A1752. Pioch´ e dans un manuscrit de Fermat
Q1/ Premier + 1
Soitp+ 1 = 2a2 et p2+ 1 = 2b2 (ppremier) Par diff´erence, on obtient : p(p−1) = 2 (b+a)(b−a)
•(b+a)est premier : ⇒ p=b+a et p−1 = 2 (b−a) d’o`u : 3a=b+ 1(quel que soit l’incr´ement).
a b p = a + b I = 2 a
2− p
2 5 7 1
3 8 11 7
4 11 15, non premier
5 14 19 31
6 17 23 49
7 20 27, non premier
8 23 31 97
9 26 35, non premier 10 29 39, non premier
La premi`ere ligne du tableau donne la r´eponse `a la premi`ere question :
7 + 1 = 2 × 2
2et 7
2+ 1 = 2 × 5
2Il ne peut pas y avoir d’autre solution de ce type avec incr´ement =1.
•(b+a)n’est pas premier : ⇒ p= (b+a)/k et p−1 = 2k(b−a) d’o`u : (2k2+ 1)a = (2k2−1)b+k(quel que soit l’incr´ement).
Exemple aveck= 2: 9a = 7b+ 2
sia+b≡0mod2: p:= (a+b)/2, I= 2a2−p
17 + 433 = 2 × 15
2et 17
2+ 433 = 2 × 19
2Exemple aveck= 3: 19a= 17b+ 3
sia+b≡0mod3: p:= (a+b)/3, I= 2a2−p
7 + 193 = 2 × 10
2et 7
2+ 193 = 2 × 11
2Les incr´ements dans les cas o`u a+ b n’est pas premier sont beaucoup plus grands que1.
1
Deuxi`eme question : le plus petit incr´ement apr`es1est7:
11 + 7 = 2 × 3
211
2+ 7 = 2 × 8
2Troisi`eme question : comme tout nombre premier de la forme4n−1fournit une solution avecb= 3a−1, il y a bien une infinit´e de solutions.
Q2/ Entier + 1
Pierre de Fermat a trouv´e une m´ethode merveilleuse pour r´esoudre cette ques- tion. Malheureusement, il ne restait plus de place sur ses manchettes pour qu’il la communique `a la post´erit´e. On peut toutefois penser qu’elle ressemblait au d´ebut du pr´esent texte.
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