Problème A1752 : Pioché dans un manuscrit de Fermat
Enoncé :
Q1 : Si l’on ajoute 1 à ce nombre premierp et à son carrép2, on obtient les doubles de deux carrés parfaits. Déterminerpet prouver qu’il est unique.
Déterminer le plus petit entier a > 1 qui donne les doubles de deux carrés parfaits lorsqu’il est ajouté à un nombre premier q et à son carréq2.
Démontrer qu’il existe une infinité d’entiers positifs distincts tels que chacun d’eux ajouté à un nombre premier et à son carré donne les doubles de deux carrés parfaits.
Q2 : Si l’on ajoute 1 à cet entier positifn >1et à son carrén2, on obtient les doubles de deux carrés parfaits. Déterminer les valeurs possibles den. . . comme l’a fait Fermat.
Début de réponse :
Q1 : En notantnetmles entiers positifs tels quep+ 1 = 2n2 etp2+ 1 = 2m2 on a p(p−1) = 2(m−n)(m+n)donc commep≥p−1,pdivisem+n et même, p=m+nd’oùm = 3n−1,p= 4n−1 = 2n2−1 donc n= 2et p= 7qui est bien l’unique solution puisque7 + 1 = 2×22 et49 + 1 = 2×52 La valeur suivante dea est obtenue avecn= 3,p= 11 eta= 7puisque 11 + 7 = 2×32 et121 + 7 = 2×82
De manière générale, comme il y a une infinité de nombres premiers p congrus à 3 modulo 4 (car un nombre congru à 3 modulo 4 a au moins un diviseur premier congru à 3 modulo 4), on peut poser pour chacunp= 4n−1, a= 2n2−4n+ 1et on a alorsp+a= 2n2 etp2+a= 2(3n−1)2.
Q2 : Sin+ 1 = 2a2,n2+ 1 = 2((a2−1)2+a4). Il faut donc que le triangle rectangle de côtésa2−1eta2 ait une hypoténuse entière.
L’égalité :(3c+2d−2)2+(3c+2d−1)2 = (4c+3d−2)2−(d2−c2−(c−1)2) permet de construire deux suites (cn) et (dn) définies par c0 = d0 = 1 et
∀n∈N
cn+1 = 3cn+ 2dn−1
dn+1= 4cn+ 3bn−2 qui vérifientd2n=c2n+ (cn−1)2. Réciproquement, l’égalité :
(3c−2d−2)2+ (3c−2d−1)2= (−4c+ 3d−2)2−(d2−c2−(c−1)2) permet de montrer qu’il n’y a pas d’autre candidat car si d ' c√
2 est
"grand", 3c−2d−2 ' (3−2√
2)c donc, en itérant, on doit trouver une solution "petite".
Problème : y a-t-il des carrés parmi les termes de la suite(cn)à partc0et c1? Là, je sèche. Je pense que non mais ne vois pas de moyen de le prouver.
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