TD10 : Produit tensoriel

(1)

Ecole Normale Sup´´ erieure 1`ere ann´ee

Ann´ee 2015-2016 Alg`ebre 1

TD10 : Produit tensoriel

Exercices ?: à préparer à la maison avant le TD, seront corrigés en début de TD.

Exercices ??: seront trait´es en classe en priorit´e.

Exercices ? ? ?: plus difficiles.

Exercice 1 : ?

SoitK un corps, et soientA etB desK-alg`ebres.

a) D´efinir une structure de K-alg`ebre sur A⊗_KB.

b) Montrer que lesK-alg`ebres K[X]⊗_KK[Y] etK[X, Y] sont isomorphes.

c) Montrer que le morphisme naturel de K-alg`ebres deK(X)⊗_KK(Y) vers K(X, Y) est injectif mais non surjectif.

Solution de l’exercice 1.

a) On sait que A⊗_K B est naturellement muni d’une structure de K-espace vectoriel. Il reste à définir la multiplication. Pour cela, on remarque par exemple que la multiplication sur A est une application bilinéaireA×A→A, donc elle induit une application linéairemA:A⊗A→A.

On dispose donc d’une application lin´eaire naturelle

m_A⊗m_B : (A⊗A)⊗(B⊗B)→A⊗B

définie sur les tenseurs purs par (m_A⊗m_B)(a⊗a⁰⊗b⊗b⁰) =aa⁰⊗bb⁰. Alors la commutativité et l’associativité du produit tensoriel permettent d’identifier cette application à une application linéaire

mA⊗B : (A⊗B)⊗(A⊗B)→A⊗B ,

correspondant à une application bilinéairem: (A⊗B)×(A⊗B)→A⊗Bqui est la multiplication souhaitée. Par construction, elle vérifiem(a⊗b, a⁰⊗b⁰) = (aa⁰)⊗(bb⁰).

En utilisant le fait que les multiplicationsmAet mB munissentA etB d’une structure de K- algèbre, il est facile de vérifier quemmunitA⊗B d’une structure deK-algèbre : par exemple, on vérifie que

(a₁⊗b₁+a₂⊗b₂)a⁰⊗b⁰ = (a₁⊗b₁)(a⁰⊗b⁰) + (a₂⊗b₂)(a⁰⊗b⁰) =a₁a⁰⊗b₁b⁰+a₂a⁰⊗b₂b⁰, et queK est central dans l’alg`ebreA⊗B ainsi d´efinie.

Une variante consiste à considérer, pour tout (a, b) ∈ A×B, l’application bilinéaire m_a,b : A×B → A⊗B définie par (a⁰, b⁰) 7→ aa⁰ ⊗bb⁰. Elle induit naturellement une application linéaire m_a,b : A⊗B → A ⊗B. Il est facile de voir que l’application m : (a, b) 7→ m_a,b est une application bilinéaire m : A×B → End_K(A⊗B), donc elle induit une application linéaireM :A⊗B →EndK(A⊗B). Il est alors clair que M induit une application bilinéaire M⁰: (A⊗B)×(A⊗B)→A⊗B, qui est la multiplication souhaitée.

b) L’application naturelle K[X]×K[Y]→ K[X, Y] définie par (P(X), Q(Y))7→ P(X)Q(Y) est clairement bilinéaire, donc elle induit une application linéaireϕ:K[X]⊗_KK[Y]→K[X, Y]. Il est facile de voir queϕest un morphisme deK-algèbres (pour la structure deK-algèbre définie en a)).

On voit ensuite queϕenvoie la base (Xⁱ⊗Y^j)_(i,j)∈_N2 deK[X]⊗K[Y] sur la base (XⁱY^j)_(i,j)∈_N2

de K[X, Y], doncϕest un isomorphisme.

On peut également considérer l’application linéaireψ:K[X, Y]→K[X]⊗_KK[Y] définie par P

m,nλm,nX^mYⁿ7→P

m,nλm,nX^m⊗Yⁿ (ces sommes sont finies), et v´erifie queψ◦ϕetϕ◦ψ sont bien les applications identit´e sur chacun des espaces en question.

(2)

c) On dispose comme en b) d’une application lin´eaire naturelle ϕe:K(X)⊗_KK(Y) →K(X, Y), d´efinie parϕ(f(X)⊗fe (Y)) =f(X)g(Y). On voit que l’image deϕeest incluse dans le sous-espace strict

V :=

R(X, Y)∈K(X, Y) :∃(Q₁(X), Q₂(Y))∈K[X]×K[Y], R(X, Y)Q₁(X)Q₂(Y)∈K[X, Y] . Ceci montre bien que ϕe n’est pas surjective, puisque par exemple l’´el´ement _X_+Y¹ ∈ K(X, Y) n’est pas dans V.

D´efinissons

ψe: V → K(X)⊗_KK(Y)

P

m,nλ_m,nX^mYⁿ

Q1(X)Q2(Y) 7→ P

m,nλm,n

X^m

Q1(X) ⊗ Yⁿ Q2(Y)

.

On constate facilement queψeest bien définie et queψe◦ϕeest l’identité, ce qui assure l’injectivité voulue.

Exercice 2 : ?

a) Notons M₂(C) la C-algèbre des matrices 2×2 à coefficients dans C et H la R-algèbre des quaternions. Montrer que lesC-algèbres M2(C) et H⊗_RC sont isomorphes.

b) Montrer queH⊗_RHest isomorphe `a M₄(R).

a) On constate d’abord que H⊗_RC est naturellement munie d’une structure de C-alg`ebre : on a un isomorphisme naturel de C-espaces vectoriels H⊗_RC ∼= C⊕Ci⊕Cj⊕Ck, avec i²=j² =k² =−1, etij =−ji=k.

Par cons´equent, il est facile de v´erifier que l’application 1⊗a+i⊗b+j⊗c+k⊗d7→

a+bi c+di

−c+di a−bi

d´efinit bien un isomorphisme de C-alg`ebres H⊗C−→^∼ Mat₂(C).

b) On va montrer queH⊗_RHest isomorphe à Mat2(R)⊗_RMat2(R) (qui est isomorphe à Mat4(R), puisque pour touteK-algèbre A, on a que Mat_n(K)⊗_KA'Mat_n(A)).

On considère la sous-R-algèbreAde dimension 4 deH⊗_RHengendrée par 1⊗1, i⊗1, j⊗j, k⊗j (on vérifie que le sous-espace vectoriel engendré par ces quatre vecteurs est bien une sous- algèbre). Alors l’application linéaire a :A → Mat₂(R) définie par a(1⊗1) := I₂, a(i⊗1) :=

0 −1

1 0

, a(j ⊗j) :=

0 1 1 0

et a(k⊗j) :=

−1 0

0 1

est bien un isomorphisme de R-algèbres. De même, on définit la sous-R-algèbre B de dimension 4 de H⊗_RH engendrée par 1⊗1,1⊗j, i⊗k, i⊗i (on vérifie que le sous-espace vectoriel engendré par ces quatre vecteurs est bien une sous-algèbre). Alors on voit que l’isomorphisme linéaireA→B défini par 1⊗1 7→1⊗1, i⊗17→1⊗j,j⊗j 7→i⊗k etk⊗j7→i⊗i est un morphisme deR-algèbres, doncB ∼= Mat2(R) commeR-algèbres.

Enfin, les deux sous-R-algèbres A et B commutent dans H⊗_RH, donc l’application linéaire naturelle A⊗_RB → H⊗_RH induite par la multiplication dans H⊗_RH (i.e. (a, b) 7→ ab) est un morphisme de R-algèbres. On vérifie enfin que c’est un isomorphisme en calculant les dimensions et en montrant par exemple que l’image contient des générateurs de H⊗_RH.

Plus directement, notons σ_i =

1 0 0 −1

, σ_j =

0 1

−1 0

et σ_k =

0 1 1 0

. On pose ensuite

α(1⊗1) = 1⊗1, α(i⊗1) =σ_i⊗σ_j, α(j⊗1) =σ_j⊗1, α(k⊗1) =σ_k⊗σ_j. Ces matrices vérifient les mêmes relations que les générateurs de H. Faisons la même chose de manière symétrique :

α(1⊗1) = 1⊗1, α(1⊗i) =σ_j⊗σ_i, α(1⊗j) = 1⊗σ_j, α(1⊗k) =σ_j⊗σ_k.

(3)

Cela suffit pour prolongerαen un morphisme d’alg`ebresH⊗_RH→Mat₂(R)⊗_RMat₂(R), dont on v´erifie (en calculant les dimensions) que c’est un isomorphisme.

Exercice 3 : ??

a) Soient U et V des espaces vectoriels (sur un corpsK). On note U^∗ = Hom_K(U, K) le dual de U. Expliciter une application linéaire naturelle injective Φ :U^∗⊗_KV →HomK(U, V). Quelles sont les images des tenseurs décomposés (c’est-à-dire les λ⊗v avec λ∈U^∗ et v∈V) ? Quelle est l’image de l’application Φ ? Quand est-elle un isomorphisme ?

b) SoientE etF deux K-espaces vectoriels de dimension finie. Que vaut

x∈E⊗Fmax min (

n∈N:∃(e₁, . . . , en)∈Eⁿ et (f1, . . . , fn)∈Fⁿ, x=

n

X

i=1

ei⊗fi

)

?

a) On définit φ : U^∗ ×V → HomK(U, V) par φ(ϕ, v) := ϕ(.)v. Il est clair que l’application φ est bilinéaire, donc elle induit une application Φ : U^∗⊗_KV → Hom_K(U, V). Il est clair que l’image de Φ est exactement le sous-espace W ⊂ Hom_K(U, V) des applications linéaires de rang fini. Par construction, les tenseurs décomposés sont envoyés sur les applications linéaires de rang 1. En outre, pour tout f ∈ W, on choisit une base (vi)1≤i≤n de Im (f), de sorte que f =Pn

i=1f_i(.)v_i, avec f_i ∈ U^∗. La formule de changement de bases assure que l’´el´ement Ψ(f) :=Pn

i=1fi⊗vi ∈U^∗⊗_KV ne dépend pas de la base (vi) choisie. Cela permet de définir une application linéaire Ψ :W →U^∗⊗_KV telle que Ψ◦Φ = id, ce qui assure que Φ est injective (d’imageW).

Finalement, Φ est un isomorphisme si et seulement si tout application lin´eaire U → V est de rang fini si et seulement siU ou V est de dimension finie.

b) La question a) assure que l’on a un isomorphisme canonique Φ :E⊗_KF −^∼→Hom_K(E^∗, F), et que si pour toutx∈E⊗_KF, on note

rg(x) := min (

n

X

i=1

ei⊗fi

) ,

alors on a rg(x) = rg(Φ(x)), o`u le second rang est le rang classique d’une application lin´eaire.

Par cons´equent, on voit imm´ediatement que l’on a

x∈E⊗Fmax min (

n

X

i=1

ei⊗fi

)

= min{dim(E),dim(F)}. Remarque : la question plus générale du nombre maximal de tenseurs décomposables dont on

a besoin pour écrire un élément quelconque de E1⊗_K· · · ⊗_KEn, où les Ei sont desK-espaces vectoriels de dimension finie, est très difficile si n ≥ 3. Cette question est encore largement ouverte, et la réponse dépend du corpsK...

Exercice 4 :

SoitK un corps et soit E un espace vectoriel de dimension finie sur K. Soitn≥1 un entier. Montrer que le dual (VnE)^∗ de VnE est canoniquement isomorphe `aVnE^∗.

Solution de l’exercice 4. D´efinissons l’application bilin´eaire suivante b: (E^∗)ⁿ×Eⁿ → K

((αi)i,(xj)j) 7→ det((αi(xj))ij) .

Pour tout (xj)j, l’applicationb(·,(xj)) est altern´ee et passe donc au quotient pour d´efinirVn

E^∗×Eⁿ→ K. De la même manière, c’est encore alterné en l’autre variable et b induit donc une application

(4)

bilinéaireb:VnE^∗×VnE →K. Cette dernière est non dégénérée : il suffit de prendre pour (α_i)_i la base duale de (x_i) pour obtenir 1.

L’application (αi)i 7→b((αi),·) est l’isomorphisme Vn

E^{∗ ∼}−→ Vn

E∗

recherch´e.

Exercice 5 :

Soit n ≥ 1 un entier, soit K un corps et soit E un espace vectoriel de dimension n sur K. Montrer que le dual (Vi

E)^∗ deVi

E est non canoniquement isomorphe `aVn−i

E.

Solution de l’exercice 5. L’application naturelleVi

E×Vn−i

E→Vn

E compos´ee avec l’isomorphisme non canonique (voir cours) VnE ' K montrent que (ViE)^∗ est non canoniquement isomorphe `a Vn−i

E.

Exercice 6 : ??

Soit K un corps et soient E et F des K-espaces vectoriels de dimension finie. Soit n≥ 1 un entier.

Montrer que l’on a une bijection entre l’ensemble des applications linéaires VnE → F et l’ensemble des applicationsn-linéaires alternéesEⁿ→F.

Solution de l’exercice 6. Si f :V_n

E→F, on peut lui associer (e_i)_i 7→f(e₁∧ · · · ∧e_n).

On peut construire l’application r´eciproque de la mani`ere suivante : notons φ : VnE^{∗ ∼}−→ VnE∗

l’isomorphisme de l’exercice 4. Notons (f1, . . . , fr) une base de F et (f₁^∗, . . . , f_r^∗) la base duale. Si g : Eⁿ → F est n-lin´eaire altern´ee, on lui associe P

jφ(f_j^∗ ◦g)f_j. On vérifie ensuite que c’est bien l’inverse de l’application précédente.

Exercice 7 : ??

SoitK un corps et soit E un K-espace vectoriel. Soientu1, . . . , ur des ´el´ements de E.

a) Montrer que l’on au1∧ · · · ∧ur6= 0 dansVr

E si et seulement si la famille (u1, . . . , ur) est libre dansE.

b) Montrer que l’on au₁∧ · · · ∧u_r 6= 0 dansVrE si et seulement s’il existe une forme altern´eef surE telle que f(u₁, . . . , u_r)6= 0.

a) Si on a une relation lin´eaire non triviale λ₁u₁+· · ·+λ_ru_r = 0 avec les λ_i dans K, on peut supposerλi0 = 1 pour un certain i0. Alors on a

u1∧ · · · ∧ur=−X

j6=i₀

λju1∧ · · · ∧ui0−1∧uj∧ui0+1∧. . . ur= 0.

Si la famille (u_i)_i est libre, notons F le sous-espace de E engendr´e par ces vecteurs : la droite VrF ⊆VrE est alors engendr´ee paru₁∧ · · · ∧u_r.

b) Siu₁∧ · · · ∧u_r est non nul, notonsF le sous-espace de E de base (u₁, . . . , u_r). Alors la forme lin´eaireVr

F →K d´efinie paru1∧ · · · ∧ur 7→1 peut se prolonger par 0 sur un suppl´ementaire deV_r

F dansV_r

E et on obtient une forme lin´eairef :V_r

E →Ktelle quef(u₁∧ · · · ∧u_r)6= 0.

La r´eciproque est ´evidente.

Exercice 8 :

SoitK un corps et soient E etF desK-espaces vectoriels. Soitn≥1 un entier et soitu:E→F une aplication lin´eaire.

a) D´efinir une application lin´eaire “naturelle” Vn

u:Vn

E →Vn

F.

b) Supposons que le rang deu est fini ´egal `a un entier r. Montrer que si n≤r, alors le rang de Vnu est ⁿ_r

, et sin > r, l’applicationVnu est nulle.

a) Il s’agit de Vn

u:x1∧ · · · ∧xn7→u(x1)∧ · · · ∧u(xn).

(5)

b) On v´erifie que l’image de Vnu est Vn Im (u)

, ce qui assure le r´esultat.

Exercice 9 :

SoitK un corps et soientA etB desK-alg`ebres gradu´ees.

a) Montrer qu’il existe sur A⊗_KB une structure naturelle deK-algèbre graduée telle que (a⊗b)(a⁰⊗b⁰) = (−1)^(deg^b)(degâ⁰⁾(aa⁰⊗bb⁰).

On note A⊗^su_K B l’alg`ebre ainsi obtenue.

b) SoientV etW des espaces vectoriels surK. Montrer que l’on a un isomorphisme deK-alg`ebres

^(V ⊕W)'^

V ⊗^su_K ^ W.

a) D’abord, la multiplication ainsi d´efinie est bien associative. Ensuite, la distributivit´e par rapport

`

a l’addition permet de d´efinir la multiplication surA⊗B et de lui fournir la structure d’alg`ebre voulue (voir aussi l’exercice 1).

b) En tant queK-espaces vectoriels, l’isomorphisme est clair puisque l’on a, pour toutn≥0, un isomorphisme naturel :

^n

(V ⊕W)'

n

M

k=0

^k

V

⊗_K

^n−k

W

, et ce dernier espace est exactement le sous-espace vectoriel de (V

V)⊗_K (V

W) form´e des

éléments de degrén.

Reste à vérifier la compatibilité avec la multiplication, qui se fait sur les tenseurs indécomposables.

Pour cela,

soient n, n⁰∈N,0≤k≤n,0≤k⁰ ≤n⁰, v₁, . . . , v_k, v⁰₁, . . . , v⁰_k⁰ ∈V, w_k+1, . . . , w_n, w_k⁰⁰₊₁, . . . , w_n⁰⁰ ∈W . On calcule le produit suivant dans V

(V ⊕W) :

(v1∧ · · · ∧v_k∧w_k+1∧ · · · ∧wn)∧(v⁰₁∧ · · · ∧v_k⁰⁰ ∧w⁰_k⁰₊₁∧ · · · ∧w⁰_n⁰) = (−1)^(n−k)k⁰v_I∧w_J, où on a posé vI =v1∧ · · · ∧v_k∧v₁⁰ ∧ · · · ∧v⁰_k0 etwJ =w_k+1∧ · · · ∧wn∧w_k⁰0+1∧ · · · ∧w_n⁰0. Or par définition de⊗^su, on a dansV

V ⊗^su_K V W :

(v₁∧ · · · ∧v_k⊗w_k+1∧ · · · ∧w_n)·^su(v₁⁰ ∧ · · · ∧v⁰_k0⊗w⁰_k0+1∧ · · · ∧w_n⁰0) = (−1)^(n−k)k⁰v_I⊗w_J, ce qui assure que l’isomorphisme naturel deK-espaces vectoriels entreV

(V ⊕W) et (V V)⊗^su_K (V

W) est bien un isomorphisme de K-alg`ebres.

Exercice 10 :

SoitK un corps et soit E un K-espace vectoriel.

a) Supposons E de dimension finie. On note V

E = L

n

Vn

E et on écrit tout élément z ∈V E sous la forme z=P

n≥0z_n. Montrer quez∈V

E est inversible si et seulement siz₀ 6= 0.

b) Montrer que tout ´el´ementz∈V

E appartient `a unV

F pour un certain sous-espaceF ⊂E de dimension finie. En d´eduire une description des inversibles de V

E.

a) Notons r la dimension de E. Si z est inversible d’inverse y, en projetant sur la composante en degré 0 de l’algèbre extérieure la relation zy = 1 dansV

E, on voit que z0y0 = 1, donc la condition est n´ecessaire.

R´eciproquement, supposonsz0 6= 0. On v´erifie quez₀⁻¹

r

P

i=0

−z₀⁻¹ P

n≥1

zn

∧i

est une somme finie dansV

E qui est l’inverse dez.

(6)

b) Seuls un nombre fini dez_n sont non nuls. Chacun s’´ecrit alors comme une somme finie zn=z_n,1⁽¹⁾∧ · · · ∧z⁽¹⁾_n,n+· · ·+z_n,1^(αⁿ⁾∧ · · · ∧z_n,n^(αⁿ⁾.

Il suffit alors de consid´erer pourF le sous-espace deE engendr´e par tous lesz_n,i^k avec n≥0 tel quez_n6= 0, 1≤i≤net 1≤k≤α_n. Alorsz∈V

F ⊂V E.

La question a) assure alors que si z₀ 6= 0, alors z est inversible dans V

F, donc dans V E.

R´eciproquement, sizest inversible dansV

Ed’inversey, alors il existe un sous-espace vectoriel G⊂E de dimension finie tel que y, z ∈V

G⊂V

E, et la question a) assure que z₀ 6= 0.

Exercice 11 : ??

Soit n ≥ 1 un entier. Soient F ⊂ E des corps tels que E est un F-espace vectoriel de dimension n, de base (1, x1, . . . , xn−1). On suppose l’existence d’un groupe G de cardinal n, compos´e de F- automorphismes de E, tel que le corpsE^G={e∈E | ∀g∈G, ge=e} est exactement F.

a) Montrer que les éléments de Gsont linéairement indépendants.

b) SoitV unE-espace vectoriel, muni d’une action semi-linéaire deG. On définit le sous-F-espace vectoriel des G-invariants par V^G := {v ∈ V | ∀g ∈ G gv = v}. Prouver que l’application naturelleE-linéaireη :V^G⊗_F E →V commute à l’action de G.

c) Montrer que η est un isomorphisme.

a) On raisonne par l’absurde. Soit λ₁g₁+· · ·+λ_kg_k = 0 dans End_F(E) ⊂ EÊ une relation de dépendance linéaire surEde longueurkminimale (avec lesgi∈Gdeux-à-deux distincts etλi ∈ E^∗pour touti). On peut supposerk≥2. Comme les caractèresgisont distincts, on a l’existence d’un élément y ∈ E avec g₁(y) 6= g₂(y). On a alors, pour tout x ∈ E, g₁(y)P

iλ_ig_i(x) = 0, et aussi P

iλigi(xy) = P

iλigi(x)gi(y) = 0. En soustrayant ces deux égalités, on obtient une combinaison linéaire non triviale et strictement plus courte, à savoir

λ2(g2(y)−g1(y))g2+· · ·+λk(gk(y)−g1(y))gk= 0, ce qui contredit la minimalit´e de la relation initiale.

b) Tout d’abord, on dispose bien d’une applicationE-linéaireη :V^G⊗_F E → V puisque l’appli- cationV^G×E→V définie par (v, e)7→ev est bilinéaire.

Pour toutg∈G, et tous v∈V^G ete∈E, on a

η(g·(v⊗e)) =η(v⊗g(e)) =η(g(v)⊗g(e)) =g(e)g(v) =g(ev), doncη est bienG-´equivariante.

c) Montrons d’abord que η est surjective. Notonsg₁= Id, . . . , g_n les éléments deG. On renomme aussi x0 := 1 ∈ E. Soit v un élément non nul de V. Posons, pour tout j ∈ {0, . . . , n−1}, vj := P

igi(xjv)∈V^G. Par la question a), la matrice (gi(xj))i,j est inversible, et en inversant le système précédent, on obtient les g_i(v) comme combinaisons linéaires des v_j. La relation donnantg0(v) affirme alors la surjectivité souhaitée.

Montrons ensuite que η est injective. Si ce n’est pas le cas, il existe une famille (v1, . . . , vm) de vecteurs deV^G qui estF-libre mais nonE-libre. On suppose l’entierm minimal pour cette propriété. On dispose d’une combinaison linéaire non trivialeP

iλ_iv_i = 0 surE. Comme lesλ_i ne sont pas tous dans F, on peut supposerλ1 ∈/ F et λm = 1. Commeλ1 ∈/ F =E^G, il existe g∈G tel queg(λ₁)6=λ₁. On obtient alors une relation

m−1

P

i=1

(g(λ_i)−λ_i)v_i= 0, qui contredit la minimalit´e de m. Doncη est bien injective.

Exercice 12 : ??

SoitK un corps.

(7)

a) D´efinir une notion de suite exacte deK-espaces vectoriels.

b) Soit 0→ V₁ → V₂ → V₃ → 0 une suite exacte de K-espaces vectoriels. Soit ´egalement W un K-espace vectoriel.

i) Montrer que la suite

0→Hom_K(V₃, W)→Hom_K(V₂, W)→Hom_K(V₁, W)→0 est une suite exacte.

ii) Montrer que la suite

0→V1⊗_KW →V2⊗_KW →V3⊗_KW →0 est une suite exacte.

a) Soient (En)n∈Z des K-espaces vectoriels et fn :En → En+1 des applications lin´eaires. On dit que la suite

. . .−−−→^fⁿ⁻² En−1 fn−1

−−−→En fn

−→En+1 fn+1

−−−→. . .

est exacte en rangn(ou en En) si et seulement si Im (fn−1) = Ker(fn). On dit que la suite est exacte si elle est exacte en rangnpour toutn∈Z.

b) On notef :V₁ →V₂ etg:V₂ →V₃ les deux morphismes non triviaux de la suite exacte.

i)

— Montrons que la compos´ee HomK(V3, W) → HomK(V2, W) → HomK(V1, W) est l’application nulle. Soit ϕ : V3 → W une application lin´eaire. Alors l’image de ϕ dans Hom_K(V₂, W) est ϕ◦get son image dans Hom_K(V₁, W) estϕ◦g◦f. Or la suite initiale est exacte, donc g◦f = 0, donc l’image de ϕdans Hom_K(V₁, W) est nulle.

— Montrons maintenant que le noyau de HomK(V2, W)→HomK(V1, W) est contenu dans l’image de Hom_K(V₃, W) → Hom_K(V₂, W). Soit ϕ : V₂ → W dans ce noyau, i.e. tel que ϕ◦f = 0. Alors f(V₁) ⊂ Ker(ϕ), donc le théorème de factorisation assure que ϕ se factorise en une application linéaire V2/f(V1) → W. Or g induit un isomorphisme V₂/f(V₁)'V₃, donc ϕse factorise en ϕ:V₃ → W de sorte que ϕ◦g =ϕ. Cela assure queϕ est l’image deϕ par l’application naturelle Hom_K(V₃, W)→Hom_K(V₂, W).

— Montrons que l’application HomK(V3, W)→ HomK(V2, W) est injective. Soit ϕ:V3 → W tel queϕ◦g= 0. Commeg est surjective par hypothèse, il est clair que cela implique queϕ= 0, d’où l’injectivité souhaitée.

— Montrons que l’application HomK(V2, W)→HomK(V1, W) est surjective. Soitϕ:V1→ W une application linéaire. On choisit un supplémentaire V₁⁰ de f(V₁) dans V₂, et on définit une application linéaireψ:V₂→W en posant ψ_|_f(V

1) =ϕ◦f_|_V

1

−1 etψ_|

V0 1

= 0. Il est alors clair queψ◦f =ϕ, doncϕest l’image deψpar HomK(V2, W)→HomK(V1, W).

On a bien prouv´e l’exactitude souhait´ee.

ii) — Montrons que la compos´eeV1⊗_KW →V2⊗_KW →V3⊗_KW est l’application nulle. Soit v₁⊗w∈V₁⊗W. Alors l’image dev₁⊗wdansV₂⊗W estf(v₁)⊗wet son image dans V3⊗W estg(f(v1))⊗W. Or la suite initiale est exacte, donc g◦f = 0, donc l’image de v1⊗w dansV3⊗W est nulle.

— Montrons maintenant que le noyau de V₂⊗W → V₃⊗W est contenu dans l’image de V1⊗W →V2⊗W. Pour cela, on constate que le point précédent assure que l’application V2⊗W →V3⊗W se factorise en une application linéaire f :V2⊗W/Im (V1⊗W) → V₃⊗W, définie par f(v₂⊗w) = f(v₂)⊗w. On définit une application h :V₃×W → V2⊗W/Im (V1⊗W) de la fa¸con suivante : si (v3, w)∈V3×W, la surjectivité degassure qu’il existev2∈V2 tel queg(v2) =v3, et on définith(v3, w) comme l’image dev2⊗wdans le quotientV₂⊗W/Im (V₁⊗W). Vérifions que la définition dehest correcte : siv₂, v₂⁰ ∈V₂ vérifient queg(v2) =v3 =g(v⁰₂), alorsv2−v⁰₂∈Ker(g) = Im (f), donc il existev1∈V1tel quev1−v⁰₂=f(v1). Alors on av2⊗w−v⁰₂⊗w= (v2−v₂⁰)⊗w=f(v1)⊗w∈Im (V1⊗W).

Donc hest bien d´efinie.

(8)

En outre, il est clair que h est bilin´eaire, donc h induit une application lin´eaire h : V₃⊗W →V₂⊗W/Im (V₁⊗W)

Il est immédiat de vérifier quehest la réciroque de l’applicationg. Cela assure bien que le noyau de V₂⊗W →V₃⊗W est égal à l’image deV₁⊗W →V₂⊗W.

— Montrons que l’applicationV₁⊗W →V₂⊗W est injective. On fixe une base (w_i)i∈I de W. AlorsW ∼=L

i∈IKwi, et le morphismeV1⊗W →V2⊗W s’identifie que morphisme L

i∈If⊗_id_i :L

i∈IV₁⊗Kw_i→L

i∈IV₂⊗Kw_i, qui est bien injectif puisque chacune des composantes de ce morphisme est le morphisme injectiff :V₁ →V₂.

— Montrons que l’application V2 ⊗W → V3⊗W est surjective. Soit v3⊗w ∈ V3⊗W. Par surjectivité de g, il existe v₂ ∈ V₂ tel que g(v₂) = v₃. Alors v₃⊗w est l’image de v₂ ⊗w par l’application V₂ ⊗W → V₃ ⊗W. une application linéaire. On choisit un supplémentaire V₁⁰ de f(V1) dans V2, et on définit une application linéaireψ :V2 → W en posant ψ_|_f_(V

1) =ϕ◦f_|_V

1

−1 etψ_|

V0 1

= 0. Il est alors clair que ψ◦f =ϕ, donc ϕ est l’image deψ par Hom_K(V₂, W)→Hom_K(V₁, W).

On a bien prouv´e l’exactitude souhait´ee.

Remarque : on peut également déduire la question b) ii) de la question b) i), en montrant le fait suivant : une suite 0→E₁ →E₂→E₃ →0 deK-espaces vectoriels est exacte si et seulement si pour toutK-espace vectorielF, la suite 0→HomK(E3, F)→HomK(E2, F)→HomK(E1, F)→0 est une suite exacte. La preuve de ce fait est facile (du même ordre que la preuve de b)i)). Il suffit ensuite d’appliquer cela à la suite 0 → V₁ ⊗W → V₂⊗W → V₃ ⊗W → 0, en utilisant les identifications HomK(Vi⊗W, F)'HomK(Vi,HomK(W, F))...

Exercice 13 :

SoitV un espace vectoriel hermitien complexe de dimension finien, de base (e1, . . . , en). On ne suppose pas que cette base est orthonormale. Pour 1 ≤ i ≤ n, soit s_i une transformation unitaire telle que s_i(e_i) =c_ie_i avec c_i 6= 1 et telle que s_i est l’identit´e sur e^⊥_i . On appelle G le sous-groupe de GL(V) engendr´e par les si.

a) Soit x∈V. Exprimer s_i(x) comme combinaison lin´eaire dex et de e_i.

b) Soitkun entier supérieur ou égal à 1. Montrer que tout élément deVkV invariant parGest nul (on pourra procéder par récurrence surnen considérant le sous-espaceV⁰ de base (e1, . . . , en−1) et en décomposantV en somme directe de V⁰ et de son supplémentaire orthogonal).

c) On suppose que G est fini. Montrer que pour tout ´el´ement Ade End(V) on a : X

g∈G

det(A−g) =|G| ·det(A) et X

g∈G

det(Id−Ag) =|G|.

d) En d´eduire que pour tout A de End(V), il existe g ∈G tel que Ag n’a aucun point fixe non nul.

a) La formule usuelle de projection orthogonale assure que l’on a si(x) = (ci−1)hx, e_ii

ke_ik² ei+x . b) On raisonne par r´ecurrence sur n:

— sin= 1, alors la seule valeur int´eressante est k= 1, et on a Vk

V =V1

V =V =Ke1. Or par d´efinition, on as₁(e₁) =c₁e₁ 6=e₁, donc

VkVG

={0}.

— Soitn >1 et supposons le résultat démontré si dimV =n−1. On considère le sous-espace vectorielV⁰ suggéré dans l’énoncé, ainsi que la décomposition en somme directe orthogonale V =V⁰⊕^⊥V^0⊥. Alors dimV⁰=n−1 et dimV^0⊥= 1. Soitk≥1. On a alors un isomorphisme canonique

^k

(V)'

k

M

i=0

^i

(V⁰)⊗^k−i

(V^0⊥) =^k

(V⁰)⊕

^k−1

(V⁰)⊗V^0⊥

.

(9)

Supposons d’abord k ≥ 2. Alors l’hypoth`ese de r´ecurrence assure que Vk(V⁰)^G⁰ = {0} et Vk−1

(V⁰)^G⁰ ={0}, o`u G⁰:=hs₁, . . . , sn−1i ⊂G. Soit alors x=x₁+x₂⊗v∈Vk(V)^G, avec x1 ∈ Vk

(V⁰), x2 ∈Vk−1

(V⁰) et v ∈ V^0⊥. Alors pour tout 1 ≤ i≤ n−1, on a si(x) = x, donc comme V⁰ etV^0⊥ sont stables pars_i, on a s_i(x₁) =x₁ ets_i(x₂)⊗v =x₂⊗v. Donc x₁ ∈ Vk(V⁰)^G⁰ = {0}, donc x = x₂ ⊗v. Si v = 0, alors x = 0, sinon, on a s_i(x₂) = x₂ pour tout 1≤i≤n−1, doncx2∈Vk−1

(V⁰)^G⁰ ={0}, donc x= 0 dans tous les cas. Donc V_k

(V)^G={0}.

Supposons maintenantk= 1. Alors par r´ecurrence, on a seulementV1(V⁰)^G⁰ ={0}, et donc si x = x1 +x2⊗v ∈ V1

(V)^G, on a toujours x1 = 0, et donc x = x2⊗v, avec x2 ∈ C et v ∈ V^0⊥. On applique alors s_n ∈ G à ce vecteur : s_n(x) = x implique que s_n(v) = v. Si v 6= 0, Kv est un supplémentaire deV⁰ et la restriction de s_n à V⁰ est l’identité, alors que sn6= id, doncsn(v)6=v. Par conséquent,v= 0 et doncx= 0. Donc V1

(V)^G ={0}.

Cela conclut la preuve.

c) On consid`ere l’endomorphismeS:=P

g∈G

Vn

(A−g) :Vn

(V)→Vn

(V). C’est une homoth´etie de rapportP

g∈Gdet(A−g). Soit alorse:=e₁∧ · · · ∧e_n un vecteur non nul deV_n

(V). Alors S(e) =S(e₁)∧ · · · ∧S(e_n)

s’´ecrit, en d´eveloppant, comme une somme finie de termes dont le premier est P

g∈GA(e₁)∧

· · · ∧A(en) =|G|det(A)·eet les suivants sont des multiples de vecteurs de la forme A(e_i_k+1)∧ · · · ∧A(e_i_n)∧X

g∈G

g(e_i₁)∧ · · · ∧g(e_i_k) avec 1≤k≤net{i₁, . . . , in}={1, . . . , n}. Or pour toutk≥1, le vecteur P

g∈Gg(ei1)∧ · · · ∧ g(e_i_k) ∈ Vk(V) est clairement fixe par G, donc la question b) assure que P

g∈Gg(e_i₁)∧ · · · ∧ g(e_i_k) = 0, donc finalement

S(e) =|G|det(A)·e , i.e.

X

g∈G

det(A−g) =|G|det(A).

De mˆeme, on obtient avec un raisonnement exactement similaire que



 X

g∈G

^n

(Id−Ag)



(e) =X

g∈G

e=|G| ·e ,

puisque tous les termes restants sont nuls pour la mˆeme raison que plus haut. On en d´eduit donc que

X

g∈G

det(Id−Ag) =|G|.

d) Soit A ∈ End(V). La seconde formule de la question c) assure qu’il existe g ∈ G tel que det(Id−Ag)6= 0. Donc Id−Ag est inversible, doncAg n’a pas de point fixe non nul dans V. Exercice 14 : ? ? ?

Soientp un nombre premier impair, r≥1 etq =p^r.

a) On note V₁, V₂ := (Fq²)², et (e_i, f_i) la base canonique de V_i. On munit V := V₁ ⊗_F

q2 V₂ de la forme bilinéaire symétriqueb définie par b(v1⊗v2, v⁰₁⊗v⁰₂) :=b1(v1, v₁⁰)b2(v2, v₂⁰), où bi est la forme bilinéaire alternée surV_i telle que b_i((1,0),(0,1)) = 1. On pose enfin

V⁰ := Vect_F_p{e₁⊗e₂, f₁⊗f₂, λe₁⊗f₂+λf₁⊗e₂ :λ∈Fq²} ⊂V . i) Montrer que dim_F_pV⁰ = 4.

ii) Construire un morphisme de groupes SL₂(Fq²)→O(V⁰, b).

(10)

iii) En d´eduire un isomorphisme de groupes PΩ⁻₄(Fq)∼= PSL2(Fq²).

b) On note (ei) la base canonique deF⁴_q et on noteW :=V2

(F⁴_q).

i) Quelle est la dimension deW comme Fq-espace vectoriel ?

ii) Montrer que W est muni d’une forme bilinéaire symétrique non dégénérée naturellef telle que pour tout σ : {1,2,3,4} → {1,2,3,4}, f(e_σ(1)∧e_σ(2), e_σ(3)∧e_σ(4)) = ε(σ), avec par convention ε(σ) = 0 siσ n’est pas bijective.

iii) Montrer que GL₄(Fq) agit naturellement surW.

iv) Construire un morphisme de groupes SL4(Fq)→O(W, f).

v) En d´eduire un isomorphisme PΩ⁺₆(Fq)∼= PSL4(Fq).

c) On note (e1, e2, e3, e4) une base orthonorm´ee pour la forme sesquilin´eaire naturelle sur X :=

(Fq²)⁴, et X⁰ ⊂ V2X le sous-Fq-espace vectoriel engendr´e par les vecteurs λe_σ(1) ∧e_σ(2) + λe_σ(3)∧e_σ(4), pour toutσ ∈A₄ etλ∈Fq².

i) Montrer que dim_F_qX⁰= 6.

ii) Montrer que X⁰ est muni d’une forme bilin´eaire sym´etriquef telle que pour tout σ ∈A₄, λ, µ∈Fq²,

f(λe_σ(1)∧e_σ(2)+λe_σ(3)∧e_σ(4), µe_σ(1)∧e_σ(2)+µe_σ(3)∧e_σ(4)) =λµ+λµ . iii) Construire un morphisme de groupes SU₄(Fq²)→O(X⁰, f).

iv) En d´eduire un isomorphisme de groupes PΩ⁻₆(Fq)∼= PSU4(Fq²).

a) i) On fixe un élément ε∈Fq² \Fq. On vérifie facilement que V⁰ est unFp-espace vectoriel de dimension 4, dont une base est e1⊗e2, f1⊗f2, e1⊗f2+f1⊗e2, εe1⊗f2+εf1⊗e2. ii) On considère la représentation de SL2(F_q²) surV définie par l’action diagonaleg·(v₁⊗v₂) :=

g(v1)⊗g(v2). Montrons que le sous-Fp-espace vectorielV⁰ ⊂V est stable par cette action.

Comme SL₂(Fq²) est engendré par les transvections, il suffit de montrer que V⁰ est stable par les transvections. Pour cela, il suffit de considérer l’élémentg=

1 0 λ 1

(dans la base (e_i, f_i) de V_i), avecλ∈Fq². On a alors

g·(e1∧e2) = (e1+λf1)⊗(e2+λf2) =e1⊗e2+ (λf1⊗e2+λe1⊗f2) +λλf1⊗f2∈V⁰ car λλ∈Fq. De mˆeme,

g·(f₁⊗f₂) =f₁⊗f₂ ∈V⁰, et

g·(εe1⊗f2+εf1⊗e2) = (ελ+ελ)f1⊗f2+ (εe1⊗f2+εf1⊗e2)∈V⁰ car ελ+ελ∈Fq.

Donc V⁰ ⊂ V est stable par SL2(F_q²). On a donc un morphisme de groupes naturel SL2(Fq²)→GL(V⁰).

Soit alors g=

1 0 λ 1

∈SL2(Fq²). Si on note q la forme quadratique associ´ee `ab, on a q(g·(e₁⊗e₂)) =q(e₁⊗e₂+ (λf₁⊗e₂+λe₁⊗f₂) +λλf₁⊗f₂) =−2λλ+ 2λλ= 0 =q(e₁⊗e₂) et

q(g·(f₁⊗f₂)) =q(f₁⊗f₂) et

q(g·(εe₁⊗f₂+εf1⊗e₂)) =q((ελ+ελ)f1⊗f₂+(εe1⊗f₂+εf1⊗e₂)) =−2εε=q(εe1⊗f₂+εf1⊗e₂). Cela assure que les éléments de SL2(Fq²) agissant sur V⁰ préservent la forme b, donc le morphisme précédent est en fait un morphisme ρ: SL₂(Fq²)→O(V⁰, b), comme souhaité.

(11)

iii) Un calcul simple assure que le noyau du morphismeρconstruit à la question précédente est {±I₂}. Le calcul du groupe dérivé de SL₂(Fq²) assure que le morphismeρ est à valeurs dans Ω(V⁰, b). Donc ce morphisme induit un morphisme injectif ρ : PSL2(F_q²) → Ω(V⁰, b). Un calcul de cardinaux assure alors que ce morphisme induit un isomorphisme PSL2(F_q²) −→^∼ PΩ(V⁰, b). Enfin, on vérifie facilement que la forme bilinéaire symétriquebest de type−, et par conséquent le groupe PΩ(V⁰, b) s’identifie au groupe PΩ⁺₄(Fq), ce qui conclut la preuve.

b) i) On sait queW est de dimension ⁴₂

= 6 surFp.

ii) On définit la formef sur la base (e_i∧e_j)_i<j deW, de la fa¸con suivante : on posef(e_i∧e_j, e_k∧ ek) := 1 si la permutation (i j k l) est paire,f(ei∧ej, ek∧ek) := −1 si cette permutation est impaire, et f(ei∧ej, e_k∧e_k) := 0 sinon. Il est clair que cela définit une forme bilinéaire symétrique non dégénérée vérifiant la propriété souhaitée.

iii) Il suffit de consid´erer l’action diagonale de GL4(Fq) surW donn´ee parg·(x∧y) :=g(x)∧g(y).

iv) On a construit à la question précédente un morphisme de groupes SL₄(Fq) → GL(W).

Montrons que les éléments de SL4(Fq) agissant surW préservent la forme bilinéairef. Pour cela, on considère la transvectiong=







1 0 0 0 λ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1







∈SL4(Fq). On a alorsg·(e1∧e3) = e₁∧e₃+λe₂∧e₃ et g·(e₁∧e₄) =e₁∧e₄+λe₂∧e₄, et g·(e_i∧e_j) = e_i∧e_j sinon. Par conséquent, un calcul simple assure que l’on af(g·(e₁∧e₃), g·(e₁∧e₄)) =f(e₁∧e₃+λe₂∧ e3, e1∧e4+λe2∧e4) =λ−λ= 0 =f(e1∧e3, e1∧e4), et de même, pour tout i, j, k, l, on a f(g·(e_i∧e_j), g·(e_k∧e_l)) =f(e_i∧e_j, e_k∧e_l). Comme les transvections engendrent SL₄(Fq), on en déduit que l’action de SL₄(Fq) surW préserve la forme bilinéairef. Par conséquent, l’action de la question précédente induit un morphisme naturel

ρ: SL₄(Fq)→O(W, f).

v) On vérifie que Ker(ρ) = {±I₄}, que la forme quadratique associée à f est de type +, et alors le calcul du groupe dérivé de SL4(Fq) assure que le morphismeρ induit un morphisme de groupes injectif

ρ: PSL₄(Fq)→PΩ(W, f)∼= PΩ⁺₆(Fq).

Un argument de cardinalit´e assure alors que ce morphisme est un isomorphisme.

c) i) On note εun élément fixé deFq²\Fq. On vérifie qu’une base de X⁰ est donnée les vecteurs e₁∧e₂+e₃∧e₄, e₁∧e₃+e₄∧e₂, e₁∧e₄+e₂∧e₃, εe₁∧e₂+εe₃∧e₄, εe₁∧e₂+εe₃∧e₄, εe₁∧e₂+εe₃∧e₄. Par conséquent, dim_F_qX⁰= 6.

ii) On introduit la forme f comme la somme orthogonale des trois formes naturelles suivantes d´efinies sur les trois Fq-plans en somme directe {λe_i ∧ e_j +λe_k ∧ e_l : λ ∈ Fq²} (pour (i, j, k, l) = (1,2,3,4), (1,3,4,2) et (1,4,2,3)), par les formules suivantes

f(λe_i∧e_j+λe_k∧e_l, µe_i∧e_j +µe_k∧e_l) :=λµ+λµ .

Remarquons que la restriction de f à chacun de ces trois plans (deux-à-eux orthogonaux) est une forme quadratique non dégénérée de type −, donc f est une forme quadratique non dégénérée de type −surX⁰.

iii) On dispose de l’action naturelle de SU4(F_q²) surV2

X d´efinie parg·(x∧y) :=g(x)∧g(y).

Or on vérifie que SU₄(Fq²) est engendré par les matrices de permutation des vecteurs e_i, ainsi que par les matrices correspondant aux applications définies par e₁ 7→ αe₁ +βe₂, e2 7→ −βe₁+αe2, avec α, β ∈ Fq² tels que αα+ββ = 1. Or un calcul élémentaire assure que ces éléments de SU₄(Fq²) préservent tous le sous-espaceX⁰ de V2X, et qu’ils laissent

´

egalement la forme quadratique f invariante. Par cons´equent, l’action susmentionn´ee de SU4(Fq²) sur V2

X induit un morphisme de groupes ρ: SU₄(Fq²)→O(X⁰, f).

(12)

iv) On voit que Ker(ρ) ={±I₄}, et le calcul du sous-groupe d´eriv´e de SU₄(Fq²) assure que le morphisme ρ induit un morphisme de groupes injectif

ρ: PSU₄(Fq²)→PΩ(X⁰, f)∼= PΩ⁻₆(Fq).

Un calcul de cardinaux assure alors que le morphismeρ est un isomorphisme.

Exercice 15 : ? ? ?

Soit K un corps de caract´eristique 6= 2, V un K-espace vectoriel de dimension n et q une forme quadratique surV.

a) On noteI(q) l’idéal bilatère deT(V) engendré par les éléments de la formev⊗v−q(v) pourv∈ V. On poseC(q) :=T(V)/I(q). Montrer queC(q) est uneK-algèbre, canoniquement isomorphe

` aV

V commeK-espace vectoriel, et admettant une décompositionC(q) =C(q)⁺⊕C(q)⁻définie par le degré des éléments de T(V).

b) V´erifier C(q)⁺ est une sous-alg`ebre de C(q).

c) Montrer que dim_KC(q) = 2ⁿ et donner une base de C(q) commeK-espace vectoriel.

d) Montrer queV se plonge naturellement dansC(q).

e) Calculer C(q) lorsque K = R, dim_R(V) ≤ 2. Généraliser au cas où K est quelconque et dimK(V)≤1.

f) Calculer le centre de C(q).

g) On note α := id_C(q)+ ⊕ −id_C(q)⁻ ∈ GL_K(C(q)) et pour tout x ∈ C(q)^×, ρ_x ∈ End_K(C(q)) d´efini par ρx :z7→α(x)zx⁻¹. Montrer que cela d´efinit un morphisme de groupes ρ:C(q)^×→ GL_K(C(q)).

h) On note Γ(V, q) :={x ∈ C(q)^× :ρ_x(V) ⊂V}. Montrer que Γ(V, q) contient les vecteurs non isotropes de (V, q).

i) On suppose q non dégénérée. Montrer que Ker(ρ) =K^∗.

j) Montrer qu’il existe un uniquet∈GL_K(C(q)) tel quet_|V = id_V ett(xy) =t(y)t(x) pour tout x, y∈C(q).

k) Pour tout x ∈ C(q), on pose x := t(α(x)). Montrer que la formule N(x) := xx d´efinit une applicationN :C(q)→C(q) induisant un morphisme de groupesN : Γ(V, q)→K^∗.

l) On suppose q non dégénérée. Montrer que Im (ρ) = O(V, q).

m) On supposeq non dégénérée. Montrer que l’on dispose d’un morphisme naturel θ: O(V, q)→ K^∗/(K^∗)².

n) On supposeq non dégénérée et isotrope. Montrer que θ: SO(V, q)→K^∗/(K^∗)² est surjectif.

o) On suppose q non dégénérée. On note Pin(V, q) := Ker(N) = {g ∈ Γ(V, q) : N(g) = 1} et Spin(V, q) :={g∈Pin(V, q) : det(ρ(g)) = 1}. Montrer que l’on a des suites exactes de groupes :

1→ {±1} →Pin(V, q)−→^ρ O(V, q)−→^θ K^∗/(K^∗)² et

1→ {±1} →Spin(V, q)−→^ρ SO(V, q)−→^θ K^∗/(K^∗)².

p) On suppose K =R et q non dégénérée et non définie. Montrer que θ: SO(V, q) →K^∗/(K^∗)² est surjective.

q) Montrer les isomorphismes suivants : Spin₂(C)∼=C^∗, Spin₃(C)∼= SL2(C), Spin₄(C)∼= SL2(C)× SL₂(C), Spin₅(C) ∼= Sp₄(C), Spin₆(C) ∼= SL4(C), ainsi que Spin₂(R) ∼= U1(C), Spin₃(R) ∼= SU2(C), Spin₄(R)∼= SU2(C)×SU2(C).