E518 Duel sur 64 cases [***** à la main]
Solution
Peu importe qui commence la partie. Diophante sera toujours le vainqueur car le nombre de triangles étiquetés dans le sens trigonométrique est toujours supérieur d’une unité au nombre de triangles étiquetés dans le sens des aiguilles d’une montre.
La démonstration simple (mais non évidente à trouver) repose sur le lemme du mathématicien allemand E.Sperner.
On s’intéresse à tous les segments qui joignent les sommets des 64 petits triangles équilatéraux. Dans chacune des 64 cases, on affecte à chaque côté:
- le coefficient +1 si les deux lettres qui désignent les extrémités du segment sont différentes et sont dans le sens trigonométrique,
- le coefficient – 1 si les deux lettres qui désignent les extrémités du segment sont différentes et sont dans le sens des aiguilles d’une montre,
- le coefficient 0 si les deux lettres qui désignent les extrémités du segment sont identiques.
A noter que mis à part les segments qui bordent le grand triangle équilatéral et qui reçoivent un seul coefficient, tous les autres segments qui joignent les sommets des petits triangles équilatéraux et sont à l’intérieur du grand triangle reçoivent deux coefficients de signe opposé (+1 et – 1 ). En effet ils sont adjacents à deux petits triangles dans lesquels l’énumération des lettres se fera dans le sens trigonométrique pour l’un et dans le sens des aiguilles d’une montre pour l’autre.
Dans chacune des 64 cases, on additionne alors les coefficients attachés aux trois côtés du triangle équilatéral. Il y a 4 configurations possibles :
- si la case est désignée par ABC dans le sens trigonométrique, la somme des coefficients donne 3 et c’est un point marqué par Diophante,
- si la case est désignée par ABC dans le sens des aiguilles d’une montre, la somme des coefficients donne –3 et c’est un point marqué par Hippolyte,
- si la case est désignée par AAA ou BBB ou CCC, la somme des coefficients donne 0 et aucun des deux joueurs ne marque de point,
- si la case est désignée par deux lettres identiques et une troisième lettre différente, la somme des coefficients donne 0 dans tous les cas de figure. En effet le segment AA a la coefficient 0, AB le coefficient +1 et BA le coefficient –1.
Il n’y a donc que 3 valeurs possibles attachées aux 64 cases : +3, -3 et 0. La somme totale de ces valeurs est donc T de la forme T=3k avec k entier relatif. Si k est positif, Diophante est le vainqueur. Si k est nul, la partie est nulle et si k est négatif, c’est Hippolyte qui gagne le jeu.
On considère maintenant le côté AB du grand triangle équilatéral. En partant de A vers B, on sait par hypothèse qu’il n’y a que les lettres A et B. On rencontre donc le coefficient +1 si on passe d’un sommet A à un sommet B, le coefficient – 1 si l’on passe de B à – A et 0 s’il s’agit de AA ou de BB. La somme de ces coefficients donne nécessairement + 1 qui correspond à l’étiquette que l’on donne au côté AB du grand triangle.
Le même raisonnement effectué avec les côtés BC et CA amène à dire que la somme des coefficients sur BC et sur CA est respectivement égale à +1. La somme des coefficients affectés aux côtés du grand triangle vaut donc +3.
S’agissant des segments situés à l’intérieur du grand triangle, la somme de tous leurs coefficients vaut 0 car chaque segment a deux coefficients +1 et –1 de somme nulle.
Dans ces conditions, la somme totale S de tous les coefficients attachés aux côtés des 64 cases est égale à +3 quel que soit l’étiquetage des 64 sommets effectué par Diophante et Hippolyte et quel que soit le joueur qui commence la partie. Or T=3k la somme totale des valeurs
possibles attachées aux 64 cases vaut également S car l’une et l’autre des deux sommes repose sur le même décompte des coefficients attachés aux côtés des petits triangles équilatéraux.
D’où T=3 et k=1.
Il en résulte que le nombre de triangles étiquetés dans le sens trigonométrique est strictement supérieur d’une unité au nombre de triangles étiquetés dans le sens des aiguilles d’une montre.
Diophante sort toujours vainqueur.
Source : Lemme de Emmanuel Sperner
