M1 – Théorie de Galois – Université Lyon I – 2011-2012 1
XII Exercices de révision
Exercice 1 Soit f ∈ Q[X] un polynôme de degré n. on note K le corps de décomposition de f surQdansC. On suppose quen >2 et queGal(K/Q)' Sn.
a) Montrer quef est irréductible surQ.
b) Montrer que siaest une racine def, alors le seul automorphisme du corps Q(a)est l’identité ;
c) Sin≥4, montrer quean ∈/ Q.
Exercice 2 Soienta, b∈Q. On suppose que le polynômef =x4+ax2+best irréductible surQ. On note±α,±β ses racines etGson groupe de Galois sur Q.
a) Montrer que Gest isomorphe à un sous-groupe de D4, le groupe diédral d’ordre8. En déduire que :
G'Z/4Z,Z/2Z×Z/2Z, ouD4 .
b) Montrer queG'Z/4Z⇔α/β−β/α∈Q. c) Montrer queG'Z/2Z×Z/2Z⇔αβ∈Q.
d) Déterminer le groupe de Galois dex4−4x2−1surQ.
Exercice 3 Soitkun corps fini. On suppose que le polynôme : X3+pX+q∈k[X]
est irréductible surk. Montrer que −4p3−27q2 est un carré dansk.
Exercice 4 Soitkun corps fini àqéléments. Soitn≥1.
a) Montrer que sif ∈k[X]est irréductible de degréd, alors :
f|Xqn−X ⇔d|n .
b) Montrer que siIdest l’ensemble des polynômes irréductibles surkunitaires et de degréd, alors :
Xqn−X =Y
d|n
Y
f∈Id
f .
c) En déduire que siNd est le nombre de polynômes irréductibles surk, de degrédet unitaires, alors :
nNn =X
d|n
µ(d)qn/d
oùµest la fonction de Möbius.
d) Montrer que :
Y
p
(1−tdegp)−1= (1−qt)−1
oùpdécrit l’ensemble des polynômes unitaires irréductibles surk.
Exercice 5 Soita:=√4 5.
a) Montrer queQ(ia2)/Qest galoisienne.
b) Montrer queQ(a+ia)/Q(ia2)est galoisienne.
c) Montrer queQ(a+ia)/Qn’est pas galoisienne.
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Exercice 6 Soitf un polynôme irréductible surQqui possède au moins une racine réelle et une racine complexe non réelle. Montrer que le groupe de Galois def surQn’est pas abélien.
Exercice 7 (Théorème fondamental de l’algèbre) L’objectif de cet exercice est de montrer queCest algébriquement clos en admettant seulement que tout polynôme réel de degré impair admet une racine réelle et que tout réel positif admet une racine carrée (réelle).
a) Montrer queCn’a pas d’extension de degré2.
b) Soit f ∈R[X] un polynôme non constant. SoitE son corps de décompo- sition surR. Montrer queGal(E/R)est un 2−groupe (en considérant ses 2−Sylow).
c) SiC6=E, montrer queGal(E/C)contient un sous-groupe d’indice2.
d) Conclure
Exercice 8 Déterminer le groupe de Galois surQdu polynôme x6+ 22x5−9x4+ 12x3−37x2−29x−15 (réduire modulo2,3,5).
