥𝑓(𝑥)}

(1+𝑥²)². 1pt 5. Dresser le tableau de variations de 𝑔. 1pt 6. Construire (𝐶) 𝑒𝑡(𝐷). pendre √2³ = 1.25. 1.5pt 7. Soit ℎ la restriction de 𝑔 à [0; +∞[. Dresser le tableau de variations de ℎ⁻¹ fonction

réciproque de ℎ et construire en pointillés sa courbe (𝐶’ ). 1pt ANNEE SCOLAIRE 2016-2017

SEQUENCE N0 3

CLASSE : TD DUREE : 2H30 Coef : 04 LYCEE DU MANENGOUBA

DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES

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