Diophante G 967 Pascal le glacier
Alice,Bernard et Caroline se rendent chez Pascal ce maître artisan glacier réputé qui offre une très grande variété de parfums de glaces soit en cornets soit dans des coupes en nougatine.
Alice est servie la première et choisit un cornet à deux boules de parfums différents.
Bernard limite son choix aux parfums de fruits rouges et se fait servir une coupe avec cinq boules de parfums différents. Ce faisant il prend la dernière boule de fraise des bois.
Caroline enfin se limite aux parfums de fruits rouges disponibles et choisit une coupe avec six boules de parfums différents.
Q Pascal ayant constaté en mathématicien amateur éclairé que les trois amis avaient ₁ exactement le même nombre de choix possibles, déterminer le nombre total de parfums offerts à Alice et le nombre de parfums de fruits rouges offerts à Bernard.[*]
Q Démontrer qu’on sait trouver dans le triangle de Pascal un nombre entier > 1 qui ₂ apparaît huit fois [*]
Q Démontrer qu’on sait trouver trois entiers < 2021 qui apparaissent six fois dans ce ₃ même triangle [**]
Q Démontrer qu’il existe une infinité de nombres entiers qui apparaissent six fois dans ce ₄ triangle [****].
Pour les plus courageux : Existe-t-il une infinité de nombres entiers tels que chacun d’eux apparaît huit fois ou plus dans le triangle de Pascal? [*****]
Réponse:
Q1
Soient respectivement P le nombre des parfums possibles pour Alice et R celui des parfums aux fruits rouges possibles pour Bernard.
C(R, 5) = C(R - 1, 6) donne après simplification R / (R - 5)(R -6) = 1 / 6 ou (R - 15)(R -2) = 0.
Comme R ≥ 8, le nombre de parfums de fruits rouges offerts à Bernard est 15.
C(P, 2) = C(15, 5) donne après simplification P(P - 1)/2 = 3 x 7 x 11 x 13 (= 3003) ou P(P - 1) = (2 x 3 x 13) x (7 x 11) = 78 x 77 soit P = 78.
Le nombre total de parfums offerts à Alice est 78.
Q2
En observant les nombres précédents,
on sait trouver dans le triangle de Pascal un nombre entier > 1 qui apparaît huit fois:
C(14, 6) = C(14, 8) = C(15, 5) = C(15, 10) = C(78, 2) = C(78, 76) = C(3003, 1)
= C(3003, 3002) = 1.
Q3
On sait trouver trois entiers < 2021 qui apparaissent six fois dans ce même triangle:
C(10, 3) = C(10, 7) = C(16, 2) = C(16, 14) = C(120, 1) = C(120, 119) = 120;
C(10, 4) = C(10, 6) = C(21, 2) = C(21, 19) = C(210, 1) = C(210, 209) = 210;
C(22, 3) = C(22, 19) = C(56, 2) = C(56, 54) = C(1540, 1) = C(1540, 1539) = 1540.
Q3
En observant 3003,
C(N, P + 1) = C(N, N - P - 1) = C(N + 1, P) = C(N + 1, N - P + 1) = C(X, 1) = C(X, X - 1) = X où N = 14 et P = 5, X = C(14, 6).
N = F4F5 - 1 et P = F3F4 - 1
où Fi est le terme de la série de Fibonacci donné par F1 = F2 = 1 puis Fi + Fi+1 = Fi+2. De même, F2F3 - 1 = 1 et P = F1F2 - 1 = 0 permettent de retrouver 1 = C(1, 0 + 1).
Dans le cas général, on vérifie par récurrence, en utilisant les propriétés de la série de Fibonacci, que N = F2kF2k+1 - 1 et P = F2k-1F2k - 1 satisfont
C(N, P + 1) = C(N + 1, P) ou (N + 1)(P + 1) = (N - P + 1)(N - P).
Il existe une infinité de nombres entiers qui apparaissent six fois dans ce triangle.
Selon le processus précité, le nombre suivant 3003 est déjà très grand:
C(F6F7 - 1, F5F6) = C(103, 40) = 61 218 182 743 304 701 891 431 482 520.
Existe-t-il une infinité de nombres entiers tels que chacun d’eux apparaît huit fois ou plus dans le triangle de Pascal?
Il faut de plus l'existence de Y tel que C(Y, 2) = C(Y, Y - 2) = Y (Y - 1) / 2 = X.
Votre serviteur anticipe que les programmateurs s'en donneront à coeur joie, mais il ne voit pas comment aborder cette question subsidiaire.
Jean-Louis Legrand
