E518 Duel sur 64 cases [***** à la main]
Solution de Daniel Collignon
On considère uniquement le sens trigonométrique et l’on note : d = nombre de triangles élémentaires ABC = score de Diophante h = nombre de triangles élémentaires ACB = score d’Hippolyte
n(XY) = nombre de segments élémentaires [XY] dans un triangle élémentaire XY?
n(YX) = nombre de segments élémentaires [YX] dans un triangle élémentaire YX?
Nous allons calculer de deux façons la somme :
S = n(AB) + n(BC) + n(CA) – n(BA) – n(CB) – n(AC).
Tout segment [XY] situé à l’intérieur du grand triangle initial appartient à 2 triangles élémentaires XY? et YX?, par conséquent sa contribution globale est nulle.
Cela nous ramène donc au calcul de cette somme sur le bord du grand triangle initial.
Montrons par exemple que sur le grand bord [AB], n(AB) – n(BA) = 1 :
A tout segment se terminant par un A correspond un segment commençant par un A, sauf le premier. D’où n(AA) + n(BA) = n(AA) + n(AB) - 1 et le résultat en découle.
Si l’on n’est pas convaincu par ce premier argument, on peut considérer la subdivision du grand bord [AB] en n points Ai, 1<=i<=n tels que A1 = A et An = B, puis définir f telle que f(A) = 0 et f(B) = 1.
Alors n(AB) – n(BA) = somme (i=1…n-1 ; f(Ai+1) – f(Ai)) = f(An) – f(A1) = f(B) – f(A) = 1.
En utilisant le même raisonnement sur les autres bords, nous arrivons donc à S = 3.
Montrons que S = 3(d – h) en examinant la contribution dans S de chaque triangle : - un triangle ABC dans le sens trigonométrique compte pour 3
- un triangle ABC dans le sens des aiguilles d’une montre compte pour -3
- tout autre triangle compte pour 0 (XXX : évident ; XYX : XY et YX « se compensent ») D’où le résultat d - h = 1 et donc Diophante gagne dans tous les cas de figure.
Référence : cette énigme n’est pas sans rappeler le fameux lemme de Sperner en deux dimensions, qui découle d’ailleurs de la démonstration précédente car en particulier d n’est pas nul (et donc quelle que soit la triangulation, il y aura toujours un triangle ABC orienté comme le grand triangle)
Voir http://mathworld.wolfram.com/SpernersLemma.html Et http://en.wikipedia.org/wiki/Sperner's_lemma
