Les transformateurs

TABLE DES MATIERES

1 ) Transformateur parfait 2

1.1 ) Generalites 2

1.2 ) Règles de positionnement des courants positifs 2

1.3 ) Schéma equivalent 2

1.4 ) Rapport de transformation a vide 3

1.5 ) Impédance ramenée au primaire 3

1.6 ) Puissance apparente, active et réactive 3

1.7 ) Formule de Boucherot 4

2 ) Transformateur réel 4

2.1 ) Influence des pertes fer et de la réluctance 4

2.2 ) Mesure des pertes fer et des pertes magnétiques 5

2.3 ) Influence des fuites magnétiques 5

2.4 ) Inductances de Boucherot ( fuites ramenées au primaire et au secondaire ) 6

2.5 ) Coefficient de dispersion de Blondelϑ ⁶

2.6 ) Coefficient de couplage k 6

2.7 ) Schéma structurel du transformateur réel 7

2.8 ) Effet de la mutuelle inductance 7

2.9 ) Modèle de Kapp 7

2.10 ) Rendement 8

2.11 ) Transformateur d’impulsions 8

1 ) TRANSFORMATEUR PARFAIT 1.1 ) GENERALITES

Un transformateur est parfait si

Les fuites magnétiques sont nulles :Φ=constante dans tout le circuit magnétique.

Les pertes fer sont nulles : le circuit magnétique ne chauffe pas.

La réluctance du circuit magnétique est nulle : pas de consommation de force électromagnétique par le circuit magnétique ( Rappel : N×I =ℜ×Φ ).

Schéma équivalent :

Remarque : On peut considérer que le transformateur est constitué de deux enroulements formés

d’un seul enroulement coupé en deux.

Si le sens des enroulements n’est pas modifié, les bobines réagissent identiquement.

Si le sens des enroulements est inversé, les bobines ont des réactions opposées.

1.2 ) REGLES DE POSITIONNEMENT DES COURANTS POSITIFS

1 ) placer un flux ou une induction positive ( arbitraire )

2 ) placer les courants ( règle de la main droite ou du tire bouchon de Maxwell ) 3 ) placer les tensions ( convention récepteur en entrée et générateur en sortie )

Dans les 2 cas, les courants rentrent par les points de repérage d’enroulement Par principe, les flux s’ajoutent :N₁×I₁+N₂×I₂ =ℜ₁×Φ₁ +ℜ₂×Φ₂

1.3 ) SCHEMA EQUIVALENT

1.4 ) RAPPORT DE TRANSFORMATION A VIDE

dt N d e u

dt N d e u

φ φ

×

−

= +

=

× +

=

−

=

2 2

2

1 1 1

⇒

1 2 1 2 1 2

N N u u e

m_v e ^v =

= −

=

mv = rapport de transformation à vide Remarque :

1 2 1 2

U U u

m_v = u ^v = ^v en valeur efficace

Pas de perte ⇒P₁ =P₂ ⇒U₁×I₁ =U₂×I₂

2 1

I m_v = I

⇒ en valeur efficace

Réluctance nulle ⇒N₁×i₁+N₂×i₂ =0

2 1

i m_v =−i

⇒ en valeur instantanée

1.5 ) IMPEDANCE RAMENEE AU PRIMAIRE

1.6 ) PUISSANCE APPARENTE, ACTIVE ET REACTIVE

Puissance apparente ( Réellement consommée ) S =U×I en VA

Puissance active ( Effet Joule ) P=U×I×cos(ϕ) en W Puissance réactive ( Effet réactif ) Q=U×I×sin(ϕ) en VAR

Facteur de puissance cos(ϕ)

2

2 Z I

U = _s×

v s

v m

Z I U

m × ₁ = × ¹

2 1

1 v

s

p m

Z I Z =U =

Zp = impédance ramenée au primaire

1.7 ) FORMULE DE BOUCHEROT

φ est sinusoïdal de la forme φ =φ_max×sin(ω×t) ( pour une spire ) ) cos(

2 )

cos( ₁

max 1

1 1

1

1 u N t U t

dt N d e

u =− =+ × φ ⇒ = ×ω×φ × ω× = × × ω×

donc _{1 1 max}

2 φ

ω _{× ×}

= N

U si f = 50Hz, alors

max 1

1

max 1 1

44 , 4

) 1 (

44 , 4

B S N f U

spire pour

N f U

×

×

×

×

=

×

×

×

= φ φ

Formule de Boucherot U1 = valeur efficace Remarque : L’induction maximaleest constante indépendamment de I₂.

Sa valeur dépend de U₁. 2 ) TRANSFORMATEUR REEL

2.1 ) INFLUENCE DES PERTES FER ET DE LA RELUCTANCE

A vide, les pertes fer et la réluctance magnétique font que même si I₂ = 0, alors I₁ ≠0. D’après la définition de la réluctance, à vide, N₁×iv =ℜ×Φ

En charge, N1×i1+N2×i2 =ℜ×Φ= N1×i_v iv

N i

i + N × 2 =

1 2

1 ⇒i1 =i_v−m_v×i2

Les pertes fer (effet Joule, échauffement du matériau magnétique) sont symbolisées par une résistance R_f.

Les pertes magnétiques ( magnétisation de la bobine ) sont symbolisées par une inductance Lm.

i_v est pratiquement en quadrature arrière

2

'1 m i

i = × dépend de la charge Si la charge est résistive, alors

2 2 2

1 I (m I )

I = _v + ×

2.2 ) MESURE DES PERTES FER ET DES PERTES MAGNETIQUES

Cette mesure se fait à vide de la façon suivante :

2.3 ) INFLUENCE DES FUITES MAGNETIQUES

Soit φ₁, le flux qui traverse une spire de L₁ ( produit par L₁ )

Soit φ₁₂, le flux qui traverse une spire de L2 ( à vide, produit par I1 dans L1 ) Si φ₁ ≠φ₁₂, il existe alors des fuites magnétiques.

Le flux de fuite par spire est φf₁ =φ₁−φ₁₂

Soit l₁, l’inductance de fuite au primaire l₁×i₁ =N₁×φ_f1 =N₁×φ₁−N₁×φ₁₂ (1) Soit M, la mutuelle inductance. Elle est définie telle que M×I₁ =Φ₁₂ = N₂×φ₁₂ (2)

(1) et (2) ₁

2 1 1 1 1

1 I

N M I N

L I

l × = × − × ×

⇒ M

N L N

l = − ×

2 1 1

1 (3)

En alimentant par le secondaire, on obtient M×I₂ =Φ₂₁ =N₁×φ₂₁ N M

L N

l = − ×

1 2 2

2 (4)

(3) et (4) M = (L₁−l₁)×(L₂ −l₂) (5) M en Henry = mutuelle induction

= coefficient de Boucherot Remarque : Si le circuit magnétique est sans fuite, alors

2 0

1 = _f =

f φ

φ ^car φ1 =φ12 et φ₂ =φ₂₁ ^donc l₁ =l₂ =0 donc M sans fuite=M_max = L₁×L₂

On considère que les pertes dues à l’enroulement du primaire sont négligeables

Mesure de U, I et P.

Le courant Iv comporte deux composantes en quadrature Ia (actif ) et Iréac (réactif ).









= ×

× ⇒

×

=

v

v U I

Arc P I

U P

1

1 cos(ϕ) ϕ cos

) cos(ϕ

×

= _v

a I

I et I_réac =I_v×sin(ϕ)

a

f I

R =U¹ et

ω π

= ×

× ⇒

=

= 2

1 Xm

L I L

X U _{m m}

réac m

2.4 ) INDUCTANCES DE BOUCHEROT ( FUITES RAMENEES AU PRIMAIRE ET AU SECONDAIRE )

En réalité, l1 et l2 n’existent pas. On préfère mettre en place une inductance η₁ qui correspond aux fuites totales ramenées au primaire ou une inductance η₂ qui correspond aux fuites totales ramenées au secondaire.

On suppose que l2 = 0 et que l1 représente toutes les fuites donc est η₁^. (5) ⇒ M² =(L₁−η₁)×L₂

2 2 1

1 L

L −M

=

⇒η (6) en Henry

fuites totales ramenées au primaire

A l’inverse,

1 2 2

2 L

L −M

η = ^{(7) en Henry}

fuites totales ramenées au secondaire 2.5 ) COEFFICIENT DE DISPERSION DE BLONDELϑ

Si le circuit est parfait, l₁ =l₂ =0 M =M_max = L₁×L₂ Si le circuit est réel, M < L₁×L₂ ^donc 1 2

2 L L

M < × L’écart entre L₁×L₂ ^et M caractérise les fuites. ² Coefficient de dispersion de Blondel =

2 1

2 2 1

L L

M L L

×

−

= ×

ϑ (8)

Coefficient sans unité. Circuit parfait ϑ =0^. On remarque que η₁ =ϑ×L₁ et η₂ =ϑ×L₂ (9)

2.6 ) COEFFICIENT DE COUPLAGE K

Il est défini tel que

2

1 L

L k M

= × (10) 0 ≤ k ≤ 1 couplage lâche ou serré Si le circuit est parfait, le couplage est parfait ( k = 1 ) donc M =M_max = L₁×L₂ Remarques :

a ) On remarque que M =k×M_max

b ) (8) et (10) ₂

max 2 2 max 2

max 2 2

max (1 )

M k M

M M

M − ⇒ = × −

=

⇒ϑ ϑ ϑ =^{1 k}− ² (11)

c ) Le rapport de transformation peut s’écrire

1 2

L k L

m= × (12) démonstration au § 2.8

2.7 ) SCHEMA STRUCTUREL DU TRANSFORMATEUR REEL

2.8 ) EFFET DE LA MUTUELLE INDUCTANCE

dt M di dt L di v

dt M di dt L di v

1 2

2 2

2 1

1 1

× +

×

=

× +

×

=

(13)

2.9 ) MODELE DE KAPP

Il permet de déterminer la chute de tension en charge.

Formule simplifiée : ∆v₂ =v_2v −v₂ =R_s ×I₂×cos(ϕ₂)+X_s×I₂×sin(ϕ₂) (14) ϕ2est le déphasage apporté par la charge du transformateur ( = 0 si Z = R ).

Pour appliquer la formule, il faut connaître les valeurs de R et _s X . _s

Un mesure en court-circuit ( CC ) à U₁ réduite ( 5% de U_1N ) et à courant nominal I_2N permet cela. Le schéma de montage des appareils de mesure est le suivant :

Si le transformateur est à vide,

1 1 1

2 L

M v dt M di

v = × = ×

donc

1 1 2

L M v

v = or

1 2

v

m= v donc:

L1

m

M = × ^(11bis) de plus,

1 2 1

1 L

L L k L

m M × ×

=

=

donc

1 2

1 L

k L L

m= M = × (12)

Rs et Xs sont les

impédances ramenées au secondaire.

La chute de tension ne dépend que d’elles et de la charge.

I1

D’après les résultats des mesures ( P_1CC, U_1CC etI_1CC ), on calcule R_s , X_s et Z_s .

2 2 1CC Rs I CC

P = × ^donc ₂

1 1 2

CC CC

s I

P R = m ×

m I

U m I

Z U

CC CC CC

CC s

1 1 2

2 = ×

= donc

CC CC

s I

U Z m

1 1 2×

= (15)

2 2 2 2

2 2

s s s s

s

s R X X Z R

Z = + ⇒ = − ^donc Xs = Zs²−Rs²

2.10 ) RENDEMENT

2 2 2

2 2

2

2 2

2 2

2 1

2

)) cos(

( )

cos(

) cos(

ϕ

×

× + + ϕ

×

×

ϕ

×

= × +

= +

=

=

η U I P Rs I

I U P

P P

P P

P Pa Pu

fer Cu

fer

2.11 ) TRANSFORMATEUR D’IMPULSIONS

Il est constitué d’un tore de ferrite à deux enroulements.

IL faut éviter tous les phénomènes de saturation magnétique ( I_L < I_LS ).

Les constructeurs ne donnent pas I_LS ( courant de saturation ) mais ils donnent V₀×t₀ mesuré à vide et l’inductance L_p.

Si i_L(t)<i_LS alors Φ varie donc ∃V₂.

Si i_L(t)≥i_LS alors Φ ne varie pas donc V₂ =0.

0

0 t

V × représente la surface maximale d’une impulsion d’entrée de valeur V₀ et de temps t₀.

LS p L

p dt L I

dt L di dt

V t

V⁰× ⁰ =

∫

∫

p

LS L

t I =V⁰× ⁰

⇒

∫

=

× ⇒

= v t dt

t L dt i

L di t v

p L L

p 1 ()

) ( )

( ₁

1

or v1(t)=cste=V1 ⇒i_L(t)=V1×t