CNAM –Paris-2008-2009 CSC012 F.Guiraud
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Interpolation Polynomiale
Problème
Soient n points, provenant de mesures physiques, (x
1 ,y
1 ) , (x
2 , y
2 ), ..,(x
n ,y
n ) représentant une fonction. On veut reconstituer la fonction pour x ∈[ x
1 , x
n ], c’est l’interpolation . Si on cherche des valeurs de f pour x < x
1 ou x > x
n , c’est l’extrapolation.
On cherche f sous forme d’un polynôme passant par les n points, donc de degré n-1.
Méthode naïve :
On écrit que le polynôme passe par les n points : P(x) = a
n-1 xn-1+ ……+ a
1 x+ a
0 , on détermine les coefficients en résolvant le système : an-1 x
1
n-1+ ……+ a
1 x
1 + a
0 = y
1 an-1 x
2
n-1+ ……+ a
1 x
2 + a
0 = y
2 :
an-1 x
n
n-1+ ……+ a
1 x
n + a
0 = y
n
Polynôme de Lagrange
Prenons l’exemple de deux points. L’idée de Lagrange est d’écrire : P(x) =y
1 L
1 (x) + y
2 L
2 (x). On doit avoir P(x
1 ) = y
1 et P(x
2 )= y
2 soit : y1 L
1 (x
1 ) + y
2 L
2 (x
1 ) = y
1 y1 L
1 (x
2 ) + y
2 L
2 (x
2 ) = y
2 donc L
1 (x
2 ) =0 et L
1 (x
1 )=1 L
2 (x
2 ) =1 et L
1 (x
2 )=0 Les polynômes L
1 et L
2 sont des polynômes de degré 1. On trouve : L1 (x) =
x-x1 x1-x2 et L
2 (x) = x-x2 x2-x1 Cas général :
On considère les polynômes de Lagrange suivants : Li (x) = ∏
≠
= −
−
n
i j
j 0 i j
j
x x
x
x et on a L i (x
i ) = 1 et L i ( x
j ) = 0 si i ≠ j Soit f une fonction qu’on désire interpoler à partir des points ( x
i , f(x
i )) par un polynôme P(x) On a P(x) = f(x Li(x)
n
0 i
∑ i)
=
, on a bien P(x
i )= f(x
i ) pour tout i.
Exemple
Soient quatre points B
0 (x
0 ,y
0 ), B
1 (x
1 ,y
1 ) , B
2 (x
2 , y
2 ), B
3 (x
3 ,y
3 ) Le polynôme d’interpolation est :
P(x) = (x -x
1)(x - x
2)(x-x
3) (x0 -x
1)(x
0 - x
2)(x
0-x
3) y
0 + (x -x
0)(x - x
2)(x-x
3) (x1 -x
0)(x
1 - x
2)(x
1-x
3) y
1 + (x -x
0)(x - x
1)(x-x
3) (x2 -x
0)(x
2 - x
1)(x
2-x
3) y
2 + (x -x
0)(x - x
1)(x-x
2) (x3 -x
0)(x
3 - x
1)(x
3-x
2) y
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2 Exercice
On considère la fonction f : x → cos(x). Calculer le polynôme d’interpolation s’appuyant sur la subdivision ( -π
2 , 0) , (0,1) , (π 2 , 0) Comparer P(π
4 ) et cos(π 4 ) , P(π
3 ) et cos (π 3 )
P(x) = (x -x
2)(x - x
3) (x1 -x
2)(x
1 - x
3) y
1 + (x -x
1)(x - x
3) (x2 -x
1)(x
2 - x
3) y
2 + (x -x
1)(x - x
2) (x3 -x
1)(x
3 - x
2) y
3 = - (x +π
2)(x -π 2) π2
4
P(x)= - 4 π2 (x
2 - π2
4 ) = - 4 π2 x
2 +1 P(π
4 ) = 3
4 au lieu de cos(π
4 ) = 2
2 = 0.707.. ; P(π 3 ) = 5
9 = 0.55.. au lieu de cos (π 3 )=0.5
