Dans toute la suite, le polynôme trigonométrique e

Dans toute la suite, le polynôme trigonométriquee^intsera notéen. On poseT le toreR/2πZ.

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246 Séries de FOURIER. Exemples et applications

Pierre Lissy June 6, 2010

1 Dénitions. Théorie L

; Noyaux

1.1 coecients de Fourier

Dénition 1. n-ième coecient de Fourier d'une fonction deL¹(T): c_n(f) = 1/(2π)R2π

0 f(x)¯e_n(x)dx. Lemme 1. Riemann-Lebesguecn(f)→0. L'ensemble des coecients de Fourier est nôtéfb.

Dénition 2. On appelle série de Fourier la série suivante: P

cnen. Sa somme partielle est notée SN.

Proposition 1. 1. |cn(f)|6||f||1. 2. cn(f(−t)) =c−n(f)

3. cn( ¯f) =c−n(f)

4. c_n(f(.+a) =e^inac_n(f) 5. c_n(f(.+a) =e^inac_n(f) 6. c_n(e_kf) =c_n−k(f) 7. f∗e_n=c_n(f)e_n

8. Sif est de classeC¹ par morceaux on acn(f⁰) =incn(f).

9. Si uen série trigo Panen cvu vers f, alors cn(f) =an etf continue.

Proposition 2 (trivialisation du produit de convolution). Sif ∈L¹ etg∈L¹ alors f∗g∈L¹ et on démontre que cn(f∗g) =cn(f)cn(g). Donc l'application f 7→fbest un morphisme d'algèbres, continu et de norme1. (on munit les suites de la norme inni)

La question principale est: peut-on reconstituer une fonction à partir de ses coecients de Fourier et en quel sens?

1.2 Théorie L

Grâce au théorème de Weierstrass

Théorème 1. Les polynômesen forment une base hilbertienne deL²(T) Corollaire 1. Au sensL², on a f =P

(en, f)en=P

cnen. De plus, ||f||2=P∞

0 |cn(f)|². On a l'inégalité de Bessel||f−SN(f)||26||f −p|| pour tout polynômep∈Pn.

Théorème 2 (Carleson). SN(f)(x)→f presque surement.

Citons des applications du théorème de Parseval.

Application 1. On considère une application de classe C¹ et 2π périodique d'intégrale nulle.

Alors||f||26||f⁰||2 avec égalité ssi f ∈V ect(e^it, e^−it).

Application 2. 4P∞

k=1ρ²_nsin²(nh) = 1/(2π)Rπ

−π|f(x+h)−f(x−h)|². Application 3. Calcul deP

1/k² et plus généralement de P 1/k²ⁿ. Application 4. Inégalité de Hilbert: P

akal/(k+l+ 1)6P

a²_k (somems nies). Plu sgénérale- ment,|P

akal/(k+l+ 1)|²6π²P a²_kP

b²_k

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1.3 Cas de reconstitution et applications

Théorème 3. on considère une fonctionf continue de classe C¹ par morceaux. Elle est somme de sa série de Fourier.

Application 5. P∞

n=12u/(u²−n²) =πcotan(πu)−1/u. Application 6. Calcul d'intégralesIn=R2π

0 cos(nx)/(ch(a)−sin(x))dxetJn=R2π

0 sin(nx)/(ch(a)−

sin(x))dx.

2 Utilisation des noyaux trigonométriques References

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