Universit´e Paris Diderot Ann´ee 2018-2019
Questions de cours n
o5 L3-Logique
Calcul des pr´ edicats : syntaxe et s´ emantique
Exercice 1 • Compl´etez la d´efinition d’un terme du calcul des pr´edicats.
Soit une signature Σ = ΣF ∪ΣP. L’ensemble des termes par rapport `a un ensemble de variablesX et `a une signature Σ est not´eTΣ,X. Il est le plus petit ensemble engendr´e par les r`egles suivantes :
· · · x∈ TΣ,X
· · · ·
f(t1, . . . , tn)∈ TΣ,X
• Donnez la d´efinition d’un atome du calcul des pr´edicats.
Soient une signature Σ = ΣF∪ΣP etX un ensemble de variables. L’ensemble desatomes sur un ensemble de variablesX et une signature Σ est not´e AΣ,X.
Un atome sur Σ et X est de la forme . . .
• Donnez la d´efinition d’uneformule du calcul des pr´edicats.
L’ensemble des formules sur un ensemble de variables X et une signature Σ est not´e FΣ,X. Il est le plus petit ensemble engendr´e par les r`egles suivantes :
p(t1, . . . , tn)∈ AΣ,X p(t1, . . . , tn)∈ FΣ,X
· · ·
¬A∈ FΣ,X
· · · A→B ∈ FΣ,X
· · · A∨B ∈ FΣ,X
· · · A∧B ∈ FΣ,X
· · · ·
∀x. A∈ FΣ,X
· · · ·
∃xA∈ FΣ,X
• Donnez la d´efinition des variables libres et li´ees.
Les variableslibres (VI) etli´ees (VE) d’une formule sont d´efinies comme suit :
— Si Aest un atomep(t1, . . . , tn),V E(A) =· · · etV I(A) =· · ·
— Si A=¬B,V I(A) =· · · etV E(A) =· · ·
— Si A=B#C,V I(A) =· · · etV E(A) =· · ·
— Si A=∀x. B ou A=∃xB,V I(A) =· · · etV E(A) =· · ·
Exercice 2 Soient X un enesemble de variables contennat x, une signature Σ = ΣF ∪ΣP et soitφune formule sur sur cette signature. SoientI une interpr´etation etσ une valuation surX.
Que faut-il faire pour montrer que :
• [∀x. φ]I,σ =V
• [∀x. φ]I,σ =F
• [∃x. φ]I,σ =V
• [∃x. φ]I,σ =F
