J139 – Sur un échiquier infini [**** à la main]
Problème proposé par Michel Lafond
Sur un échiquier infini, il y a le roi noir, le roi blanc et deux tours blanches.
Le roi noir n’est pas en échec. C’est aux Blancs de jouer. Montrer que les Blancs peuvent mater.
Nota : voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Règles_du_jeu_d’échecs pour les régles du jeu d’échecs.
Solution proposée par Bernard Vignes
Le problème se ramène à la résolution d’un problème très classique du jeu d’échecs sur un échiquier 8x8 avec Roi et Tour des Blancs qui matent le Roi Noir seul.
Voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Roi_et_tour_contre_roi_seul
Le principe est simple : il s’agit de mettre les deux Rois en opposition avec le trait aux Blancs
Les deux Rois sont en opposition : Roi Blanc en d6 et Roi Noir en d8.
Au coup suivant Tour d6-d8. Mat
Quelles que soient les positions initiales des quatre pièces sur l’échiquier infini, on peut toujours se ramener en un nombre fini de coups à une position dans laquelle le Roi Noir placé par convention à l’origine ne peut circuler qu’à l’intérieur d’un étroit couloir délimité par :
- trois bandes contrôlées par les Tours blanches placées respectivement en ( – i,1) et (– i, – 1) de sorte qu’elles se protègent mutuellement sur la colonne – i.
- la bande j > 0 où se trouve le Roi blanc placé dans la case (j,2) [ou (j,– 2)]. Voir illustration ci-après :
L’objectif est de mettre les deux rois en opposition en réduisant coup après coup la longueur L du couloir où le Roi noir peut circuler sans se mettre en opposition avec le Roi blanc de sorte que L ≤ 2.
On arrive à deux positions possibles:
1) L= 1. Le Roi noir a un coup forcé qui le met en opposition avec le Roi blanc. D’où la séquence des coups aboutissant immédiatement au mat du Roi noir
Mat !
2) L = 2 Le Roi noir se déplace d’une case sans être en opposition avec le Roi blanc.D’où la séquence des coups qui aboutit encore au mat du Roi noir
1 2 3 4
5 6 7
Mat !
