ESD 2010 – 0630 : Calcul de grandeurs ; longueurs, aires, volumes

ESD 2010 – 0630 : Calcul de grandeurs ; longueurs, aires, volumes

Auteur du corrigé : Gilbert JULIA TI-Nspire CAS   Ce document a été réalisé avec la version 2.1 du logiciel TI-Nspire CAS.

Fichier associé : esd2010_0630.tns 1. Le sujet

A. L’exercice proposé au candidat

Soit ABC un triangle isocèle en A tel que AC=5 etBC=6.

Un point M se déplace sur le segment [AB] en restant différent des points A et B.

Le point N est l’intersection de (AC) et de la parallèle à (BC) passant par M.

On désigne par Q le point du segment [BC] tel que le quadrilatère MNQB soit un parallélogramme.

On se propose de déterminer la position du point M sur le segment [AB] pour que l’aire du parallélogramme BMNQ soit maximale. Pour cela on pose AM = x et on note f (x) l’aire du parallélogramme BMNQ.

1. Montrer que MN = 6

5x et en déduire l’aire du triangle AMN.

2. Montrer que QC = 6

5(5 – x) et en déduire l’aire du triangle CNQ.

3. Montrer que f (x) = 12

25(−2x² + 10x).

4. Déterminer la valeur de x pour laquelle f (x) est maximal.

B. Le travail demandé au candidat Le candidat présentera au jury :

• Les méthodes et les savoirs mis en jeu dans la résolution de l’exercice.

• Un énoncé à présenter en classe de Seconde pour résoudre la question 4 de l’exercice.

Le candidat rédigera sur ses fiches :

• Sa réponse à la question 1.

• Un ou plusieurs exercices se rapportant au thème : « Calcul de grandeurs : longueurs, aires, volumes ».

2. Eléments de correction

L’exercice proposé est un problème d’optimisation : il s’agit de maximiser l’aire d’une figure variable soumise à certaines contraintes. Cette aire est une fonction polynôme du deuxième degré du paramètre (la longueur AM) choisi pour exprimer les différentes grandeurs intervenant dans la résolution de l’exercice.

L’objectif est principalement l’exploitation de la notion de fonction polynôme du deuxième degré dans une situation issue de la géométrie.

Une figure purement indicative (elle n’est pas semblable à la figure réelle) accompagne le texte de l’énoncé.

Les longueurs AC et BC sont choisies de telle sorte que, si on désigne désormais par H le pied sur (BC) de la hauteur issue de A, la hauteur AH du triangle isocèle ABC mesure exactement 4 cm. Le calcul de cette longueur, qui est l’une des clefs de la résolution, n’est cependant pas explicitement demandé par l’énoncé.

Dès la question 1, les élèves doivent se rendre compte eux-mêmes de sa nécessité.

Jusqu’à la question 3 incluse, le texte de l’énoncé est injonctif, les élèves sont fortement guidés dans une unique démarche. En revanche, dans la question 4, aucune indication n’est donnée sur la méthode permettant de déterminer le maximum de f.

On peut formuler deux réserves sur cet énoncé :

• Rien n’est dit sur l’intervalle dans lequel x peut varier, en l’occurrence l’intervalle ]0 ; 5[, il faudra faire expliciter l’ensemble de définition de f.

• Dès lors que l’on sait que la hauteur AH mesure 4 cm, on peut calculer la hauteur relative aux bases [MN] et [BQ] du parallélogramme BMNQ puis son aire sans pour autant calculer les aires des deux triangles AMN et CNQ. Il est dommage que cette variante ne soit pas laissée à l’initiative des élèves.

a. Méthodes et savoirs

Le processus de modélisation d’une situation issue de la géométrie à l’aide d’une fonction est la principale méthode que l’on peut dégager de cet exercice :

• Choix d’un paramètre approprié permettant de déterminer l’état de la configuration étudiée (la longueur AM en l’occurrence) ;

• Expression des diverses grandeurs utiles, construction d’une « fonction objectif » permettant d’évaluer les performances de la configuration (l’aire de BMNQ en l’occurrence) ;

• Traitement mathématique de la fonction objectif (recherche d’extremum en l’occurrence) ;

• Conclusion (détermination de l’état optimal de la configuration).

Quelques savoirs et méthodes annexes sont présents dans les différentes questions : Questions 1 et 2.

Savoirs : L’énoncé du théorème de Thalès (justifiant le calcul de MN puis celui de QC).

La formule donnant l’aire d’un triangle (aires de AMN et de CNQ).

Méthodes : Pour calculer les aires de AMN et CNQ, il faut d’abord calculer les hauteurs de ces triangles qui peuvent se déduire de AH en appliquant le théorème de Thalès.

Question 3.

Le triangle ABC a été découpé en un puzzle de trois pièces, deux triangles et un parallélogramme. La méthode développée par l’énoncé est que, pour calculer l’aire de la pièce la plus complexe, on peut commencer par calculer les aires des autres pièces puis obtenir l’aire recherchée en utilisant la propriété d’additivité des aires. L’aire de BMNQ est égale à l’aire du triangle ABC diminuée des aires des triangles AMN et CNQ.

b. Eléments pour la question 4.

La méthode attendue est probablement la mise sous forme canonique d’une expression du deuxième degré.

L’expression de f (x) proposée aux élèves dans la question 3 n’est pas la meilleure possible pour obtenir facilement cette forme canonique. L’expression : f (x) = 24

25(−x² + 5x) serait préférable, elle favoriserait la démarche suivante :

• Développer l’expression

2

2 5



 



x− .

• Exprimer −x² + 5x sous forme de différence de deux carrés.

On pourrait ainsi valoriser le fait que, lorsqu’une expression du deuxième degré est écrite sous la forme

(

^{( )2}

)

a C−u x , avec a > 0, elle est maximale quand u(x) = 0.

3. Apport du logiciel TI-Nspire

a. Apports proposés

• Elaboration d’une figure à l’échelle ;

• Exploitation de la figure dynamique illustrant l’exercice ;

• Modification de la figure initiale et exploitation.

b. Construction d’une figure à l’échelle

Ouvrir une page Géométrie.

Créer un point B et éditer les nombres 5 et 6. A l’aide de l’outil Compas (b A 7), tracer un cercle de centre B et de rayon 6. Créer un point C sur ce cercle puis tracer deux cercles de rayon 5 et de centres respectifs B et C. Nommer A l’un des ponts d’intersection des deux cercles et créer le triangle ABC.

Ajuster la graduation de façon que la figure soit bien lisible à l’écran.

Créer un point M sur le segment [AB]. La parallèle à (BC) passant par M coupe (AC) en N et la parallèle à (AB) passant par N coupe (BC) en Q. Créer le polygone BMNQ.

Effacer les constructions intermédiaires, griser le polygone BMNQ.

Mesurer la longueur AM et l’aire du polygone BMNQ.

Stocker ces mesures dans les variables x et y respectivement.

On peut facultativement compléter la figure par le tracé de la hauteur [AH] et la mesure de sa longueur.

c. Exploitation de la figure dynamique

En déplaçant le point M, on visualise directement sur la figure l’évolution conjointe des variables x et y.

Le déplacement de M peut s’effectuer simplement à l’aide du pointeur ou bien en sélectionnant dans les Attributs du point M (

/

b 3 oub 1 4) l’animation en va et vient et en fixant la vitesse d’animation (2 par exemple).

La conjecture attendue est de toute façon : « Il semble que l’aire de BMNQ est maximale quand M est à peu près au milieu du segment [AB] »

Une alternative consiste à ouvrir une page Graphiques, à créer dans cette page un point U, puis à lier l’abscisse et l’ordonnée de ce point respectivement aux variables x et y.

Se replacer sur la page 1 et grouper (~ 5 7) les deux pages. / e permet de naviguer d’un volet à l’autre de la page groupée.

Modifier éventuellement l’échelle du volet Géométrie pour que le triangle ABC soit entièrement présent à l’écran. Le déplacement de M dans le volet Géométrie entraîne celui de U dans le volet Graphiques. L’aire de BMNQ est maximale lorsque le point U est au sommet de sa trajectoire.

L’activation de la Trace géométrique (

/

b9 ou b 5 4) à propos du point U, donne une idée de l’allure de cette trajectoire.

La représentation graphique de la fonction x ֏ f1(x) = 12

25(−2x² + 10x) laisse conjecturer que, lorsque x varie, le point U se déplace effectivement sur la parabole d’équation :

y = f1(x) = 12

25(−2x² + 10x).

L’outil d’analyse Maximum (

/

b83 ou b 6 3) donne le point de coordonnées (2,5 ; 6) comme sommet de cette parabole.

4. Pour aller plus loin : étude d’une figure modifiée

Le candidat est en devoir de s’interroger sur le rôle des hypothèses de l’énoncé : que se passe-t-il si on choisit un autre triangle ABC ?

Redéfinir le point A (

/

b 6 ou b 1 9) comme étant un point libre. Il est alors nécessaire aussi de reproduire le processus de stockage de la longueur AM et de l’aire de BMNQ en variables x et y. On peut maintenant modifier à volonté la forme du triangle ABC¹.

Dans le volet Graphiques, effacer la parabole d’équation y = f1(x) désormais inutile.

Lorsque le point M décrit [AB], on dirait bien que le point U décrit toujours une parabole dont le sommet semble encore avoir pour abscisse

2

AB. Ainsi, le fait que l’aire de BMNQ est maximale lorsque M est le milieu de [AB] ne semble pas être lié au choix du triangle ABC.

5. Conclusion

Le candidat peut se contenter d’illustrer son analyse de l’exercice par l’exploitation de la figure dynamique (fin du paragraphe 3).

Cependant, le cas d’une figure plus générale présente un réel intérêt, et la calculatrice permet de l’envisager à peu de frais. Le candidat peut proposer ce prolongement en faisant apparaître que les conclusions obtenues dans l’exercice restent les mêmes quel que soit le triangle ABC initial. Mais alors, on ne peut plus calculer facilement la hauteur AH ni les aires des différentes pièces du « puzzle ». On doit s’orienter vers de nouvelles méthodes de résolution.

L’observation de la figure montre que ce qui ne change pas lorsqu’on déforme le triangle ABC, c’est le fait que les triangles AMN et CNQ sont toujours des réductions du triangle ABC (on observe toujours deux configurations de Thalès).

Une procédure de résolution possible est la suivante :

• Désigner par k (0 < k < 1) l’échelle de réduction permettant de passer du triangle ABC au triangle AMN.

• Chercher l’échelle de réduction permettant de passer du triangle ABC au triangle NQC.

• Désigner par S l’aire du triangle ABC. Exprimer les aires de AMN et de CNQ en fonction de S et de k puis en déduire l’aire de BMNQ. On attend les expressions S(1 – k² – (1 – k)² ) ou 2S(k – k² ).

• Chercher à maximiser la fonction de k ainsi obtenue. Le parallélogramme BMNQ a une aire maximale quand la somme des carrés k² + (1 – k)² est minimale. (Il apparaît ainsi que la situation étudiée est à rapprocher du problème « classique » de minimisation de la somme des carrés de deux nombres dont la somme est une constante).

Au niveau d’une classe de Seconde, ce prolongement peut permettre de développer une vision plus dynamique de la figure, conformément aux objectifs généraux des programmes de géométrie du Lycée. On s’intéresse désormais à ce qui transforme une figure en une autre ; en classe de Première, on donnera un nom précis aux transformations en cause.