A501-Jouons avec les puissances

A501-Jouons avec les puissances Solution

Quel que soit x entier positif, on peut écrire (1+x) + (2+x) + 3 = 1 + 2 + x + (3+x) et

2 2

2 2 2 2

2 (2 x) 3 1 2 x (3 x)

x)

(1        

D'où pour x=3, on obtient les deux "constellations" [1,2,6] et [4,5] correspondant aux sommes de puissance k=(1,2)

c’est à dire que : 1 + 2 + 6 = 4 + 5 = 9 d’une part et 1²2²6²4²5²41 d’autre part.

Partant de [1,2,6] et [4,5], on obtient les deux constellations [1+x, 2+x, 6+x, 4, 5] et [4+x ,5+x, x, 1, 2, 6] satisfaisant les sommes de puissance k=(1,2,3)

Pour x=5, on trouve les deux "constellations" suivantes: [1,2,9,10] et [4,7,11] qui permettent d’écrire les équations :

1 + 2 + 9 +10 = 4 + 7 + 11 = 22 186 11 7 4 10 9 2

1² ² ² ² ² ² ² 1738 11

7 4 10 9 2

1³ ³ ³ ³ ³ ³ ³

Pour k=(1,2,3,4), on obtient [1,2,10,14,18] et [4,8,16,17] soit les relations : 1 + 2 + 10 + 14 + 18 = 4 + 8 + 16 + 17 = 45

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 10 14 18 4 8 16 17

1         = 625

3 3 3 3 3 3 3 3

3 2 10 14 18 4 8 16 17

1         = 9585

4 4 4 4 4 4 4 4

4 2 10 14 18 4 8 16 17

1         = 153 409

et pour k=(1,2,3,4,5), on obtient [1,2,10,12,20,21] et [5,6,16,17,22] etc…

Pour n quelconque, il existe 2n+1 entiers positifs distincts tels que la somme des puissances d'ordre k=1,2,...n de n+1 d'entre eux soit égale à la somme des puissances du même ordre des n restants.