Exercices Proportionnalité
316_Prop_ex_corrigé Source : Hachette Phare 2008Ex 1. Vu au brevet. Une entreprise fabrique des saladiers en faïence.
Partie A : Les saladiers sont vendus 5,50 euros pièce.
1. Quel est le prix de vente de 800 saladiers ? 800 saladiers coûtent 800 × 5,50 = 4 400 euros.
2.a. Soit 𝑥 le nombre de saladiers achetés par un supermarché. Déterminer le prix en euros 𝑓(𝑥) qu’il paiera à l’entreprise. Que dire de cette fonction ?
𝑓(𝑥) = 5,50𝑥 𝑓 est une fonction linéaire.
b. Déterminer le nombre dont l’image par la fonction 𝑓 est 6 600. Interpréter le résultat.
On cherche 𝑥 tel que 𝑓(𝑥) = 6 600. Soit 5,50𝑥 = 6 600. Donc : 𝑥 =6 600
5,50 = 1 200
Interprétation : Le prix de vente de 1 200 saladiers est de 6 600 euros.
c. Représenter graphiquement la fonction 𝑓 dans un repère orthogonal.
On prendra :
- l’origine du repère en bas à gauche ; - en abscisses, 1 cm pour 400 saladiers ; - en ordonnées, 1 cm pour 400 euros.
ci-contre
3. En utilisant le graphique, retrouver le résultat de la question 2.b.
Faire apparaître les tracés nécessaires.
ci-contre
Partie B : Le responsable du supermarché a relevé le nombre de saladiers vendus par chacune de ses quatre vendeuses et l’a inscrit dans le tableau suivant :
Nom de la vendeuse Sofia Natacha Lorie Magali
Nombre de saladiers vendus 220 200 290 250
1. Combien de saladiers ont été vendus au total ?
Au total, 220 + 200 + 290 + 250 = 960 saladiers ont été vendus.
2. Calculer le pourcentage de saladiers vendus par Natacha. Arrondir le résultat à 0,1 % près.
200
960× 100 ≈ 20,8
Natacha a vendu environ 20,8% des saladiers
3. Le responsable du supermarché constate qu’il a vendu 80% de son stock. Combien avait-il acheté de saladiers ?
960 saladiers représentent 80% du stock.
Calcul du nombre de saladiers dans le stock : 100 × 960
80 = 1 200 Le responsable avait donc acheté 1 200 saladiers.
6 600
1 200
Ex 2. 1. Déterminer la fonction linéaire qui modélise une augmentation de :
a) 12% b) 26% c) 2%
𝑎(𝑥) = 1,12𝑥 𝑏(𝑥) = 1,26𝑥 𝑐(𝑥) = 1,02𝑥
2. Déterminer la fonction linéaire qui modélise une diminution de :
a) 17% b) 23% c) 67%
𝑎(𝑥) = 0,83𝑥 𝑏(𝑥) = 0,77𝑥 𝑐(𝑥) = 0,33𝑥
Ex 3. On considère les fonctions suivantes :
𝒇: 𝑥 ⟼ 1,45𝑥 𝒈: 𝑥 ⟼ 0,78𝑥 𝒉: 𝑥 ⟼ 0,25𝑥 𝒊: 𝑥 ⟼ 1,63𝑥 𝒋: 𝑥 ⟼ 0,63𝑥 𝒌: 𝑥 ⟼ 2,1𝑥
Chaque fonction modélise une augmentation ou une diminution. Dans chaque cas, déterminer le pourcentage d’augmentation ou de diminution.
𝑓 : augmentation de 45% 𝑔 : diminution de 22%
ℎ : diminution de 75% 𝑖 : augmentation de 63%
𝑗 : diminution de 37% 𝑘 : augmentation de 110%
Ex 4. Une augmentation ou une diminution peut être modélisée par une fonction linéaire de coefficient 𝒂. Pour chaque évolution, retrouver le coefficient de la fonction linéaire associée.
Evolution 𝒂
Augmentation de 4% 1,044
Diminution de 4% 0,6
Diminution de 40% 0,96
Augmentation de 4,4% 1,44
Diminution de 40,4% 1,04
Augmentation de 44% 0,596
v
Ex 5. a. Un baladeur MP3 coûte 45 €. Calculer son prix après une remise de 12%.
𝑃𝑟𝑖𝑥𝑎𝑝𝑟è𝑠 𝑟𝑒𝑚𝑖𝑠𝑒 = (1 − 12
100) × 𝑃𝑟𝑖𝑥𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙 = 0,88 × 45 = 39,60 €
b. Un lecteur multimédia MP4 coûtant 104,50 € est affiché à 77,33 € lors d’une vente flash. Quel est le pourcentage de réduction ?
Soit 𝑥 le pourcentage de réduction. On cherche 𝑥 tel que : (1 − 𝑥
100) × 104,5 = 77,33 1 − 𝑥
100= 77,33 104,5
1 − 𝑥
100= 0,74 1 − 0,74 = 𝑥
100 0,26 × 100 = 𝑥
26 = 𝑥
Le pourcentage de réduction est donc de 26%
c. Après une augmentation de 4%, le prix d’un lecteur CD est de 286 €. Quel était son prix initial ? Soit 𝑥 l’ancien prix. On cherche 𝑥 tel que :
(1 + 4
100) × 𝑥 = 286 1,04 × 𝑥 = 286
𝑥 = 286 1,04
𝑥 = 275 €
Le prix initial était donc 275 euros.
Ex 6. Au 31 décembre 2005, Microville comptait 20 000 habitants. En 2006, la population a augmenté de 10%. L’année suivante, elle a diminué de 10%.
1. Combien y avait-il d’habitants à Microville au 31 décembre 2007 ? Justifier la réponse.
𝐻𝑎𝑏 2005 = 20 000
𝐻𝑎𝑏 2006 = (1 + 10
100) × 𝐻𝑎𝑏 2005 = 1,10 × 20 000 = 22 000 𝐻𝑎𝑏 2007 = (1 − 10
100) × 𝐻𝑎𝑏 2006 = 0,90 × 22 000 = 19 800
2. Quelle a été l’évolution en pourcentage entre le 31 décembre 2005 et le 31 décembre 2007 ? Soit 𝑥 le pourcentage de réduction entre 2005 et 2007. On cherche 𝑥 tel que :
(1 − 𝑥
100) × 20 000 = 19 800 1 − 𝑥
100= 19 800 20 000 1 − 𝑥
100= 0,99 1 − 0,99 = 𝑥
100 0,01 × 100 = 𝑥
1 = 𝑥
La population a réduit de 1% entre 2005 et 2007.
Ex 7. Vu au brevet. Lors des soldes, un commerçant décide d’appliquer une réduction de 30%
sur l’ensemble des articles de son magasin.
1. L’un des articles coûte 54 € avant la réduction. Calculer son prix après la réduction.
Soit 𝑥 le prix après la réduction.
On cherche 𝑥 tel que : 𝑥 = (1 − 30
100) × 54 𝑥 = 0,7 × 54
𝑥 = 37,80 €
2. Le commerçant utilise la feuille de calcul ci-dessous pour calculer les prix des articles soldés.
a. Pour calculer la réduction, quelle formule a-t-il pu saisir dans la cellule B2 avant de l’étirer sur la ligne 2 ?
Dans B2 : =B1*30/100
b. Pour obtenir le prix soldé, quelle formule peut-il saisir dans la cellule B3 avant de l’étirer sur la ligne 3 ?
Dans B3 : =B1-B2 ou =0,7*B1
3. Le prix soldé d’un article est 42,00 €. Quel était son prix initial ? Soit 𝑥 le prix initial. On cherche 𝑥 tel que :
(1 − 30
100) × 𝑥 = 42 0,7 × 𝑥 = 42
𝑥 = 42 0,7 𝑥 = 60 €
Ex 8. Vu au brevet. En 2016, le football féminin comptait en France 98 800 licenciées alors qu’il y en avait 76 000 en 2014. Un journaliste affirme que le nombre de licenciées a augmenté de 30%
de 2014 à 2016. Vrai ou faux ? Justifier.
Une augmentation de 30% revient à multiplier le nombre initial par 1,3.
1,3 × 𝐿𝑖𝑐𝑒𝑛𝑐𝑖é𝑒𝑠2014 = 1,3 × 76 000 = 98 800 = 𝐿𝑖𝑐𝑒𝑛𝑐𝑖é𝑒𝑠2016
Le journaliste a raison, le nombre de licenciées a augmenté de 30%.
Ou : on cherche 𝑥 tel que : (1 + 𝑥
100) × 76 000 = 98 800 1 + 𝑥
100= 98 800 76 000 1 + 𝑥
100= 1,3 𝑥
100= 1,3 − 1 𝑥 = 0,3 × 100 𝑥 = 30
Le journaliste a raison, le nombre de licenciées a augmenté de 30%.
Ex 9. 1. Maël achète un appareil photo. Il bénéficie d’une remise de 15% et paye 296,65 €. Quel était le prix de l’appareil photo avant la remise ? Justifier la réponse.
Soit 𝑥 le prix avant la remise.
On cherche 𝑥 tel que : (1 − 15
100) × 𝑥 = 296,65 0,85 × 𝑥 = 296,65
𝑥 =296,65 0,85 𝑥 = 349 €
2. Le salaire de Martine augmente de 3%. Elle gagne désormais 1545 € par mois. Quel était son salaire avant l’augmentation ? Justifier la réponse.
Soit 𝑥 le salaire avant augmentation.
On cherche 𝑥 tel que : (1 + 3
100) × 𝑥 = 1 545 1,03 × 𝑥 = 1 545
𝑥 =1 545 1,03 𝑥 = 1 500 €
Ex 10. Vu au brevet. En 2004, une entreprise a vu augmenter ses ventes de 30%. En 2005, les ventes ont encore augmenté, cette fois-ci de 20%. Calculer l’augmentation globale en
pourcentage sur ces deux années.
On cherche à déterminer les ventes de 2005 en fonction des ventes de 2003 : 𝑉2004= (1 + 30
100) × 𝑉2003= 1,30 × 𝑉2003 𝑉2005= (1 + 20
100) × 𝑉2004= 1,20 × 𝑉2004 𝑉2005= 1,20 × 1,30 × 𝑉2003
𝑉2005= 1,56 × 𝑉2003
𝑉2005= (1 + 56
100) × 𝑉2003
L’augmentation globale entre 2003 et 2005 est donc de 56%.
