2 Espaces de Banach

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2 Espaces de Banach

Dans ce chapitre, nous étudions quelques théorèmes fondamentaux concernant les espaces de Banach. Comme la notion d’un espace de Hilbert est un cas particulier de celle d’un espace de Banach, tous les résultats établis ici restent vrais pour les espaces de Hilbert.

2.1 Th´ eor` eme de Baire

SoitX un espace vectoriel muni d’une normek·k. Rappelons qu’une norme est une fonction surX à valeurs dansR⁺ qui vérifie les propriétés (1.3)–(1.5).

Définition 2.1. On dit queX est un espace de Banach siX est complet par rapport à la normek·k, c’est-à-dire, toute suite de Cauchy possède une limite.

Pour u2X etr >0, on d´efinit laboule ouverte BX(u, r) ={v2X :kv uk^X < r}.

Un ensembleA⇢X est dit ouvert si pour tout pointu2X il existeru>0 tel queBX(u, ru)⇢A. Un ensemble A⇢X est dit fermé si son complémentaire est ouvert. Le résultat suivant n’utilise que la complétude d’un sous-ensemble fermé dans un espace de Banach et reste vrai pour tout espace métrique complet (voir§4 pour lé définition d’un espace métrique).

Théorème 2.2. SoitX un espace de Banach etY ⇢X un fermé inclut dans la réunion d’une suite de sous-ensemblesXn ⇢X. Alors il existe un entierm 1 et une boule non dégénéréeBY(u, r)qui est inclue dans l’adhérence deXm. Démonstration. Si la conclusion du théorème est fausse, alors on construit par récurrence une suite décroissante de boules BY(un, rn) telle que rn  2 ⁿ et BY(un, rn)\Xn = ? pour tout n 1. La suite (un) ⇢ X est de Cauchy et converge donc vers une limite u2Y. D’autre part, le point uappartient à toutes les boulesBY(un, rn) et ne peut pas appartenir à aucun des ensembleXn. CommeY ⇢ [ⁿXn, on obtient une contradiction.

Il existe une formulation équivalente du théorème 2.2 en termes de sous- ensembles ouverts denses.

Corollaire 2.3. Dans un espace de Banach X, l’intersection d’une famille d´enombrable d’ouverts denses est dense.

Démonstration. Soit (Gn) une famille dénombrable d’ouverts denses telle que X\(\ⁿGn) contient une boule fermée non dégénéréeB. AlorsB ⇢ [ⁿFn, où Fn=G^c_n sont des fermés. D’après le théorème 2.2, il existem 1 tel queFm

est dense dans une bouleB⁰ ⇢B. Comme Fm est ferm´e, on voit queB⁰⇢Fm

et doncGmn’est pas dense.

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Exemple2.4. SoitPl’espace des polynômes d’une variable réelle. Montrons qu’il n’existe pas de norme pour laquellePest un espace de Banach. En e↵et, soitk·k une telle norme etPⁿ l’espace des polynômes de degrén. Alors P =[ⁿPⁿ, et d’après le théorème 2.2, il existe m 1 et une boule non dégénérée B ⇢P tels queB ⇢P^m=P^m. Par symétrie, P^m contient aussi la boule B, et par convexité,P^mdoit contenir une boule de centre zéro. CommeP^mest un espace vectoriel, il doit être confondu avecP. La contradiction obtenue montre qu’une telle norme n’existe pas.

L’intérieur d’un ensemble A ⇢ X (noté ˚A) est défini comme l’ensemble ouvert maximal inclut dansA.

Corollaire 2.5. SoitX un espace de Banach et{Fn}une suite de ferm´es deX tels queF˚n=?pour toutn 1. Alors l’int´erieur de S

nFn est vide.

D´emonstration. SoitGn=F_n^c. AlorsGn sont des ouverts denses, et d’apr`es le corollaire 2.3, l’intersectionT

nGnest dense. Il s’ensuit que son compl´ementaire T

nGn c=S

nFn n’a pas de points int´erieurs.

Le théorème de Baire permet d’établir plusieurs résultats remarquables sur les espaces de Banach. Ils sont présentés dans les§2.2–2.5.

2.2 Th´ eor` eme de Banach–Schauder de l’application ou- verte

Théorème 2.6. SoitX,Y deux espaces de Banach et L:X !Y une application linéaire continue telle queL(X) =Y. AlorsL(G)⇢Y est ouvert pour tout ouvert G ⇢X. En particulier, si L :X ! Y est une bijection continue, alors L ¹:Y !X est continue.

Démonstration. SoitB =BX(0,1) la boule unité ouverte. Il suffit de montrer que L(B) contient une boule de centre zéro. En e↵et, dans ce cas pour tout ouvert G ⇢ X et tout u 2 G il existe une boule Br = BX(0, r) telle que u+Br⇢Get doncLu+L(Br) contient une boule ouverte de centreLu.

Etape 1. Montrons d’abord que´ L(B) contient une boule de centre z´ero.

CommeY =S

n 1L(nB), d’après le théorème de Baire, il existem 1 tel que mL(B) est dense dans une boule de Y. En utilisant la symétrie de L(B) par rapport à zéro et la convexité, on montre queL(B) contient une bouleQ⇢⇢Y de centre zéro et de rayon⇢.

Etape 2. Montrons maintenant que´ L(B) Q⇢/2ou, ce qui revient au mˆeme, L(2B) Q⇢. Soit v 2 L(B). Alors il existeu1 2 B tel que v Lu1 2Q⇢/2. CommeQ⇢/2 ⇢ ¹2L(B), il existe u2 2 ¹2B tel que v L(u1+u2)2 Q⇢/4. On construit ainsi une suiteuj 22¹ ^jB telle que

v Xn j=1

Luj 2Q2 ⁿ⇢ pour toutn 1.

On pose maintenantu=P

juj. Alorsu22B etLu=v.

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Le théorème 2.6 est évidemment faux pour les fonctions non linéaires, même en dimension d = 1. Par exemple, soit f : R ! R une fonction continue croissante telle que f( 1) = 1, f(+1) = +1 et f(x) = 0 pour |x|  1.

Alors l’image de l’intervalle ] 1,1 [ n’est pas ouverte.

2.3 Th´ eor` eme du graphe ferm´ e

Un corollaire utile du théorème de Banach–Schauder est le résultat ci-dessous sur la continuité de toute application linéaire avec un graphe fermé. SoientX, Y deux espace de Banach. Pour un opérateur linéaireA:X!Y, on note (A) son graphe:

(A) ={[u, f]2X⇥Y :u2X, f=Au}.

Il est facile à vérifier que (A) est un sous-espace vectoriel deX⇥Y qui ne contient pas de vecteurs de la forme [0, f] avecf 6= 0. Réciproquement, si ⇢X⇥Y est un sous-espace vectoriel qui ne contient pas de vecteurs de la forme [0, f]

avec f 6= 0, alors est le graphe d’un opérateur linéaire A défini sur ⇧X( ), où ⇧X désigne le projecteur naturel deX⇥Y surX.

Théorème 2.7. Soit A : X ! Y un opérateur linéaire. Alors A est continu si et seulement si (A) est un sous-espace fermé deX⇥Y muni de la norme k[u, f]k=kuk^X+kfk^Y.

Démonstration. Nous n’allons vérifier que si (A) est fermé, alorsAest continu;

l’autre implication est ´evidente.

Considérons les projecteurs naturels ⇧X : (A) ! X et ⇧Y : (A)! Y. D’après l’hypothèse, (A) est un sous-espace fermé dans l’espace de BanachX⇥ Y, et il est donc aussi un espace de Banach. De plus,⇧X et ⇧Y sont des applications linéaires continues, et⇧X est une bijection. Il s’ensuit du théorème 2.6 que⇧_X¹ :X ! (A) continue. CommeA =⇧Y ⇧_X¹, on conclut queA est continu.

Remarquons qu’une fonctionF :X!Y a un graphe ferm´e si et seulement si

(un)⇢X, un !u, F(un)!f =) F(u) =f. (2.1) D’autre part, la continuit´e def signifie que

(un)⇢X, un!u =) F(un)!f =F(u).

Cette condition est clairement plus restrictive que (2.1). Par exemple, la fonction F :R!Rd´efinie par

F(x) = 8<

: 1

x pour x >0, 0 pourx0

a un graphe ferm´e, mais elle n’est pas continue au pointx= 0.

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Corollaire 2.8. Soit X un espace de Banach et E, F ⇢ X des sous-espaces fermés tels queX=EuF. Alors les projecteursP, Q:X !X associés à cette somme directe sont continus.

Démonstration. Pour u 2X, on écrit u=v+w, où v 2 E et w 2 F. Alors P :X !X est défini parP u=v. C’est opérateur linéaire défini surX, et pour montrer sa continuité, il suffit d’étalier que son graphe est fermé. Soit (un)⇢X une suite telle queun ! uet P un ! v 2 E. Soitun =vn+wn, où vn 2 E et wn 2 F. Alorsvn !v et wn ! w2 F. Il s’ensuit que u=v+w, et par l’unicité de cette représentation, on conclut queP u=v.

2.4 Th´ eor` eme de Banach–Steinhaus

Il est bien connu que la limite simple de fonctions continues n’est pas néces- sairement une fonction continue. Le théorème que nous allons établir ci-dessous implique, en particulier, que dans le cas des opérateurs linéaires la limite est toujours continue.

Théorème 2.9. SoientX,Y deux espaces de Banach et{Aj, j2J}⇢L(X, Y) une famille d’opérateurs telle que

sup

j2JkAjuk^Y <1 pour toutu2X. (2.2) Alors

sup

j2JkAjkL(X,Y)<1. (2.3) Corollaire 2.10. Soit X, Y deux espaces de Banach et{An} ⇢ L(X, Y) une suite telle que {Anu} converge dans Y pour tout u 2 X. Alors il existe un op´erateur A2L(X, Y)tel queAnu!Aupour toutu2X.

D´emonstration. On d´efinitA par la formule Au= lim

n!1Anu, u2X.

C’est une application linéaire définie surX. De plus, sup_n ₁kAnuk^Y <1pour toutu2X, et d’après le théorème 2.9, il existeC >0 tel quekAnkL(X,Y)C pour toutn 1. Il s’ensuit queAest un opérateur borné.

Démonstration du théorème 2.9. Nous allons utiliser le théorème de Baire. Soit Xn={u2X :kAjuk^Y npour toutj2J}.

Alors (2.2) implique que X = [ⁿXn. D’après le théorème 2.2, il existe une boule BX(u0, r0) et un entier m 1 tels que Xm est dense dans BX(u0, r0).

CommeAj est continu, l’ensemble Xmest ferm´e, et on voit que kAjuk^Y m pour u2BX(u0, r0),j2J.

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En utilisant la symétrie par rapport au point zéro et la convexité, on obtient kAjuk^Y m pour u2BX(0, r0),j2J.

Cette inégalité est équivalente à (2.2) avecC=m/r0.

Exemple 2.11. Pour une fonctionf 2L¹(S), on d´efinit ses coefficients de Fourier ck(f) =

Z 2⇡

0

f(x)e ^ikxdx, k2Z.

Considérons l’application linéaire L : L¹(S) ! `₁ qui associe à f la suite (ck(f), k2Z). Il est claire quekLk= 1. De plus, d’après le lemme de Riemann- Lebesgue, l’image deLest inclut dansc0(l’espace des suites qui convergent vers zéro). Montrons queL:L¹(S)!c0 est injective. En e↵et, siLf = 0, alors

Z

Sf(x)g(x) dx= 0 (2.4)

pour tout polynôme trigonométriqueg. Le théorème de Weierstrass (voir§3.2) implique que (2.4) reste vrai pour toute fonction g 2 C(S). Soit maintenant (gn) ⇢ C(S) une suite bornée qui converge presque partout vers la fonction sgn(f) égale à 1 si f(x) 0 et à 1 si f(x)<0. Alors la relation (2.4) et le théorème de Lebesgue sur la convergence dominée impliquent que

0 = Z

Sf(x)gn(x) dx! Z

S|f(x)|dx= 0.

Il s’ensuit quef = 0 presque partout.

Montrons maintenant que L n’est pas surjective. SiL est surjective, alors d’après le théorème de Banach–Schauder, l’application inverse est continue:

kL ¹uk^L¹⁽S)Ckuk1, u= (un)2c0. (2.5) SoitDN(x) le noyau de Dirichlet:

DN(x) = 1 2⇡

XN k= N

e^ikx= sin(N+¹₂)x 2⇡sin^x₂ . AlorskL(DN)k1= 1 etkDNk^L¹ ! 1:

kDNk^L¹⁽S)= Z ⇡

0

|sin(N+¹₂)x|

⇡sin^x₂ dx 2

⇡

Z (N+¹₂)⇡

0

|sinx| x dx⇠

XN k=1

1 k. On obtient donc une contradiction avec (2.5).

Considérons maintenant l’opérateur SN qui associe àf 2L¹(S) sa série de Fourier tronquée au niveauN:

(SNf)(x) = 1 2⇡

XN k= N

ck(f)e^ikx= Z

SDN(x y)f(y) dy, x2S.

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On peut montrer que

kSNkL(L¹(S)) =kSNkL(C(S))=kDNk^L¹ !+1.

Le th´eor`eme de Banach–Steinhaus implique qu’il existe des fonctionsf 2L¹(S) etg2C(S) telle que

SNf 6!f dansL¹(S), SNg6!g dansC(S).

2.5 Th´ eor` eme de Hahn–Banach

SoitX un espace vectoriel. On ditp:X !R+ est unesemi-norme si p( x) =| |p(x), p(x+y)p(x) +p(y) pour tousx, y2X, 2C. Théorème 2.12 (Hahn–Banach réel). Soit X un espace vectoriel réel muni d’une semi-normep:X !R⁺,E ⇢X un sous-espace vectoriel etf :E !R une fonction linéaire telle que

|f(u)|p(u) pouru2E. (2.6)

Alors il existe une fonction lin´eaire f˜:X !Rtelle que

f˜_E=f, |f˜(u)|p(u) pouru2X. (2.7) Démonstration. Nous allons montrer ce résultat sous l’hypothèse supplémen- taire d’existence d’une suite (un)⇢X vérifiant la propriétés suivantes:

• SoitYn= Vect{E, u1, . . . , un}. Alors un+12/ Yn pour toutn 0.

• SoitY =[ⁿYn. Alors pour toutu2X il existe une suite (vk)⇢Y telle quep(vk u)!0 quandk! 1.

Cette hypoth`ese nous permettra d’´eviter l’utilisation du lemme de Zorn.

Il suffit de construire une extension def à l’espace vectoriel engendrée parE et la suite{un}. En e↵et, si une telle extensiongest déjà construite, alors pour u2X on pose

f˜(u) = lim

k!1g(vk), (2.8)

o`u la suite (vk)⇢Y est telle que p(vk u)!0. La limite (2.8) ne d´epend pas de la suite (vk).

Pour construire une extension def à l’espaceY, on construit par récurrence des fonctions linéairesfn définies sur les sous-espacesYn telles que, pour tout entiern 0, on a

fn+1 Yn=fn, |fñ(u)|p(u) pouru2Yn, (2.9) où f0 =f. Supposons quefn est déjà construite. Alors pouru2Yn et ↵2R on pose

fn+1(u+↵un+1) =fn(u) +↵r,

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o`u r2Rsera choisi plus tard. On veut trouverr2Rtel que

|fn(u) +↵r|p(u+↵un+1) pour toutu2Yn,↵2R.

Il est facile à voir qu’il suffit que cette inégalité soit vraie pour↵>0. Alors elle est équivalente aux conditions suivantes :

r p(u+↵un+1) fn(u)

↵ , r p(u+↵un+1) +fn(u)

↵ ,

o`u ↵>0 etu2Yn sont quelconques. Une telle constante existe si p(u+↵un+1) fn(u)

↵

p(v+ un+1) +fn(v)

pour tous↵, >0,u, v2Yn. Cette condition est équivalente à l’inégalité

fn( u ↵v)p( u+↵ un+1) +p(↵v+ ↵un+1).

D’après l’hypothèse de récurrence, cette condition est vérifiée pour tous↵, >0 etu, v2Yn.

Théorème 2.13 (Hahn–Banach complexe). Soit X un espace vectoriel complexe muni d’une semi-norme p:X !R⁺,E ⇢X un sous-espace vectoriel et f : E ! R une fonction linéaire vérifiant (2.6). Alors il existe une fonction linéairef˜:X !Rtelle que (2.7)a lieu.

Démonstration. On note d’abord que sif est une fonction linéaire sur définie sur un sous-espaceF ⇢X et représentée sous la formef =f1+if2 avecf1= Ref etf2= Imf, alors

f1(iu) = f2(u) pour toutu2F .

R´eciproquement, sig:F !Rest une fonctionR-lin´eaire, alors la fonction

f(u) =g(u) ig(iu) (2.10)

estC-lin´eaire surF.

Soit maintenant f : E ! C une fonction linéaire vérifiant (2.6). Alors sa partie réelleg:E!Rvérifie aussi (2.6) et d’après le théorème 2.12 admet un prolongement ˜g à l’espace X tel que|˜g(u)| p(u) pour tout u2X. Alors la fonction ˜f :X !Cdéfinie par (2.10) vérifie toutes les propriétés requises.

Un cas particulier important des théorème 2.12 et 2.13 est celui oùX est un espace normé etpest la norme deX. Plus précisément, étant donné un espace vectoriel norméX, réel ou ou complexe, on noteX⁰son espace dual; c’est-à-dire, l’espace de toutes les applications linéaires continues à valeurs dansRouC. On munitX⁰ de la norme

kfk^X⁰ = sup

kukX1|f(u)|, f 2X⁰.

On vérifie facilement que c’est un espace de Banach. Le résultat suivant est une conséquence immédiate du théorème 2.13.

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Corollaire 2.14. SoitX un espace vectoriel complexe norm´e,E⇢X un sous- espace vectoriel, f :E!Cune fonction lin´eaire telle que

|f(u)|Ckuk pour toutu2E. (2.11) Alors il existef˜2X⁰ v´erifiant (2.7)avec p=Ck·k.

Le théorème de Hahn–Banach admet une interprétation géométrique. Pour des sous-ensemblesA, BdeX et une fonctionnellef 2X⁰, on écritf(A)f(B) (f(A)< f(B)) sif(a)f(b) (f(a)< f(b)) pour tout a2Aetb2B.

Théorème 2.15 (Hahn–Banach, forme géométrique). Soit X un espace de vectoriel réel normé, K ⇢ X un sous-ensemble convexe et u0 2 K un point interne. Alors pour tout point u 2 X \K il existe une fonctionnelle f 2 X⁰ non nulle telle que f(K)  f(u). De plus, si K est ouvert, alors on peut choisirf 2X⁰ telle que f(K)< f(u).

Démonstration. Sans perte de généralité, on peut supposer queu0= 0, et dans ce cas, K est un ensemble absorbant; c’est-à-dire, pour tout u 2 X il existe t=t(u)>0 tel que u2tK. On définit lafonctionnelle de Minkowski pour K par la formule

µK(u) = inf{t >0 :t ¹u2K}, u2X. (2.12) Commeu /2K, on aµK(u) 1. On définit une fonction linéaireg: Vect{u}! R telle que g(u) = 1. Alors |g(tu)|  |t|g(u)  µK(tu) pour tout t 2 R. D’après le théorème 2.12, il existe un prolongementf deg à l’espaceX tel que

|f(v)|  µK(v) pour tout v 2 X. En particulier, f(v) 1 = f(u) pour tout v2K. CommeK contient une boule ouverte de centre z´ero, on conclut que f est continue. Enfin, siK est ouvert, alors|f(v)|µK(v)<1 =f(u) pour tout v2K.

Corollaire 2.16. (a)SoitX un espace vectoriel norm´e,E⇢X un sous-espace vectoriel etu2X\E. Alors il existef 2X⁰telle quef(v) = 0pour toutv2E, kfk= 1 etf(u) = dist(u, E).

(b)SoientA, B deux ensembles convexes dans un espace vectoriel norm´eX tels queA\B =?etAest ouvert. Alors il existef 2X⁰ tel que f(A)< f(B).

Démonstration. Pour démontrer (a), il suffit de définir une fonctionnelle con- tinueg: VectE, u!Cpar la relation

g(↵u+v) =↵dist(u, E) pour tout↵2Cet v2E, et de la prolonger àX en utilisant le théorème 2.13.

Pour ´etablir (b), on choisit des points quelconques a0 2 Aet b0 2B. Soit u=b0 a0. AlorsK=A B+uest un ouvert convexe contenant z´ero etu /2K.

Le théorème (2.15) implique qu’il existef 2X⁰ telle que f(K)< f(u) = 1. Si maintenanta2Aetb2B, alorsa b+u2K, d’où on conclut que

f(a) f(b) =f(a b+u) 1<0.

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2.6 Dualit´ e dans les espaces de Banach

Théorème 2.17. SoitX un espace de Banach dont le dual X⁰ est un espace séparable. AlorsX est séparable.

Ce résultat implique, par exemple, que le dual de`₁ ne peut pas être égale

`

a`1. D’autre part, comme (`1)⁰ =`₁, l’inverse du th´eor`eme 2.17 est fausse.

Démonstration. Soit{fn}⇢X⁰ une suite dense de fonctionnelles non nulles et un 2Xdes vecteurs unités tels quefn(un) kfnk^X⁰ ¹n. Montrons que{un}est dense. En e↵et, si ce n’est pas le cas, alors l’espace vectorielEengendré par{un} n’est pas dense dans X. D’après le corollaire 2.16, il existe une fonctionnelle f 2 X⁰ non nulle qui s’annule sur E. Soit {nk} une suite d’entiers telle que fnk!f. Alors

0 =f(unk) fnk(unk) kf fnkk^X⁰ kfnkk^X⁰ 1

nk kf fnkk^X⁰ ! kfk^X⁰. Commekfk^X⁰ >0, on obtient une contradiction.

Théorème 2.18. SoitX un espace vectoriel normé etX⁰⁰ son deuxième espace dual. Alors il existe une isométrie naturellei:X !X⁰⁰.

On dit X est un espacer´eflexif si l’image deiest confondue avec X⁰⁰. Par exemple, l’espace`p est r´eflexif pour toutp2]1,1[, et les espaces`1 et`₁ ne le sont pas.

Démonstration. On définiti:X !X⁰⁰ par la formulei(u)(f) =f(u). Alorsi est une application linéaire telle que

ki(u)k^X⁰⁰= sup

kfkX01|f(u)| kuk pour toutu2X.

D’autre part, d’apr`es le corollaire 2.16 (a), il existef 2X⁰ telle quef(u) = 1 et kfk^X⁰ = 1. Il s’ensuite quei(u)(f) = 1, et l’on conclut queki(u)k^X⁰⁰= 1.

Corollaire 2.19. Un espace de Banach X est séparable et réflexif si et seulement si son dual X⁰ est séparable et réflexif.

Une partieAd’un espace vectoriel norméX est appelé unensemble total si l’espace vectoriel engendré par A est dense dans X. Pour des sous-ensembles A⇢X etF ⇢X⁰, on définit lesannulateurs par les formules

A ={f 2X⁰ :f(u) = 0 pour toutu2A}, F ={u2X :f(u) = 0 pour toutf 2F}. Il est clair que siA⇢B, alorsB ⇢A , et queA⇢A .

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Théorème 2.20. SoitX un espace vectoriel normé et A⇢X. Alors

Vect(A) =A . (2.13)

En particulier, A est un ensemble total si et seulement si A = {0}, et un sous-espaceE⇢X est ferm´e si et seulement siE =E.

Démonstration. Il est facile à vérifier que Vect(A) = A . Il suffit donc de montrer que siEest un sous-espace fermé, alorsE =E.

Soit u2 E. Alors pour toutf 2 E , on a f(u) = 0, d’où on conclut que E ⇢ E . Réciproquement, si u /2E, alors d’après le corollaire 2.16, il existe f 2 X⁰ telle que f(v) = 0 pour tout v 2 E et f(u) = 1. Il s’ensuit que u /2E .

Etant donnés deux espaces de Banach´ X, Y et un opérateur A2L(X, Y), on définit son dualA^⇤:Y⁰ !X⁰ par

(A^⇤f)(u) =f(Au), f 2Y⁰, u2X.

Théorème 2.21. SoientX, Y deux espaces vectoriels normés. Alors l’application F : L(X, Y)! L(Y⁰, X⁰) qui associe à A son dual A^⇤ est une isométrie linéaire. De plus, pour tout A2L(X, Y)on a

(ImA) = KerA^⇤, KerA^⇤ = ImA, (ImA^⇤) = KerA. (2.14) Démonstration. Le linéarité de F est évidente. Le théorème de Hahn–Banach implique que

kAkL(X,Y)= sup

kuk1,kfkY01|f(Au)|= sup

kuk1,kfkY01|(A^⇤f)(u)|=kA^⇤kL(Y⁰,X⁰). Cela signifie queF pr´eserve la norme.

Le démonstration des relations (2.14) est facile, et nous nous contentons d’établir la première. Soitf 2(ImA) . Alors 0 =f(Au) = (A^⇤f)(u) pour tout u2X, d’où on conclut quef 2KerA^⇤. Réciproquement, si f 2KerA^⇤, alors A^⇤f = 0 et doncf(Au) = 0 pour toutu2X.